信號(hào)與系統(tǒng)第六章

1、信號(hào)與系統(tǒng),第6章 離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析 （教材第七章內(nèi)容）,主要內(nèi)容,6.1 離散時(shí)間信號(hào)的描述 6.2 離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 6.3 離散系統(tǒng)的零輸入和零狀態(tài)響應(yīng) 6.4 離散序列卷積（和）,6.1離散時(shí)間信號(hào)的描述,一、離散信號(hào)的描述 定義：離散信號(hào)是離散時(shí)間變量 tn（n為任意整數(shù)）的函數(shù)，記為 x ( tn )。 通常取 tn= nT，T為離散時(shí)間的間隔 離散信號(hào)的表示： (a) 圖形表示,(b) 解析表示 如： (c) 集合表示 如：,二、常用的離散序列（參看演示） 單位樣值信號(hào)（Unit Sample或Unit Impulse）,單位階躍序列 矩形序列,以上三種序列滿足下列關(guān)

2、系：,斜變序列 指數(shù)序列 正弦序列,|a|1 時(shí)，序列是發(fā)散的， |a|0 時(shí)，序列都取正值，a0 時(shí)，序列在正、負(fù)擺動(dòng)。,課堂討論 連續(xù)正弦信號(hào)是周期信號(hào)，正弦序列也一定是周期信號(hào)嗎？ 如果正弦序列是由正弦信號(hào)抽樣得到，那么什么條件下，得到的序列為周期信號(hào)？,復(fù)指數(shù)序列 設(shè)復(fù)數(shù) ， ， 則復(fù)指數(shù)序列,可見，復(fù)指數(shù)序列的實(shí)部和虛部均為幅值按指數(shù)規(guī)律變化的正弦序列。,三、離散序列的運(yùn)算,1. 相加： 2. 相乘： 3. 時(shí)移： 4. 反褶： 5. 尺度變換：,尺度變換后數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否保持不變？,6.2離散時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,注： 線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng) 線性常系數(shù)微分方程 線性時(shí)不變離散系統(tǒng) 線性

3、常系數(shù)差分方程,設(shè)有序列x(n)，則，x(n+2)，x(n+1)，x(n-1)，x(n-2)等稱為x(n)的移位序列。 仿照連續(xù)信號(hào)的微分運(yùn)算，定義離散信號(hào)的差分運(yùn)算。 1. 差分運(yùn)算,一、差分與差分方程,離散信號(hào)的變化率有兩種表示形式：,所以，可定義 （1）一階前向差分定義： （2）一階后向差分定義： 式中，和稱為差分算子，無原則區(qū)別。本書主要用后向差分，簡(jiǎn)稱為差分。 （3）差分的線性性質(zhì)： （4）二階差分定義： （5） m階差分:,2. 差分方程 包含未知序列 y(n) 及其各階差分的方程式稱為差分方程。將差分展開為移位序列，得一般形式,差分方程本質(zhì)上是遞推的代數(shù)方程； 若已知初始條件和激

4、勵(lì)，利用迭代法可求得其數(shù)值解。,【例1】 若描述某系統(tǒng)的差分方程為,已知系統(tǒng)的初始條件為 y(0)=0, y(1)=2 ，激勵(lì)為 求 y(n) 。,解：,迭代法一般不易得到解析形式的(閉合)解,二、差分方程的經(jīng)典解,與微分方程經(jīng)典解類似， 1. 齊次解 yh(n) 齊次方程 其特征方程為 其根 i ( i = 1，2，n) 稱為差分方程的特征根。,齊次解的形式取決于特征根。 當(dāng)特征根 為單根時(shí)，齊次解 y (n) 形式為： 當(dāng)特征根 為 r 重根時(shí)，齊次解 y (n) 形式為：,如：特解為 則齊次解為,2. 特解 yp(k) : 特解的形式與激勵(lì)的形式相同 1) 激勵(lì) x(n)=nm (m0)

