高三數(shù)學(xué)教案：10.1加法原理和乘法原理(一)

1、課題： 10 1加法原理和乘法原理(一 )教學(xué)目的：1 了解學(xué)習(xí)本章的意義, 激發(fā)學(xué)生的興趣.2. 理解分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理, 培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力 .3. 會(huì)利用兩個(gè)原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題.教學(xué)重點(diǎn)： 分類計(jì)數(shù)原理 ( 加法原理 ) 與分步計(jì)數(shù)原理( 乘法原理 )教學(xué)難點(diǎn)： 分類計(jì)數(shù)原理 ( 加法原理 ) 與分步計(jì)數(shù)原理( 乘法原理 ) 的準(zhǔn)確理解授課類型： 新授課課時(shí)安排： 1 課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析 ：兩個(gè)基本原理是排列、組合的開頭課， 學(xué)習(xí)它所需的先行知識跟學(xué)生已熟知的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系很少， 排列、組合的計(jì)算公式都是以乘法原理為基礎(chǔ)的，而一些較復(fù)雜的排列、組

2、合應(yīng)用題的求解， 更是離不開兩個(gè)基本原理，所以在教學(xué)目標(biāo)中特別提出要使學(xué)生學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地應(yīng)用兩個(gè)基本原理分析和解決一些簡單的問題對于學(xué)生陌生的知識，在開頭課中首先作一個(gè)大概的介紹，使學(xué)生有一個(gè)大致的了解是十分必要的基于這一想法，在引入新課時(shí)，首先是把這一章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，以及與其它科目的關(guān)系做了介紹，同時(shí)也引入了課題正確使用兩個(gè)基本原理的前提是要學(xué)生清楚兩個(gè)基本原理使用的條件；分類用加法原理，分步用乘法原理，單純這點(diǎn)學(xué)生是容易理解的，問題在于怎樣合理地進(jìn)行分類和分步教學(xué)中給出的練習(xí)均在課本例題的基礎(chǔ)上稍加改動(dòng)過的，目的就在于幫助學(xué)生對這一知識的理解與應(yīng)用兩個(gè)原理是教與學(xué)重點(diǎn)，又具有相當(dāng)難度加法和乘

3、法在小學(xué)就會(huì)，那么，在中學(xué)再學(xué)它與以往有什么不同?不同在于小學(xué)階段重在運(yùn)算結(jié)果的追求，而忽視了其過程中包含的深層次思想； 兩個(gè)原理恰恰深刻反映了人類計(jì)數(shù)最基本的“大事化小” ，即“分解” 的思想 更具體地說就是把事物分成類或分成步去數(shù) “分類”、“分步”，看似簡單，不難理解，卻是全章的理論依據(jù)和基本方法，貫穿始終，所以，是舉足輕重的重點(diǎn)兩個(gè)原理，要能在各種場合靈活應(yīng)用并非易事，所以，著實(shí)有其難用之處教學(xué)過程 ：一、復(fù)習(xí)引入：一次集會(huì)共 50 人參加，結(jié)束時(shí)，大家兩兩握手，互相道別，請你統(tǒng)計(jì)一下，大家握手次數(shù)共有多少？某商場有東南西北四個(gè)大門，當(dāng)你從一個(gè)大門進(jìn)去又從另一個(gè)大門出來，問你共有多少種

4、不同走法？揭示本節(jié)課內(nèi)容：等我們學(xué)了這一部分內(nèi)容后，這些問題會(huì)很容易解決而這部分內(nèi)容是代數(shù)中一個(gè)獨(dú)立的問題，與舊知識聯(lián)系很少，但它是以后學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理、概率學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)等知識的基礎(chǔ)內(nèi)容從本節(jié)課開始，我們將要學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容中一個(gè)獨(dú)特的部分排列、組合它們研究對象獨(dú)特，研究問題的方法不同一般雖然份量不多，但是與舊知識的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)，統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及生物的選種等都與它直接有關(guān)至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調(diào)配的問題，就離不開它今天我們就來學(xué)習(xí)本章的兩個(gè)基本原理( 這是排列、 組合的第一節(jié)課，把這一章的內(nèi)容作一個(gè)大概的介紹， 能使學(xué)生從一開始就對將要學(xué)習(xí)的知識有

5、一個(gè)初步的了解，并為本章的學(xué)習(xí)研究打下思想基礎(chǔ))第 1頁共 5頁二、 解新 ：1. 一（1 1）從甲地到乙地，可以乘火 ，也可以乘汽 ，一天中火 有3 班，汽 有2 班，那么一天中，乘坐 些交通工具從甲地到乙地共有多少種方法？分析：因 一天中乘火 有3 種走法，乘汽車有 2 種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以，共有 3+2=5 種不同的走法，如 所示(1 2) 從甲地到乙地，可以乘火 ，也可以乘汽 ， 可以乘 船一天中，火 有 4 班 ,汽 有2 班， 船有3 班 那么一天中乘坐 些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?分析：從甲地到乙地有3 方法：第一 方法，乘火 ，有4 種方法

