2013年全國高考理科數(shù)學試題分類匯編7：立體幾何Word版含答案

1、.2013 年全國高考理科數(shù)學試題分類匯編7：立體幾何一、選擇題1 （ 2013 年高考新課標1（理）, 容器高 8cm,如圖 , 有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器將一個球放在容器口, 再向容器內(nèi)注水, 當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度 , 則球的體積為（）a500cm3b 866cm3c 1372cm3d 2048cm33333【答案】 a2（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純word版）設 m, n 是兩條不同的直線,是兩個不同的平面, 下列命題中正確的是（）a若, m, n, 則 m n b若/, m, n, 則 m / nc若 m

2、n , m, n, 則d若 m, m / n , n / , 則【答案】 d3（ 2013 年上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案 )）若兩個球的表面積之比為1: 4 , 則這兩個球的體積之比為（）a 1: 2b 1: 4c 1:8d 1:16【答案】 c4（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學（理）word 版含答案（已校對） ）已知正四棱柱 abcd a1b1c1d1中 aa12 ab , 則 cd 與平面 bdc1所成角的正弦值等于（）a 2b3c2d 13333【答案】 a5（ 2013 年高考新課標1（理） 某幾何體的三視圖如圖所示, 則該幾何體的體積為;.（）a 168b 8

3、8c 1616d 816【答案】 a6 （2013 年高考湖北卷 （理）一個幾何體的三視圖如圖所示, 該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成 , 其體積分別記為v1 , v2 , v3 , v4 , 上面兩個簡單幾何體均為旋轉體, 下面兩個簡單幾何體均為多面體, 則有（）a v1v2v4v3b v1v3v2v4c v2v1v3【答案】 c7 （ 2013 年高考湖南卷（理）已知棱長為1 的正方體的俯視圖是一個面積為1 的正方形 ,則該正方體的正視圖的面積不可能等于（）a 1b 22-1d2+1c22【答案】 c8 （ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純word 版） 某四

4、棱臺的三視圖如圖所示 , 則該四棱臺的體積是;.122正視圖側視圖11俯視圖第 5 題圖（）1416a 4b 3c 3d 6【答案】 b9 （ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標卷數(shù)學（理）（純 word 版含答案）已知 m, n為異面直線 , m平面, n 平面. 直線 l滿足 lm, ln, l,l, 則（）a/, 且 l /b, 且 lc與相交 , 且交線垂直于 ld與相交 , 且交線平行于 l【答案】 d10 （ 2013年普通高等學校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學（理）試題（含答案） 已知三棱柱abca1b1c1 的側棱與底面垂直,9體積為 4 , 底面是邊長為3 的正三角形 . 若

5、p 為底面 a1b1c1 的中心 , 則 pa 與平面 abc 所成角的大小為（）5a 12b 3c 4d 6【答案】 b11（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學（理）試題（含答案）某幾何體的三視圖如題5圖所示 , 則該幾何體的體積為（）a560b 580c 200d 24033;.【答案】 c12 （ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（word版） 已知三棱柱abca1b1c1的6個 頂點 都在 球 o的 球面上, 若ab3， ac4 ,abac , aa112 , 則球 o 的半徑為（）a 3 17b 2 10c 13d 3 1022【答案】 c13（ 2

6、013 年高考江西卷（理） ） 如圖 , 正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上 , 且abcd , 正方體的六個面所在的平面與直線ce,ef 相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m, n , 那么 mn（）a 8b 9c 10d 11【答案】 a14（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試新課標卷數(shù)學（理）（純 word 版含答案）一個四面體的頂點在空間直角坐標系o xyz中的坐標分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)畫該四面體三視圖中的正視圖時, 以 zox 平面為投影面, 則得到正視圖可以為（）;.abcd【答案】 a15（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學

7、（理）試題（純word 版） 在下列命題中,不是公理 的是（）a平行于同一個平面的兩個平面相互平行b過不在同一條直線上的三點, 有且只有一個平面c如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi), 那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)d如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么他們有且只有一條過該點的公共直線【答案】 a16（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學（理）試題（純word 版） 在空間中 , 過點a 作平面的垂線 , 垂足為 b , 記 bf ( a) . 設,是兩個不同的平面, 對空間任意一點 p , q1f f ( p), q2f f (p) , 恒有 pq1pq2 , 則（）a平面與平面