5、 所有特征根均不等于1 時(shí)，特解為 有 r 重等于1 的特征根時(shí)，特解為,2) 激勵(lì) x(n)=an 當(dāng) a 不等于特征根時(shí): 當(dāng) a 是 r 重特征根時(shí):,3) 激勵(lì) x(n)=cos(n) 或 sin(n) ej 不是特征根時(shí): ej是 r 重特征根:,【例2】 若描述某系統(tǒng)的差分方程為,系統(tǒng)的初始條件為 y(0)=0，y(1)= -1，激勵(lì)為 x(n)=2n，n0，求全解。,解：特征方程為 可解得特征根 其齊次解為,根據(jù)激勵(lì)的形式，可知特解具有以下形式：,代入方程，得：,解得,所以得特解：,故全解為,代入初始條件得,三、離散系統(tǒng)的框圖表示,離散系統(tǒng)的基本運(yùn)算有延時(shí)（移序）、乘法、加法，這

6、些基本運(yùn)算可以由基本運(yùn)算單元來實(shí)現(xiàn)。,1. 延時(shí)器,注：也用符號(hào)“T”或“D”表示,2. 加法器,3. 乘法器,或：,【例3】列出下列系統(tǒng)的差分方程。,【例4】畫出下列系統(tǒng)的框圖。,6.3 離散系統(tǒng)的零輸入和零狀態(tài)響應(yīng),零輸入條件下，離散系統(tǒng)方程為,一般給定的系統(tǒng)的初始狀態(tài)為,一、零輸入響應(yīng),系統(tǒng)的完全響應(yīng) y(n) 零輸入響應(yīng) yzi(n) 零狀態(tài)響應(yīng)yzs(n),【例5】 若描述某系統(tǒng)的差分方程為,已知系統(tǒng)的初始條件為 y(-1)=0, y(-2)=2 ，求零輸入響應(yīng) yzi(n),解：特征方程為 特征根為 零輸入響應(yīng)為 代入初始條件 所以,二、零狀態(tài)響應(yīng),若信號(hào)在 n=0 接入系統(tǒng)，則零

7、狀態(tài)是指 都等于0的系統(tǒng)（k階系統(tǒng)）。,1）單位樣值響應(yīng) h(n),定義：?jiǎn)挝粯又?作為激勵(lì)而產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。 由于單位樣值響應(yīng)h(n)表征了系統(tǒng)自身的特性，可以根據(jù)h(n)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性。,可把單位樣值 激勵(lì)信號(hào)等效為起始條件來求解h(n) 。,離散線性時(shí)不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的沖要條件是 離散時(shí)間系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的沖要條件是,其中M為有界正值,【例6】 系統(tǒng)的差分方程為,求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。,解：1）求齊次解。特征方程為 特征根為3重根 齊次解的表示式為 2）因?yàn)橄到y(tǒng)的初始狀態(tài)為0，所以可推知,以此作為邊界條件建立方程組求解系數(shù)C,解得：,所以，系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)為,2）零狀態(tài)響應(yīng),由于離散激勵(lì)信號(hào)可以分解為單位樣值信號(hào)的疊加，對(duì)應(yīng)每個(gè)樣值激勵(lì)，系統(tǒng)得到對(duì)此樣值的響應(yīng)，每個(gè)響應(yīng)都是一個(gè)離散序列，將這些序列疊加即可得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。,6.4 卷積（和）,離散時(shí)間系統(tǒng)的任意激勵(lì)信號(hào) x(n) 可以表示為單位樣值加權(quán)取和的形式：,根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性可知，系統(tǒng)對(duì)此激勵(lì)的響應(yīng)為,1）定義,稱,為x(n)與h(n)的卷積和,記為,2）性質(zhì),卷積和具有和連續(xù)系統(tǒng)中的卷積類似的性質(zhì)。,3）卷積和的求解,圖解法：分解為反褶平移相乘取和,對(duì)位相乘求和法：