復變函數(shù)第五章解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展式與孤立奇點知識點總結

1、第五章 解析函數(shù)的洛朗（Laurent）展式與孤立奇點1.解析函數(shù)的洛朗展式1.雙邊冪級數(shù)2.（定理5.1）：收斂圓環(huán)H，（1）H內絕對收斂且內閉一致收斂于f(z)=f1+f2（2）函數(shù)f在H內解析（3）f在H內可逐項求導p次（4）可沿H內曲線C逐項積分注：對應于定理4.133.（定理5.2 洛朗定理）：在圓環(huán)內解析的函數(shù)f必可展成雙邊冪級數(shù)，其中cn=12if-an+1d,(n=0,1,2)為圓周|-a|=,f和圓環(huán)唯一決定系數(shù)cn4.泰勒級數(shù)是洛朗級數(shù)的特殊情形5.孤立奇點（奇點：不解析點）注：多值性孤立奇點即支點6.如果a為f(z)的一個孤立奇點，則必存在正數(shù)R，使得f(z)在點a的去心

2、鄰域K-a：0|z-a|R內可展成洛朗級數(shù)2.解析函數(shù)的孤立奇點1.正則部分、主要部分2.可去奇點、極點（m階極點，單極點）、本質奇點3.（定理5.3）可去奇點的特征（三點等價）：（1）f(z)在a點主要部分為零（2）可去奇點的判定條件：limzafz=b()（3）f(z)在a的去心鄰域內有界4.施瓦茨（Schwarz）引理：如果函數(shù)f(z)在單位圓|z|1內解析，并且滿足條件f0=0,fz1z1,則在單位圓|z|1內恒有fzz，且有f01如果上式等號成立，或在圓|z|1內一點z00處前一式等號成立，則（當且僅當）fz=eiz（z1）其中是一實常數(shù)。5.（定理5.4）：m階極點的特征（三點等價

3、）（1）主要部分為有限項（系數(shù)c-m0）（2）f(z)在點a的某去心鄰域內能表示成fz=(z)(z-a)m其中(z)在點a的鄰域內解析，且(a)0;（3）gz=1f(z)以點a為m階零點（可去奇點要當作解析點看，只要令g(a)=0）注：f(z)以a為m階極點1f(z)以點a為m階零點6.（定理5.5）：函數(shù)f(z)的孤立奇點a為極點的充要條件是limzafz=7.（定理5.6）：函數(shù)f(z)的孤立奇點a為本質奇點的充要條件是limzafzb（有限數(shù)），即limzaf(z)不存在8.（定理5.7）：若z=a為函數(shù)f(z)之一本質奇點，且在點a的充分小去心鄰域內部委零，則z=a亦必為1f(z)的本

4、質奇點。9.（定理5.8 皮卡（Picard）定理）:本質奇點的無論怎樣小的去心鄰域內，函數(shù)f(z)可以取任意接近于預先給定的任何數(shù)值（有限的或無窮的）注：由本質奇點的稠密性，本質奇點仍為倒數(shù)的本質奇點10.（定理5.9 皮卡（大）定理）：如果a為函數(shù)的本質奇點，則對于每一個A，除掉可能一個值A=A0外，必有趨于a的無線點列zn，使f(zn)=A.3.解析函數(shù)在無窮遠點的性質分別對應于上節(jié)定理5.3-5.64.整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念1.整函數(shù)：整個復平面上解析的函數(shù)2.（定理5.10）：若f(z)為一整函數(shù)，則（1）z=為f(z)的可去奇點的充要條件為：f(z)=常數(shù)c0；（2）z=為f(z)的m階極點的充要條件為：f(z)是一個m次多項式c0+c1z+ cmzm（3）z=為f(z)的本質奇點的充要條件為：展式有無窮多個cn不等于零。（我們稱這樣的f(z)為超越整函數(shù)）3.亞純函數(shù)：奇點只有極點的單值性解析函數(shù)4.（定理5.11）：一函數(shù)f(z)為有理函數(shù)的充要條件為：f(z)在擴充z平面上除極點外沒有其他類型的奇點。5.超