5.第四章：二維平面晶體學(xué)

1、1,第四章 二維平面晶體學(xué),本章主要討論可以抽象出二維平面點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)的客體的對(duì)稱性。,如晶體的表面，截面等。,二維晶體學(xué)所見(jiàn)即所得，許多結(jié)論可直接推廣到三維。,10個(gè)點(diǎn)群，5種點(diǎn)陣，17個(gè)空間群。,32個(gè)點(diǎn)群，14種點(diǎn)陣，230個(gè)空間群。,2,4-1 群論基礎(chǔ)（II）,4-1-1 共軛，共軛類,3,群G中所有元素可分為若干個(gè)共軛類，每一元素屬于且僅屬于G 的一個(gè)共軛類。,定義2： 群G中的所有相互共軛的元素的集合稱為G的一個(gè)共軛類。,定義3： 設(shè)A,X為兩個(gè)操作，則滿足B=XAX-1的操作B稱為與A近似， 或稱B與A是近似操作。,共軛操作要求a,b,x皆為群元素，相似關(guān)系A(chǔ),B,X可不是群元素。

2、,若A 是一個(gè)方矩陣，則滿足B=XAX-1的矩陣B稱為A的相似矩陣， 相應(yīng)的變換稱為相似變換。,互為相似的矩陣間有兩個(gè)不變量：,（1）相似矩陣具有相同的跡。點(diǎn)操作矩陣W的跡Tr(W) 不隨坐標(biāo)系選取而變。,（2）相似矩陣具有相同的矩陣行列式。點(diǎn)操作矩陣的Det(W) 不隨坐標(biāo)系選取而變。,4,5,對(duì)稱操作群中,共軛操作有十分鮮明的幾何意義,6,交換群的每一個(gè)元素自成一個(gè)共軛類。,對(duì)于交換群中的任意兩個(gè)元素a,b,有ab=ba,即a=bab-1,交換群中所有元素對(duì)任一元素的共軛變換均將這一元素變?yōu)樽陨怼?即所有操作都將任一操作的對(duì)稱要素共軛變換為自身。,例：?jiǎn)屋S群Cn是交換群，群中的任何旋轉(zhuǎn)都不

3、會(huì)改變對(duì)稱軸的位置。,例：C2h是交換群。,7,相似操作也有十分鮮明的幾何意義：,滿足B=XAX-1的操作A，B是同類型的操作，X是使操作A的幾何要素 與操作B的幾何要素重合的操作。,相似操作關(guān)系WB=XWAX-1可以理解為：在B處完成一件產(chǎn)品（WB） 等效于將工廠由B處搬到A處（X-1），然后在A處完成制作（WA） 最后將工廠由A處運(yùn)回B處（X）。,引入相似操作的便利在于： 在B處不易完成的操作，可轉(zhuǎn)化為在A處完成。,8,例：證明定理3-3a,例：由定理3-1a說(shuō)明相似旋轉(zhuǎn)操作的幾何意義。,9,例相似旋轉(zhuǎn)操作的幾何意義證明一個(gè)重要定理。,定理4-1（萬(wàn)花筒原理）：,證明：如圖，將X軸取在鏡面

4、mj上，并使之與鏡面mi和mj 的交線垂直。反映mi將點(diǎn)（x，y，z）操作至（x，-y，z）。,mj對(duì)（x，y，z）的操作？,把對(duì)鏡面mj的反映轉(zhuǎn)化對(duì)鏡面mi 反映的表達(dá)式。,由相似操作的概念,10,11,4-1-2 子群，子群的陪集，子群的陪集展開(kāi),定義1：設(shè)H為群G的一個(gè)子群，a為G的一個(gè)元素，a左乘H的 每一個(gè)元素得到的集合aH稱為H的一個(gè)左陪集，同理 可定義H的右陪集。,定理4-2 ：1）有限群的子群H的每一左（右）陪集中的元素個(gè)數(shù) 與H中的個(gè)數(shù)相同。 2）H的任何兩個(gè)左（右）陪集的兩組元素或全部相同 或全不同。,定理4-3（Lagrange陪集展開(kāi)定理） ： 群G的階q為其子群H的階

5、r 的整數(shù)倍。,證明,12,4-1-3 共軛子群，不變子群,定義1：設(shè)H為群G的一個(gè)子群，g為G的一個(gè)元素，則集合,構(gòu)成一個(gè)群，稱為H的共軛子群。,定義2：若對(duì)稱操作群中存在著一組對(duì)稱要素互易位置的操作， 則稱這組對(duì)稱要素相互共軛。,13,4-1-4 直積群,1. 外直積群,外直積群G具有如下性質(zhì)：,（1）G滿足群的定義。,（2）G中兩個(gè)直積因子群H和P都是G的不變子群。,（3）G的階q=rs。,14,2. 半直積群,半直積群G具有如下性質(zhì)：,（1） 構(gòu)成群。,（2）G中第一直積因子群H是P的不變子群。,（3）G的階q=rs。,15,4-1-5 同構(gòu)與同態(tài),16,兩個(gè)同構(gòu)群的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系不會(huì)由

