高三數(shù)學(xué)教案：圓錐曲線的應(yīng)用

1、第六節(jié)圓錐曲線的應(yīng)用一、基本知識(shí)概要：解析幾何在日常生活中應(yīng)用廣泛，如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解決應(yīng)用題的關(guān)鍵，而建立數(shù)學(xué)模型是實(shí)現(xiàn)應(yīng)用問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的常用常用方法。本節(jié)主要通過(guò)圓錐曲線在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用， 說(shuō)明數(shù)學(xué)建模的方法，理解函數(shù)與方程、 等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想。二、例題：例1、設(shè)有一顆慧星沿一橢圓軌道繞地球運(yùn)行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此慧星離地球相距m 萬(wàn)千米和 4 m 萬(wàn)千米時(shí)， 經(jīng)過(guò)地球和慧星的直線與橢圓的長(zhǎng)軸夾角3分別為和，求該慧星與地球的最近距離。23解：建立如下圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)地球位于焦點(diǎn)x2y2f ( c,0) 處，橢圓的方程為2b21a（圖見(jiàn)教

2、材p132 頁(yè)例 1）。當(dāng)過(guò)地球和彗星的直線與橢圓的長(zhǎng)軸夾角為時(shí)，由橢圓的幾何意義可知，彗星a 只31 fa2 m能滿足 xfa(或 xfa /) 。作 abox于 b，則 fb3323mc a 2(c)故由橢圓第二定義可知得ac4ca 223m(cm)ac3兩式相減得 1 mc2 m,a 2c.代入第一式得 m1 (4cc)3 c,3a322c2ac2m.cm.332 m 萬(wàn)千米。答：彗星與地球的最近距離為3說(shuō)明：（ 1）在天體運(yùn)行中， 彗星繞恒星運(yùn)行的軌道一般都是橢圓，而恒星正是它的一個(gè)焦點(diǎn)，該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， 一個(gè)是近地點(diǎn)， 另一個(gè)則是遠(yuǎn)地點(diǎn)， 這兩點(diǎn)到恒星的距離一個(gè)是ac ，另一個(gè)是

3、ac.（2）以上給出的解答是建立在橢圓的概念和幾何意義之上的，以數(shù)學(xué)概念為根基充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。 另外， 數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的解決在數(shù)學(xué)化的過(guò)程中也要時(shí)刻不忘審題， 善于挖掘隱含條件，有意識(shí)地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)。思考討論 :橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值和最小值是多少？怎樣證明？例 2：a ，b，c 是我方三個(gè)炮兵陣地，a 在 b 正東 6 km ，c 在 b 正北偏西 30 ，相距 4 km ，p 為敵炮陣地，某時(shí)刻a 處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號(hào)，由于b， c 兩地比 a 距 p 地遠(yuǎn)，因此 4 s 后， b， c 才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)，此信號(hào)的傳播速度為1 km / s ， a 若炮擊p

4、地，求炮擊的方位角。 （圖見(jiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)教師用書(shū)p249 例 2）解 ： 如 圖 ， 以 直 線ba為 x 軸 ， 線 段ba的 中 垂 線 為 y 軸 建 立 坐 標(biāo) 系 ， 則第 1頁(yè)共 2頁(yè)b( 3,0), a(3,0), c (5,2 3)，因?yàn)?pbpc ，所以點(diǎn) p 在線段 bc 的垂直平分線上。因?yàn)閗bc3 ，中點(diǎn) d(4,3) ，所以直線pd的方程為 y31 ( x 4)（ ）bc31又 pbpa4, 故 p 在以 a ， b 為焦點(diǎn)的雙曲線右支上。設(shè)p( x, y) ，則雙曲線方程為x2y20)（ 2）。聯(lián)立（ 1）（2），得 x8, y53 ，41( x5533 ，故炮擊的方位

5、角北偏東30 。所以 p(8,5 3). 因此 kpa38說(shuō)明： 本題的關(guān)鍵是確定 p 點(diǎn)的位置，另外還要求學(xué)生掌握方位角的基本概念。例 3：根據(jù)我國(guó)汽車制造的現(xiàn)實(shí)情況，一般卡車高3m，寬 1.6m?，F(xiàn)要設(shè)計(jì)橫斷面為拋物線型的雙向二車道的公路隧道，為保障雙向行駛安全，交通管理規(guī)定汽車進(jìn)入隧道后必須保持中線 0.4m 的距離行駛。已知拱口ab 寬恰好是拱高oc 的 4 倍，若拱寬為 am，求能使卡車安全通過(guò)的 a 的最小整數(shù)值。 （圖見(jiàn)教材p133 頁(yè)例 3）解：如圖，以拱口ab 所在直線為 x 軸，以拱高 oc 所在直線為 y 軸建立直角坐標(biāo)系，由題意可得拋物線的方程為x22 p( ya) ，4點(diǎn) a(a ,0) 在拋物線上，(a ) 22p(0a), 得 pa2242拋物線方程為x2a( ya ) 。取 x1.6 0.4 2, 代入拋物線方程，得42 2a( ya ), ya 216。由題意，令 y3,得 a 216344a4aa0,a 212a 160.a6213.又a z,a應(yīng)取 14，15，16， 。答：滿足本題條件卡車使安全通過(guò)的a 的最小正整數(shù)為14m.說(shuō)明： 本題的解題過(guò)程可歸納務(wù)兩歩：一是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義，確定解題途徑， 得