復(fù)變函數(shù)第五章解析函數(shù)的洛朗(Laurent)展式與孤立奇點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第五章 解析函數(shù)的洛朗（Laurent）展式與孤立奇點(diǎn)1.解析函數(shù)的洛朗展式1.雙邊冪級(jí)數(shù)2.（定理5.1）：收斂圓環(huán)H，（1）H內(nèi)絕對(duì)收斂且內(nèi)閉一致收斂于f(z)=f1+f2（2）函數(shù)f在H內(nèi)解析（3）f在H內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)p次（4）可沿H內(nèi)曲線C逐項(xiàng)積分注：對(duì)應(yīng)于定理4.133.（定理5.2 洛朗定理）：在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)f必可展成雙邊冪級(jí)數(shù)，其中cn=12if-an+1d,(n=0,1,2)為圓周|-a|=,f和圓環(huán)唯一決定系數(shù)cn4.泰勒級(jí)數(shù)是洛朗級(jí)數(shù)的特殊情形5.孤立奇點(diǎn)（奇點(diǎn)：不解析點(diǎn)）注：多值性孤立奇點(diǎn)即支點(diǎn)6.如果a為f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則必存在正數(shù)R，使得f(z)在點(diǎn)a的去心

2、鄰域K-a：0|z-a|R內(nèi)可展成洛朗級(jí)數(shù)2.解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)1.正則部分、主要部分2.可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)（m階極點(diǎn)，單極點(diǎn)）、本質(zhì)奇點(diǎn)3.（定理5.3）可去奇點(diǎn)的特征（三點(diǎn)等價(jià)）：（1）f(z)在a點(diǎn)主要部分為零（2）可去奇點(diǎn)的判定條件：limzafz=b()（3）f(z)在a的去心鄰域內(nèi)有界4.施瓦茨（Schwarz）引理：如果函數(shù)f(z)在單位圓|z|1內(nèi)解析，并且滿足條件f0=0,fz1z1,則在單位圓|z|1內(nèi)恒有fzz，且有f01如果上式等號(hào)成立，或在圓|z|1內(nèi)一點(diǎn)z00處前一式等號(hào)成立，則（當(dāng)且僅當(dāng)）fz=eiz（z1）其中是一實(shí)常數(shù)。5.（定理5.4）：m階極點(diǎn)的特征（三點(diǎn)等價(jià)

3、）（1）主要部分為有限項(xiàng)（系數(shù)c-m0）（2）f(z)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)能表示成fz=(z)(z-a)m其中(z)在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)解析，且(a)0;（3）gz=1f(z)以點(diǎn)a為m階零點(diǎn)（可去奇點(diǎn)要當(dāng)作解析點(diǎn)看，只要令g(a)=0）注：f(z)以a為m階極點(diǎn)1f(z)以點(diǎn)a為m階零點(diǎn)6.（定理5.5）：函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn)a為極點(diǎn)的充要條件是limzafz=7.（定理5.6）：函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn)a為本質(zhì)奇點(diǎn)的充要條件是limzafzb（有限數(shù)），即limzaf(z)不存在8.（定理5.7）：若z=a為函數(shù)f(z)之一本質(zhì)奇點(diǎn)，且在點(diǎn)a的充分小去心鄰域內(nèi)部委零，則z=a亦必為1f(z)的本

4、質(zhì)奇點(diǎn)。9.（定理5.8 皮卡（Picard）定理）:本質(zhì)奇點(diǎn)的無(wú)論怎樣小的去心鄰域內(nèi)，函數(shù)f(z)可以取任意接近于預(yù)先給定的任何數(shù)值（有限的或無(wú)窮的）注：由本質(zhì)奇點(diǎn)的稠密性，本質(zhì)奇點(diǎn)仍為倒數(shù)的本質(zhì)奇點(diǎn)10.（定理5.9 皮卡（大）定理）：如果a為函數(shù)的本質(zhì)奇點(diǎn)，則對(duì)于每一個(gè)A，除掉可能一個(gè)值A(chǔ)=A0外，必有趨于a的無(wú)線點(diǎn)列zn，使f(zn)=A.3.解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)分別對(duì)應(yīng)于上節(jié)定理5.3-5.64.整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念1.整函數(shù)：整個(gè)復(fù)平面上解析的函數(shù)2.（定理5.10）：若f(z)為一整函數(shù)，則（1）z=為f(z)的可去奇點(diǎn)的充要條件為：f(z)=常數(shù)c0；（2）z=為f(z)的m階極點(diǎn)的充要條件為：f(z)是一個(gè)m次多項(xiàng)式c0+c1z+ cmzm（3）z=為f(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)的充要條件為：展式有無(wú)窮多個(gè)cn不等于零。（我們稱這樣的f(z)為超越整函數(shù)）3.亞純函數(shù)：奇點(diǎn)只有極點(diǎn)的單值性解析函數(shù)4.（定理5.11）：一函數(shù)f(z)為有理函數(shù)的充要條件為：f(z)在擴(kuò)充z平面上除極點(diǎn)外沒(méi)有其他類型的奇點(diǎn)。5.超