8、垂直b平面與平面所成的 ( 銳 ) 二面角為 450c平面與平面平行d平面與平面所成的 ( 銳 ) 二面角為 600【答案】 a17（ 2013 年高考四川卷（理）一個幾何體的三視圖如圖所示, 則該幾何體的直觀圖可以是【答案】 d二、填空題18 （ 2013 年高考上海卷（理）在 xoy 平面上 , 將兩個半圓弧( x1)2y21(x1) 和(x3)2y21(x3) 、兩條直線 y1 和 y1圍成的封閉圖形記為d, 如圖中陰影部分 . 記 d 繞 y 軸旋轉一周而成的幾何體為, 過 (0, y)(| y |1) 作的水平截面 , 所得截面面積為 41y28, 試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一

9、個長方體, 得出;.的體積值為 _【答案】 2 2 16 .19（ 2013 年高考陜西卷（理） ） 某幾何體的三視圖如圖所示, 則其體積為 _ _.32111【答案】320（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學（理）word 版含答案（已校對）已知圓o 和圓 k 是球 o 的大圓和小圓 , 其公共弦長等于球 o 的半徑 , ok3, 且圓 o 與圓 k2所在的平面所成的一個二面角為60 , 則球 o 的表面積等于 _.【答案】 1621（ 2013 年高考北京卷（理） ）如圖 , 在棱長為 2 的正方體 abcd-a1b1c1d1 中, e 為 bc的中點 , 點 p 在線段 d

10、1e 上 , 點 p到直線 cc1的距離的最小值為 _.d1c1a1b1pdcabe【答案】255;.22（ 2013 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學）（已校對純 word 版含附加題） ）如圖 , 在三棱柱 a1 b1c1abc 中 , d， e，f 分別是 ab， ac， aa1 的中點 , 設三棱錐 fade 的 體 積 為 v1 , 三 棱 柱a1b1c1abc 的 體 積 為 v2 , 則v1 :v2_.cbafcebad【答案】 1: 2423（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學（理）試題（純word 版） 若某幾何體的三視圖 ( 單位 :cm) 如圖所

11、示 , 則此幾何體的體積等于_ cm2 .4332正視圖側視圖3俯視圖（第 12 題圖）【答案】 2424（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純word 版） 如圖 , 正方體abcda1b1c1 d1 的棱長為 1,p 為 bc的中點 ,q 為線段 cc1 上的動點 , 過點 a,p,q 的平面截該正方體所得的截面記為 s. 則下列命題正確的是 _ _( 寫出所有正確命題的編號 ).1時,s為四邊形 ; 當cq13當 0 cq時 ,s 為等腰梯形 ; 當cq時 ,s 與224;.c1d1 的交點 r滿足 c1r1131時 ,s 的面積; 當cq 1 時 ,s 為六邊形

12、 ; 當cq34為6 .2【答案】 25（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（word 版） 某幾何體的三視圖如圖所示 , 則該幾何體的體積是_.【答案】 161626（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學（理）試題（純word版）已知某一多面體內(nèi)接于一個簡單組合體, 如果該組合體的正視圖. 測試圖 . 俯視圖均如圖所示, 且圖中的四邊形是邊長為2 的正方形 , 則該球的表面積是_【答案】1227（ 2013 年上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案 )） 在如圖所示的正方體abcd a1b1c1d1 中 ,異面直線 a1b 與 b1c 所成角的大小為 _d1c1a1b

13、1dcab【答案】3;.三、解答題28（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學（理）試題（word 版） 如圖 ,ab 是圓的直徑,pa 垂直圓所在的平面,c 是圓上的點 .(i) 求證 : 平面 pac平面 pbc；(ii)若 ab2， ac1， pa1，求證：二面角cpba的余弦值 .【答案】;.;.29（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學如圖 , 四棱錐 p abcd（理）試題（含答案）中 , pa底面 abcd , bc cd 2, ac 4, acbacd, f 為 pc 的中3點 , af pb .(1) 求 pa 的長 ;(2)求二面角bafd 的正弦值 .【

14、答案】;.1（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學（理）試題（純word 版） 如圖 , 圓錐頂點;.為 p . 底面圓心為 o , 其母線與底面所成的角為22.5 . ab 和 cd 是底面圓 o 上的兩條平行的弦 , 軸 op 與平面 pcd 所成的角為60 .( ) 證明 : 平面 pab 與平面 pcd 的交線平行于底面 ;( ) 求 coscod .【答案】解:( )設面 pab面 pcd直線 m,ab / / cd且 cd面 pcdab / / 面 pcdab / /直線 mab面 abcd直線 m / 面 abcd .所以 , 面 pab 與面 pcd 的公共交線平行底

15、面abcd .( )設底面半徑為 r , 線段 cd的中點為 f，則 opf60 .由題知 tan 22.5po.r, tan 60oftan 60 tan22.5ofcoscod , tan4512tan 22.5.por2tan2 22.5coscod2 cos2cod1tan 22.52 -1, coscod1 3(2 - 1,) 23(3 2 2 )22coscod17 - 122.所以 coscod 17 - 122 .法二 :;.1（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學（理）試題（純word 版） 如圖 , 在四面體abcd 中 , ad 平面 bcd , bc cd ,

