三角形角平分線地結論及應用

1、淺議三角形角平分線的結論及應用摘要：一個角的平分線是一條射線，而三角形的角平分線是一條線段。本文主要談兩點：關于三角形的內、外角平分線的夾角的問題和關于三角形內、外角平分線的交點問題。關于三角形的內、外角平分線的夾角問題：（1）三角形兩內角平分線的夾角等于90度與三角形第三個內角的一半的和。（2）三角形兩外角平分線的夾角等于90度與三角形第三個內角的一半的差。（3）三角形一個內角的平分線與一個外角平分線的夾角等于三角形第三個內角的一半（4）三角形兩內角平分線的夾角與兩外角平分線的夾角互補或相等。關于三角形內外角平分線的交點問題：（5）三角形的三條內角平分線相交于一點，這點到三角形的三邊的距離相

2、等（6）三角形兩外角平分線的交點到三角形三邊所在的直線相等，并且這點在三角形第三個內角的平分線上等關鍵詞：三角形角平分線 夾角 交點 變式練習一個三角形的角平分線不外乎就是內角的平分線和外角的角平分線。在學習過程中，教師要指導學生善于對三角形的角平分線的基本圖形進行歸納，對角平分線的性質和結論做好總結，這樣對以后知識的積累有很大的幫助，對解決復雜的幾何證明題也更便捷。下面就三角形角平分線的相關結論逐一探討。結論一：如圖1、在ABC中，、的角平分線的交與點D，試探究：D=。解：BD、CD為角平分線， （圖1） 。 在中：（） （） （）變式練習的題目有（1）如圖2、在ABC中，、的角平分線的交與

3、點D，D=100，則A的度數(shù)是 度。解:由結論1得知，D=。則=2D180，容易得出=20 （圖2）（2）如圖3: 在四邊形ABCD中，D=120， A=100 、的角平分線的交與點E，試求BEC的度數(shù)。 解： A+D=360又D=120， A=100+=140 BE、CE分別是、的角平分線EBC+ECB=70. （圖3）BEC=110. 結論二、 如圖4，ABC中，為的兩條外角平分線的交點，試探究：DA解：、為角平分線CBD= （圖4） 在中：（） （）（）（） A 變式練習的題目：（1）如圖5，ABC中，A=60，為的兩外角CBE與BCE的三等分線的交點，則D的度數(shù)是 。 解：、為CBE與

4、BCE三等分線CBD= 在中：（） （圖5）（） （） （）12A 100. （圖6）（2）如圖6，在中，三個外角的平分線所在的直線相交構成DEF，試判斷DEF的形狀。 解:由結論二容易得出D90ACB, E90BCA 、F90ABC， 由于D、E、F都小于90，所以DEF是銳角三角形 結論三、 如圖7，在中，與的外角的平分線交與點D，試探究：。解：為角平分線，又為的平分線. =E， （圖7） E（E） 。變式練習的題目有;（1）如圖8，如圖，在ABC中，延長BC到D,ABC與ACD的角平分線相較于點，BC與CD的平分線交與點，以此類推，若A=96，則= 度解：由命題的結論不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律A可以直

5、接得：=96=3 （圖8）結論四、如圖9，在ABC中，、的角平分線的交與點D，的兩條外角平分線交與點E，試探究：D+E=180證明：由結論一可知;D= 則=2D180 由結論二可知：EA =180 2E 由可知2D180= 180 2E （圖9）由此得出D+E=180變式練習的題目：如圖10，點M是ABC兩個內角的平分線的交點，點N是ABC兩個外角的平分線的交點，如果CMBCNB=32，那么CAB= 度 由結論四可知，CMB+CNB=180，CMBCNB=32，CMB=1803=108，由結3可知，90+12CAB=CMB=108，CAB=36 （圖10）結論五： 如圖11, ABC中、的角平

6、分線BN、CM的交與點P，,求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等證明;過點P作PD AB、PEBC、PFCA， 垂足分別是D、E、F BN是的角平分線，PD AB、PEBC PD=PE 同理 PE=PF. （圖11） PD=PE=PF. 即點P到邊AB、BC、 CA的距離相等變式練習的題目有: （1）已知，如圖12，求證:的三條角平分線相交于一點P證明；假設ABC、ACB的平分線交于點P. 則過點P作過點P作PD AB、PEBC、PFCA, 垂足分別是D、E、F BN是的角平分線，PD AB、PEBC PD=PE 同理 PE=PF. PD=PF. PD AB、PFCA,點P在A的平分線上

7、 （圖12）即A、ABC、ACB的平分線相交于一點P（2）已知ABC中、的角平分線的交與點D，,求證：點D在A的平分線上（證明略） 結論六：如圖13，點E是ABC一個內角平分線BE與一個外角平分線CE的交點，求證:AE是ABC的外角平分線.證明：如圖：則過點E作過點P作EG AC、EFBD、EHBH,垂足分別是G、F 、HBE是ABC的平分線, EFBD、EHBH, 即EF=EG=EH可得：EH=EF 同理：EG=EF EG=EH EG AC、EHBH, （圖13）AE是ABC的外角平分線變式練習題目：（1）如圖14，直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉站,要求它到三條公路的距離相等

8、,則可供選擇的地址有:( ) A.一處 B. 兩處 C.三處 D.四處 （圖14）解：由以上很容易得到答案：D（2）如圖15，的的外角的平分線與的外角的平分線相交于點F求證：點F到三邊，所在直線的距離相等 （證明略）(3) 點D是ABC兩個外角平分線BD、CD的交點， 求證:AD是CAB的角平分線。 (證明略) （圖15）掌握以上知識，那么完成以下題目就很輕松喲！1、（ 2011年湖北省鄂州是中考題）ABC的外角ACD的平分線CP的內角ABC平分線BP交于點P，若BPC=40，則CAP=_解：由結論六可知:AP是ABC的一個外角的平分線由結論三可知：BPC. BPC=40A=80. A的相鄰外角是100， （圖16）所以CAP=50 2、(2003年山東省“KLT快樂靈通杯”初中數(shù)學競賽試題)如圖17，在RtABC中，ACB=90，BAC=30，ACB的平分線與ABC的外角平分線交與E點，連接AE，則AEB= 度解：由結論六可以知道：AE是ABC的一個外角平分線,由結論二可知：AEB=90ACB 由此可得AEB=9090=45 （圖17） 從上面的做題過程來看題目中