6、于運(yùn)算而改變,定理4-4 ：n階群A和n階群B同構(gòu)的充要條件是乘法表相同,所有的二階群和三階群都是同構(gòu)的。,有限群的同構(gòu)具有傳遞性。,17,同構(gòu)允許多一對(duì)應(yīng),18,4-2 平面晶體學(xué)點(diǎn)群,4-2-1 點(diǎn)群的直觀體現(xiàn)：對(duì)稱要素系和對(duì)稱等效點(diǎn)系,點(diǎn)群的客體可以是：宏觀晶體，微觀點(diǎn)陣，晶體各種物理性質(zhì)的 函數(shù)空間等。,晶體學(xué)點(diǎn)群個(gè)數(shù)：,點(diǎn)群平移對(duì)稱性限定了晶體對(duì)稱軸的軸次， 所以限定了晶體學(xué)點(diǎn)群的個(gè)數(shù)。,對(duì)稱要素系 指點(diǎn)群中各對(duì)稱操作據(jù)以進(jìn)行的，采取一定空間 布局的一組對(duì)稱要素，簡(jiǎn)稱對(duì)稱系。,有限客體的對(duì)稱系與該客體之點(diǎn)群包含等價(jià)的對(duì)稱性內(nèi)容。,一個(gè)點(diǎn)群唯一地對(duì)應(yīng)一種對(duì)稱系，一種對(duì)稱系唯一地對(duì)應(yīng)一種

7、點(diǎn)群。,點(diǎn)群的封閉性對(duì)應(yīng)于對(duì)稱系的完整性,在點(diǎn)群的任何對(duì)稱操作前后，對(duì)稱系守恒。,19,對(duì)稱系中的共軛和共軛類借助于點(diǎn)群的對(duì)稱操作來(lái)定義。,若群中存在使一組對(duì)稱要素互易位置（但不可辨別）的操作， 則稱這組對(duì)稱要素相互共軛。,相互共軛的一組對(duì)稱要素組成共軛對(duì)稱系。,4-2-2 第I類點(diǎn)操作（旋轉(zhuǎn)）構(gòu)成的點(diǎn)群,三維空間的對(duì)稱軸在二維空間退縮為“對(duì)稱點(diǎn)”。,二維平面點(diǎn)群的對(duì)稱系中不能有兩個(gè)或兩個(gè) 以上不重合對(duì)稱軸。,否則產(chǎn)生平移。,20,4-2-3 包含第II類點(diǎn)操作（反映）的點(diǎn)群,平面中的反演等價(jià)于二重旋轉(zhuǎn)，二維空間的反演等價(jià)于第I類操作。,三維空間的對(duì)稱面在平面空間內(nèi)退縮為“對(duì)稱線”。,平面點(diǎn)群

8、的對(duì)稱系中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的對(duì)稱面時(shí)，這些對(duì)稱面 必然交于一線，形成對(duì)稱軸。,21,22,4-3 平面點(diǎn)陣,4-3-1 平面點(diǎn)陣，基矢，晶胞,23,24,4-3-2 五種平面點(diǎn)陣,依據(jù)點(diǎn)陣的點(diǎn)群對(duì)稱性來(lái)推導(dǎo)二維點(diǎn)陣的所有類型。,25,26,27,28,4-3-3 點(diǎn)陣點(diǎn)群,29,30,4-4 平面空間群I：點(diǎn)式空間群,晶體學(xué)空間群是微觀晶體對(duì)稱操作的集合。,點(diǎn)陣可視為單個(gè)單個(gè)同種原子作為點(diǎn)陣點(diǎn)的簡(jiǎn)單晶體,點(diǎn)陣這一特殊晶體的空間群如何表示？,31,32,4-4-1 點(diǎn)式空間群的構(gòu)成，13個(gè)點(diǎn)式空間群,33,34,（1）.二重旋轉(zhuǎn)與點(diǎn)陣平移的組合：新的二重旋轉(zhuǎn),35,（2）.4重旋轉(zhuǎn)與點(diǎn)陣平移的組合：新的4重旋轉(zhuǎn)和二重旋轉(zhuǎn),P4空間群的對(duì)稱系和對(duì)稱等效點(diǎn)系。,對(duì)稱圖案,36,（3）.3重旋轉(zhuǎn)與點(diǎn)陣平移的組合：新的3重旋轉(zhuǎn),P3空間群的對(duì)稱系和對(duì)稱等效點(diǎn)系。,37,（4）.6重旋轉(zhuǎn)與點(diǎn)陣平移的組合：,P6空間群的對(duì)稱系和對(duì)稱等效點(diǎn)系。,38,（5）.反映與平移的組合：,39,4-4-2 點(diǎn)式空間群的HM符號(hào),40,討論：,41,42,P4空間群的對(duì)稱系和對(duì)稱等效點(diǎn)系。,43,4-4-3 空間群的基本對(duì)稱操作，位置點(diǎn)與位置點(diǎn)群,44,4-5 平面空間群II: 非點(diǎn)式空間群,討論點(diǎn)式空間群時(shí)，有兩方面的對(duì)稱性內(nèi)容尚