河北省滄州市2015-2016學(xué)年高一下期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

第 1 頁（共 16 頁） 2015年河北省滄州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。 1在 ， a=3， b=5， ，則 ） A B C D 1 2直線 x y+1=0 的傾斜角是（ ） A B C D 3在正項(xiàng)等比數(shù)列 ，若 ， ，則公比為（ ） A 2 B 1 C D 4若 a b，則下列不等式成立的是（ ） A C 5若直線 l 平面 ，直線 m ，則 l 與 m 的位置關(guān)系是（ ） A l m B l 與 m 異面 C l 與 m 相交 D l 與 m 沒有公共點(diǎn) 6已知等差數(shù)列 足 a2+a7=，則 ） A 2 B 3 C 4 D 5 7下列說法正確的是（ ） A圓臺(tái)是直角梯形繞其一 邊旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體 B棱臺(tái)的上下底面一定相似，但側(cè)棱長不一定相等 C頂點(diǎn)在底面的投影為底面中心的棱錐為正三棱錐 D圓錐是直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體 8輪船 A 和輪船 B 在中午 12 時(shí)離開海港 C，兩艘輪船航行方向的夾角為 120，輪船 A 的航行速度是 25 海里 /小時(shí)，輪船 B 航行速度是 15 海里 /小時(shí)，下午 2 時(shí)兩船之間的距離是（ ） A 35 海里 B 35 海里 C 35 海里 D 70 海里 9設(shè) 變量 x， y 滿足約束條件 ，則 的取值范圍是（ ） A 5， B 5， 0） ， +） C（ ， 5 ， +） D 5， 0） （ 0， 10已知某幾何體的三 視圖如圖所示，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為（ ） 第 2 頁（共 16 頁） A B C D 3 11已知點(diǎn) P 為線段 y=2x， x 2， 4上任意一點(diǎn)，點(diǎn) Q 為圓 C：（ x 3） 2+（ y+2） 2=1 上一動(dòng)點(diǎn)，則線段 |最小值為（ ） A 1 B C D 12已知數(shù)列 足 ， = ， ，則使 63 的最小的 n 為（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 二、填空題 :本大題共 4 小題。每小題 5 分，共 20 分 . 13關(guān)于 x 的不等 式 280 的解集為（ 2， 4），則 a= 14在三棱錐 V ， B=C=2， ， ，則二面角 V 15已知 m 0， n 0 且滿足 2m+3n=2，則 + 的最小值是 16已知三棱錐 A ， D=D= ， C= ，則該三棱錐外接球的體積為 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分。解答寫出文字說明、證明或驗(yàn)算步驟 17已知直線 2x y+1=0， y 2=0 （ ）若 a 的值； （ ）若 a 的值，并求出 的距離 18如圖，已知平面 平面 D=， ， （ ）求證： （ ）求三棱錐 B 體積 19已知銳角 內(nèi)角分別為 A， B， C，其對(duì)邊分別為 a， b， c，向量 =（ 2）， =（ 且 第 3 頁（共 16 頁） （ ）求角 B 的大小； （ ）若 b= ，求 周長的最大值 20如圖，直三棱柱 各條棱長均為 4， D 是側(cè)棱 中點(diǎn) （ ）在線段 是否存在一點(diǎn) M，使得 平面 存在，求出 長若不存在，請(qǐng)說明理由； （ ）求 平面 成角的正弦值 21已知數(shù)列 足 =3， n N*， ， bn= （ ）證明 等比數(shù)列，并求 通項(xiàng)公式； （ ）若 n，求數(shù)列 cn前 n 項(xiàng)和 22已知 A（ 1， 0）， B（ 1， 0），圓 C： 2kx+y 35=0 （ ）若過 B 點(diǎn)至少能作一條直線與圓 C 相切，求 k 的取值范圍 （ ）當(dāng) k= 時(shí)，圓 C 上存在兩點(diǎn) 足 0（ i=1， 2），求 | 長 第 4 頁（共 16 頁） 2015年河北省滄州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。 1在 ， a=3， b=5， ，則 ） A B C D 1 【考點(diǎn)】 正弦定理 【分析】 由正弦定理列出關(guān)系式，將 a， b 及 值代入即可求出 值 【解答】 解： a=3， b=5， ， 由正弦定理得： = = 故選 B 2直線 x y+1=0 的傾斜角是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 直線的傾斜角 【分析】 把直線的方程化為斜截式，求出斜率，根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系，傾斜角的范圍，求出傾斜角的大小 【解答】 解：直線 y+1=0 即 y= x+1，故直線的斜率等于 ，設(shè)直線的傾斜角等于 ， 則 0 ，且 ，故 =60， 故選 B 3在正項(xiàng)等比數(shù)列 ，若 ， ，則公比為（ ） A 2 B 1 C D 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 利用等比數(shù)列的通項(xiàng) 公式及其性質(zhì)即可得出， 【解答】 解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列 公比為 q 0， ， ， =22q=4， 化為 q 2=0，解得 q=2 故選； A 4若 a b，則下列不等式成立的是（ ） 第 5 頁（共 