6、；第二 方法，乘汽 ，有 2 種方法；第三 方法，火車乘 船， 有 3 種方法； 所以， 從甲地到乙地共有 4+2+3=9 種方法甲地汽車乙地22 分 數(shù)原理( 加法原理 ) ：做輪船一件事情，完成它可以有n 法，在第一 法中有m1 種不同的方法，在第二 法中有m2 種不同的方法，在第n 法中有 mn 種不同的方法那么完成 件事共有nm1m2lmn種不同的方法3. 二（ 2 1）從甲地到乙地， 要從甲地先乘火 到丙地，再于次日從丙地乘汽 到乙地，一天中，火 有 3 班，汽 有 2 班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？分析 : 因 乘火 有 3 種走法， 乘汽 有 2 種走法， 所

7、以， 乘一次火 再接著乘一次汽 從甲地到乙地，共有 3 2 6 種不同走法，如 所示，所有走法：火 1汽 1；火 1汽 2；火 2汽 1；火 2汽 2；火 3汽 1；火 3汽 2（ 2 2）如 , 由 a 村去 b 村的道路有2 條，由 b 村去 c 村的道路有3 條 從 a 村 b村去c村，共有多少種不同的走法？分析 :從 a 村 b 村去 c 村有 2 步 ,a村村第一步 ,由 a 村去 b 村有 2種方法,b村c第二步 ,由 b 村去 c 村有 3種方法,所以 從 a 村 b 村去 c 村共有 23 = 6種不同的方法4. 分步 數(shù)原理 ( 乘法原理 ) ：做一件事情，完成它需要分成n

8、個(gè)步 ，做第一步有m1 種不同的方法，做第二步有 m2 種不同的方法，做第 n步有 mn 種不同的方法，那么完成第 2頁共 5頁這件事有n m1 m2 lmn種不同的方法5. 原理淺釋分類計(jì)數(shù)原理 ( 加法原理 ) 中，“完成一件事，有n 類辦法”，是說每種辦法“互斥” ，即每種方法都可以獨(dú)立地完成這件事，同時(shí)他們之間沒有重復(fù)也沒有遺漏進(jìn)行分類時(shí)， 要求各類辦法彼此之間是相互排斥的，不論那一類辦法中的哪一種方法，都能獨(dú)立完成這件事.只有滿足這個(gè)條件，才能直接用加法原理，否則不可以.分步計(jì)數(shù)原理 ( 乘法原理 ) 中，“完成一件事， 需要分成 n 個(gè)步驟”，是說每個(gè)步驟都不足以完成這件事，這些步

9、驟，彼此間也不能有重復(fù)和遺漏如果完成一件事需要分成幾個(gè)步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事， 而各步要求相互獨(dú)立，即相對于前一步的每一種方法，下一步都有 m種不同的方法，那么完成這件事的方法數(shù)就可以直接用乘法原理.可以看出“分”是它們共同的特征，但是，分法卻大不相同兩個(gè)原理的公式是 : nm1 m2l mn , nm1 m2 lmn這種變形還提醒人們，分類和分步， 常是在一定的限制之下人為的，因此， 在這里我們大有用武之地：可以根據(jù)解題需要靈活而巧妙地分類或分步強(qiáng)調(diào)知識的綜合是近年的一種可取的現(xiàn)象 兩個(gè)原理， 可以與物理中電路的串聯(lián)、 并聯(lián)類比兩個(gè)基本原理的作用：計(jì)算做一

10、件事完成它的所有不同的方法種數(shù)兩個(gè)基本原理的區(qū)別：一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)；加法原理是“分類完成” ，乘法原理是“分步完成”三、講解范例：例 1書架的第1 層放有 4 本不同的計(jì)算機(jī)書，第2 層放有 3 本不同的文藝書，第3 層放有 2 本不同的體育書，（ 1）從書架上任取 1 本書，有多少種不同的取法？（ 2）從書架的第 1、 2、 3 層各取 1 本書，有多少種不同的取法？解：（ 1）從書架上任取1 本書，有 3 類辦法：第1 類辦法是從第1 層取 1 本計(jì)算機(jī)書，有 4 種方法；第2 類是從第2 層取 1 本文藝書，有3 種方法；第 3類辦法是從第 3 層取 1本體育書，有2 種方

11、法 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是4+3+2=9 種所以，從書架上任取 1 本書，有 9 種不同的取法；（2）從書架的第1、 2、 3 層各取 1 本書，可以分成3 個(gè)步驟完成：第 1 步從第 1 層取 1 本計(jì)算機(jī)書，有4 種方法；第2 步從第 2 層取 1 本藝術(shù)書，有3 種方法；第3 步從第 3 層取 1本體育書，有2 種方法 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，從書架的第1、 2、 3 層各取1 本書，不同取法的種數(shù)是4 3 224種所以，從書架的第1、 2、 3 層各取 1 本書，有 24 種不同的取法例 2一種號碼撥號鎖有4 個(gè)撥號盤，每個(gè)撥號盤上有從0 到 9 共 10個(gè)數(shù)字，這 4 個(gè)撥號盤