16、 ad 2, bd2 2 . m 是 ad 的中點 , p是 bm 的中點 , 點 q 在線段 ac 上 , 且 aq3qc .(1)證明 : pq / 平面 bcd ;(2) 若二面角 cbmd 的大小為 60 0 , 求 bdc 的大小 .ampqbdc（第 20 題圖）【答案】解 : 證明 ( ) 方法一: 如圖6, 取 md 的中點f , 且 m 是 ad 中點 , 所以af3 fd . 因 為 p 是 bm 中 點 , 所 以 pf / /bd ; 又 因 為 ( ) aq3qc 且af3fd , 所 以 qf / / bd , 所 以 面 pqf / / 面 bdc , 且 pq面

17、 bdc , 所 以;.pq / / 面 bdc ;方法二 : 如圖 7 所示 , 取 bd 中點 o , 且 p 是 bm 中點 , 所以 po/ / 1 md ; 取 cd 的三等2分 點 h ,使 dh3ch, 且 aq3qc , 所 以 qh / / 1 ad / / 1 md, 所 以42p o/ / q hp q/ / o且hbcd,所以pq / /面bdc ;,oh( ) 如圖 8所示 ,由已知得到面adb面 bdc , 過 c 作 cgbd 于 g , 所以cgbmd , 過 g 作 ghbm 于 h , 連接 ch , 所以chg 就是 c bmd 的二面角 ; 由已知得到

18、bm8 1 3 , 設bdc, 所以cdcos,sincgcbcd22 cos, cg 22 cossin , bc 2 2 sin ,bdcdbd,在 rtbcg 中 ,bcgsinbgbg2 2 sin2, 所以在 rtbhgbc中 ,hg122 sin2, 所以在 rtchg 中2 sin2hg323cg2 2 cos sintan chg tan6032 2 sin 2hg3;.tan3(0,90)60bdc 60 ;2（ 2013 年上海市春季高考數(shù)學試卷(含答案 )）如圖 , 在正三棱錐 abca1b1c1 中 , aa1 6 ,異面直線 bc1與 aa1 所成角的大小為, 求該三

19、棱柱的體積 .6a1c1b1acb【答案】 解 因為 cc1aa1 .所以bc1c 為異面直線 bc1 與 aa1 . 所成的角 , 即bc1c =.6在 rtbc1c 中, bccc1 tanbc1c323 ,63從而 s abc3 bc 23 3 ,4因此該三棱柱的體積為v s abcaa133 6183 .3（ 2013 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學）（已校對純word 版含附加題） ）本小題滿分 14分 .如圖 , 在三棱錐s abc 中 , 平面 sab平面 sbc , abbc , as ab , 過 a 作afsb, 垂足為 f ,點 e，g 分別是棱 sa，s

20、c 的中點 .求證 :(1) 平面 efg / 平面 abc ; (2)bc sa.segfcab【答案】 證明 :(1) asab , afsbf分別是 sb 的中點 e.f 分別是 sa.sb 的中點 efab又 ef平面 abc, ab平面 abc ef平面abc同理 :fg平面abc又 effg=f, ef.fg平面 abc平面 efg / 平面 abc(2) 平面 sab平面 sbc;.平面 sab平面 sbc =bcaf平面 sabafsb af平面 sbc 又 bc 平面 sbc afbc又 ab bc , ab af=a, ab.af平面 sabbc平面sab 又 sa平面sa

21、bbcsa4（ 2013 年高考上海卷 （理）1 1 1 1中 ,ab=2,ad=1,a1a=1,證明直線1如圖 , 在長方體abcd-ab c dbc平行于平面da1c, 并求直線bc1 到平面 d1ac的距離 .dcabd1c1a1b1【答案】因為1 1 1 1為長方體 , 故 ab / c1d1 , ab c1 d1,abcd-ab c d故 abcd 為平行四邊形 , 故 bc1/ ad1, 顯然 b 不在平面 dac 上, 于是直線 bc平行于平1111面 da1c;直線 bc1 到平面 d1ac的距離即為點b 到平面 d1ac的距離設為h考慮三棱錐 abcd1的體積 , 以 abc

22、為底面 , 可得 v1( 1 12) 1 1323而 ad1c 中 , acdc15, ad12 , 故 s ad c32113122 .所以 ,11vhh, 即直線 bc 到平面d ac的距離為323335（ 2013 年高考湖北卷（理） ） 如圖 , ab 是圓 o 的直徑 , 點 c 是圓 o 上異于 a, b 的點 , 直線pc平面 abc ,e , f 分別是 pa , pc 的中點 .(i) 記平面 bef 與平面 abc 的交線為 l , 試判斷直線 l 與平面 pac 的位置關系 , 并加以證明 ;(ii)設 (i) 中的直線 l 與圓 o 的另一個交點為d , 且點 q 滿足