16 頁） A C 【考點(diǎn)】 不等關(guān)系與不等式 【分析】 利用不等式的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性就 看得出 【解答】 解： a b， 2a 2b 0， ， 故 D 正確 故選 D 5若直線 l 平面 ，直線 m ，則 l 與 m 的位置關(guān)系是（ ） A l m B l 與 m 異面 C l 與 m 相交 D l 與 m 沒有公共點(diǎn) 【考點(diǎn)】 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【分析】 由線面平行的定義可判斷 l 與 無公共點(diǎn)，直線 m 在平面 內(nèi)，故 l m，或 l 與m 異面 【解答】 解： 直線 l 平面 ，由線面平行的定義知 l 與 無公共點(diǎn)， 又直線 m 在平面 內(nèi)， l m，或 l 與 m 異面， 故選 D 6已知等差數(shù)列 足 a2+a7=，則 ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出 【解答】 解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得： a2+a7=a5+a4=，則 ， 故選： B 7下列說法正確的是（ ） A圓臺(tái)是直角梯形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體 B棱臺(tái)的上下底面一定相似，但側(cè)棱長不一定相等 C頂點(diǎn)在底面的投影為底面中心的棱錐為正三棱錐 D圓錐是直角三角形繞其一邊旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體 【考點(diǎn)】 棱臺(tái)的 結(jié)構(gòu)特征；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)） 【分析】 根據(jù)旋轉(zhuǎn)體和正棱錐的概念判斷，圓柱、圓錐、圓臺(tái)的旋轉(zhuǎn)軸是否正確 【解答】 解： 圓臺(tái)是直角梯形繞直角腰所在的直線旋轉(zhuǎn)而成， A 錯(cuò)誤； 棱臺(tái)是由平行于底面的平面截得的，故棱臺(tái)的上下底面一定相似，但側(cè)棱長不一定相等， B 正確； 頂點(diǎn)在底面的投影為底面中心且底面是正三角形的棱錐為正三棱錐， C 錯(cuò)誤； 圓錐是直角三角形繞其直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)而成， D 錯(cuò)誤； 故選 B 8輪船 A 和輪船 B 在中午 12 時(shí)離開海港 C，兩艘輪船航行方向的夾角為 120，輪船 A 的航行速 度是 25 海里 /小時(shí)，輪船 B 航行速度是 15 海里 /小時(shí)，下午 2 時(shí)兩船之間的距離是（ ） 第 6 頁（共 16 頁） A 35 海里 B 35 海里 C 35 海里 D 70 海里 【考點(diǎn)】 解三角形的實(shí)際應(yīng)用 【分析】 題意可得， 0， 0， 20，作出示意圖，由余弦定理可得2求 兩輪船的距離 【解答】 解：由題意可得， 0， 0， 20 由余弦定理可得， 2 =4900 0 海里 故選： D 9設(shè)變量 x， y 滿足約束條件 ，則 的取值范圍是（ ） A 5， B 5， 0） ， +） C（ ， 5 ， +） D 5， 0） （ 0， 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線斜率的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可 【解答】 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn) D（ 2， 2）的斜率， 由 得 ，即 A（ 1， 3）， 由 得 ，即 B（ 5， 3）， 則 斜率 k= = 5， 斜率 k= = ， 第 7 頁（共 16 頁） 則 的取值范圍是 k 或 k 5， 即（ ， 5 ， +）， 故選： C 10已知某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為（ ） A B C D 3 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖知該幾何體是一個(gè)長方體截去一個(gè)三棱錐所得的組合體，由三視圖求出幾何元素的長度，由柱體、錐體的體積公式求出幾何體的體積 【解答】 解：由三視圖知幾何體是一個(gè)長方體截去一個(gè)三棱錐所得的組合體， 且長方體長、寬、高分別是 1、 1、 3， 三棱錐的底面是等腰直角三角形、直角邊是 1，三棱錐的高是 1， 該幾何體的體積 V= = ， 故選： B 11已知點(diǎn) P 為線段 y=2x， x 2， 4上任意一點(diǎn)，點(diǎn) Q 為圓 C：（ x 3） 2+（ y+2） 2=1 上一動(dòng)點(diǎn)，則線段 |最小值為（ ） A 1 B C D 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 用參數(shù)法，設(shè)出點(diǎn) P（ x， 2x）， x 2， 4，求出點(diǎn) P 到圓心 C 的距離 |計(jì)算|最小值即可得出結(jié)論 第 8 頁（共 16 頁） 【解答】 解：設(shè)點(diǎn) P（ x， 2x）， x 2， 4， 則點(diǎn) P 到圓 C：（ x 3） 2+（ y+2） 2=1 的圓心距離是 | = ， 設(shè) f（ x） =5x+13， x 2， 4， 則 f（ x）是單調(diào)增函數(shù)，且 f（ x） f（ 2） =37， 所以 | ； 所以線段 |最小值為 1 故選： A 12已知數(shù)列 足 ， = ， ，則使 63 的最小的 n 為（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式 【分析】 先化簡已知的等式，利用待定系數(shù)法和構(gòu)造法得到數(shù)列 +3是等比數(shù)列，由條件和等比數(shù)列的通項(xiàng) 公式求出 ，代入 求出 簡使 63 即可求出最小的 n 【解答】 解：因?yàn)?