12、可以組成多少個(gè)四位數(shù)號碼？解：每個(gè)撥號盤上的數(shù)字有10 種取法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，4 個(gè)撥號盤上各取 1 個(gè)數(shù)字組成的四位數(shù)字號碼的個(gè)數(shù)是n 10 1010 1010000，所以，可以組成10000 個(gè)四位數(shù)號碼例 3 要從甲、乙、丙 3 名工人中選出2 名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？第 3頁共 5頁解：從 3 名工人中選1 名上日班和1 名上晚班，可以看成是經(jīng)過先選1 名上日班，再選1 名上晚班兩個(gè)步驟完成，先選1 名上日班，共有3 種選法；上日班的工人選定后，上晚班的工人有2 種選法根據(jù)分步技數(shù)原理，不同的選法數(shù)是n326 種， 6 種選法可以表示如下：日班晚班甲乙甲丙乙甲乙丙丙

13、甲丙乙所以，從3 名工人中選出2 名分別上日班和晚班，6 種不同的選法例 4甲廠生產(chǎn)的收音機(jī)外殼形狀有3 種，顏色有 4 種，乙廠生產(chǎn)的收音機(jī)外殼形狀有4種，顏色有 5 種，這兩廠生產(chǎn)的收音機(jī)僅從外殼的形狀和顏色看，共有所少種不同的品種？解：收音機(jī)的品種可分兩類：第一類：甲廠收音機(jī)的種類，分兩步：形狀有3 種，顏色有4 種，共 3412 種；第二類：乙廠收音機(jī)的種類，分兩步：形狀有4 種，顏色有5 種，共 4520 種所以，共有 122032 個(gè)品種說明：分類和分步計(jì)數(shù)原理，都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題區(qū)別在于： 分類計(jì)數(shù)原理針對 “分類” 問題，其中方法相互獨(dú)立， 用其中任何一種方

14、法都可以做完這件事；分步計(jì)數(shù)原理針對“分步”問題，各個(gè)步驟中方法相互獨(dú)立，只有各個(gè)步驟都完成才算完成了這件事四、課堂練習(xí)：1 .書架上層放有6 本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5 本不同的語文書(1) 從中任取一本，有多少種不同的取法？(2) 從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有多少種不同的取法？解： (1) 從書架上任取一本書，有兩種方法：第一類可從6 本數(shù)學(xué)書中任取一本，有6 種方法； 第二類可從 5 本語文書中任取一本， 有 5 種方法； 根據(jù)加法原理可得共有 5+6=11 種不同的取法(2)從書架上任取數(shù)學(xué)、語文書各一本，可以分成兩步完成：第一步任取一本數(shù)學(xué)書，有6種方法； 第二步任取一本語文書，

15、有 5 種方法根據(jù)乘法原理可得共有5 6=30 種不同取法2. 某班級有男學(xué)生 5 人，女學(xué)生 4 人(1) 從中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng) , 有多少種不同的選法？(2) 從中任選男、女學(xué)生各一人去參加座談會(huì)，有多少種不同的選法？解： (1)完成從學(xué)生中任選一人去領(lǐng)獎(jiǎng)這件事，共有2 類辦法，第一類辦法，從男學(xué)生中任選一人，共有 m1 = 5 種不同的方法；第二類辦法，從女學(xué)生中任選一人，共有 m2 = 4 種不同的方法所以 ,根據(jù)加法原理 ,得到不同選法種數(shù)共有n = 5 + 4 = 9種(2)完成從學(xué)生中任選男、女各一人去參加座談會(huì)這件事,需分 2 步完成 ,第一步，選一名男學(xué)生，有m1 = 5 種方

16、法；第二步，選一名女學(xué)生，有m2 = 4 種方法；第 4頁共 5頁所以，根據(jù)乘法原理,得到不同選法種數(shù)共有n = 5 4 = 20種由例 1 可知：解題的關(guān)鍵是從總體上看做這件事情是“分類完成”，還是“分步完成”“分類完成”用“加法原理”；“分步完成”用“乘法原理”3. 滿足 a b = 1,2 的集合 a 、 b 共有多少組 ?分析一 : a 、 b 均是 1,2 的子集 : , 1 , 2 , 1,2 , 但不是隨便兩個(gè)子集搭配都行 , 本題尤如含 a、 b 兩元素的不定方程 , 其全部解分為四類 :1) 當(dāng) a= 時(shí) , 只有 b = 1,2 , 得 1 組解 ;2) 當(dāng) a= 1時(shí) , b= 2或 b = 1,2 , 得 2 組解 ;3) 當(dāng) a= 2時(shí) , b= 1或 b = 1,2 , 得 2 組解 ;4) 當(dāng) a= 1,2 時(shí) , b = 或 1或 2或 1,2 , 得 4 組解 .根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理, 共有 1+2+2+4=9 組解 .分析二 : 設(shè) a 、 b 為兩個(gè)“口袋”,需將兩種元素 (1 與 2)裝入 ,任一元素至少裝入一個(gè)袋中,分兩步可辦好此事:第 1 步裝 “1”,可裝入 a 不裝入 b ,也可裝入 b 不裝入 a,還可以既裝入a又裝入 b ,有 3 種裝