23、 dq1 cp . 記直線 pq2與平面 abc 所成的角為, 異面直線 pq 與 ef 所成的角為, 二面角 el c 的大小為, 求證 : sinsinsin .;.第 19 題圖【答案】 解 :(i)efac , ac平面 abc , ef平面 abcef平面 abc又 ef 平面 befefll 平面 pac(ii) 連接 df, 用幾何方法很快就可以得到求證.( 這一題用幾何方法較快 , 向量的方法很麻煩 , 特別是用向量不能方便的表示角的正弦 . 個人認為此題與新課程中對立體幾何的處理方向有很大的偏差 .);.;.6（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學（理）卷（純wo

24、rd 版）如圖 1, 在等腰直角三角形 abc 中 ,a 90 , bc6,d , e 分別是ac , ab 上的點 , cdbe 2 , o為 bc 的中點 . 將ade 沿 de 折起 , 得到如圖 2所示的四棱錐abcde , 其中a o3 .( )證明 : a o平面 bcde ;() 求二面角acdb 的平面角的余弦值 .co.badecobade圖 1圖 2【答案】 ( ) 在圖1 中 , 易得 oc3, ac 3 2, ad22;.acobdeh連結 od ,oe , 在ocd 中, 由余弦定理可得odoc 2cd 22oc cd cos455由翻折不變性可知a d22 ,所以

25、a o 2od 2a d 2 , 所以 a o od ,理可證 a ooe ,又 odoe o , 所以 a o 平面 bcde .( ) 傳統(tǒng)法 : 過 o 作 ohcd 交 cd 的延長線于 h , 連結 a h ,因為 a o平面 bcde , 所以 a hcd ,所以a ho 為二面角 acdb 的平面角 .結合圖 1 可知 , h 為 ac 中點 , 故 oh3 2, 從而 a hoh 2oa 23022所以 cosa hooh15, 所以二面角acdb 的平面角的余弦值為15.a h5z5a向量法 : 以 o 點為原點 , 建立空間直角坐標系 oxyz 如圖所示 ,則 a0,0,3

26、, c0,3,0, d 1,2,0cod所以 ca0,3,3,da1,2,3ex向量法圖設 n x, y, z 為平面 a cd 的法向量 , 則nca03y3z0, 解得yx1 , 得 n1, 1, 3, 即, 令 xnda0x2 y3z0z3x由( ) 知 , oa0,0,3為平面 cdb 的一個法向量 ,所以 cos n,oan oa315 , 即二面角 acdb 的平面角的余弦n oa355值為15 .5by;.7（ 2013 年普通高等學校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學（理）試題（含答案）如圖 ,四棱柱- 1 1 1 1abcda b cd中, 側棱 a1a底面 abcd,ab/ dc,aba

27、d,ad= cd= 1, aa1 =ab= 2,e 為棱 aa1的中點 .( ) 證明 b c ce;11( ) 求二面角 b1- ce- c1 的正弦值 .( ) 設點 在線段ce上 ,且直線與平面adda所成角的正弦值為2, 求線段ammam1116的長 .【答案】;.8（ 2013 年高考新課標 1（理） 如圖 , 三棱柱 abc-a1b1c1 中,ca=cb,ab=a a1, ba a1=60. ( ) 證明 ab a1c;( ) 若平面abc平面 aa1b1b,ab=cb=2,求直線 a1c 與平面 bb1c1c 所成角的正弦值.;.【答案】 ( ) 取 ab中點 e, 連結 ce,

28、 a1 b , a1e , ab= aa1 , baa1 = 600 , baa1 是正三角形 , a1e ab, ca=cb, ce ab,cea1e =e, ab面 cea1 ,ab ac ;1( ) 由( ) 知 ecab, ea1 ab,又面 abc面 abb1a1 , 面 abc面 abb1 a1 =ab, ec面 abb1 a1 , ec ea1 , ea,ec, ea1 兩兩相互垂直 , 以 e 為坐標原點 , ea 的方向為 x 軸正方向 ,| ea | 為單位長度 , 建立如圖所示空間直角坐標系 o xyz,有題 設知a(1,0,0),a1 (0,3,0),c(0,0,3 ),b(-1,0,0),則bc=(1,0,3),bb1=aa1=(-1,0,3),ac=(0,-3,3),1設 n = (x, y, z) 是平面 cbb1c1 的法向量 ,nbc0x