，所以 3= 兩邊同除 ， ， 設(shè) ，則 ，即 k=3， =2，由 得 +3=4， 數(shù)列 +3是以 2 為公比、 4 為首項(xiàng)的等比數(shù)列， 則 +3=42n 1=2n+1， =2n+1 3， 由 得 =2n+1 3， 63 為 2n+1 3 63，即 2n+1 66， 26=64， 27=128， 使 63 的最小的 n 為 6， 故選： C 二、填空題 :本大題共 4 小題。每小題 5 分，共 20 分 . 13關(guān)于 x 的不等式 280 的解集為（ 2， 4），則 a= 1 第 9 頁（共 16 頁） 【考點(diǎn)】 一元二次不等式的解法 【分析】 由一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求出 a 的值 【解答】 解：不等式 280 的解集為（ 2， 4）， 所以方程 28 的實(shí)數(shù)根為 2 和 4， 由根與系數(shù)的關(guān)系知 2+4=2a， 2 4= 8 解得 a=1 故答 案為： 1 14在三棱錐 V ， B=C=2， ， ，則二面角 V 60 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法 【分析】 取 中點(diǎn)為 D，連接 二面角 V C 的平面角，從而可得結(jié)論 【解答】 解：取 中點(diǎn)為 D，連接 B， 同理 所以 二面角 V C 的平面角 由題設(shè)可知 D=1，即 0 故二面角 V C 的大小為 60 故答案為： 60 15已知 m 0， n 0 且滿足 2m+3n=2，則 + 的最小值是 2+ 【考點(diǎn)】 基本不等式 【分析】 變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出 【解答】 解： m 0， n 0 且滿足 2m+3n=2， + = （ + ）（ 2m+3n） = （ 4+ + ） （ 4+2 ） =2+ ， 當(dāng)且僅當(dāng) = 時(shí)取等號(hào) + 的最小值是 2+ 故答案為： 2+ 第 10 頁（共 16 頁） 16已知三棱錐 A ， D=D= ， C= ，則該三棱錐外接球的體積為 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 【分析】 由三棱錐的對(duì)邊相等可得三棱錐 A 某一長方體的對(duì)角線組成的三棱錐，求出長方體的棱長即可得出外接球的半徑，從而計(jì)算出外接球的體積 【解答】 解： D=D= ， C= ， 三棱錐 A 看做對(duì)角線分別為 ， ， 的長方體的對(duì)角線所組成的三棱錐， 設(shè)長方體的棱長為 a， b， c，則 ，解得 長方體的體對(duì)角線長為 = ，即三棱錐的外接球的直徑為 ， 外接球的半徑為 r= 外接球的體積 V= = = 故答 案為： 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分。解答寫出文字說明、證明或驗(yàn)算步驟 17已知直線 2x y+1=0， y 2=0 （ ）若 a 的值； （ ）若 a 的值，并求出 的距離 【考點(diǎn)】 直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系 【分析】 （ ）利用直線垂直的性質(zhì)求解；（ ）利用直線平行的性質(zhì)求解即可 【解答】 解：（ ）直線 2x y+1=0， y 2=0， 若 2a 4=0，解得： a=2； （ ）若 = ， 解得： a= 8， 2x y+ =0， d= = 18如圖，已知平面 平面 D=， ， （ ）求證： （ ）求三棱錐 B 體積 第 11 頁（共 16 頁） 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【分析】 （ 1）由面面垂直的性質(zhì)得出 平面 是 （ 2）取 點(diǎn) E，連接 勾股定理得出 而得出 面積，故而P 【解答】 證明：（ 1） 面 平面 面 面 D，面 平面 又 面 （ 2）取 點(diǎn) E，連接 ， ， 四邊形 平行四邊形， D ， ， ， S = =4， P = = 19已知銳角 內(nèi)角分別為 A， B， C，其對(duì)邊分別為 a， b， c，向量 =（ 2）， =（ 且 （ ）求角 B 的大小； （ ）若 b= ，求 周長的最大值 【考點(diǎn)】 正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【分析】 （ ）根據(jù)向量平行列出方程，使用三角函數(shù)公式化簡可求得 22B+ ） =0，結(jié)合 B 的范圍得出 B 的值； 第 12 頁（共 16 頁） （ ）利用正弦定理求出 a=2c=2用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得 周長 L=2 A+ ） + ，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解其最大值 【解答】 解：（ ） =（ 2 ）， =（ 且 2 即 ， 22B+ ） =04 分 角 B 為銳角， 2B+ （ ， ），可得： 2B+ =， B= 6 分 （ ）由正弦定理可得： ， a=2c=2 周長 L=a+c+ =2 =2A+ ） + =2 A+ ） + ， 10 分 當(dāng) A= 時(shí)，三角形周長最大，最大值為 3 12 分 20如圖，直三棱柱 各條棱長均為 4， D 是側(cè)棱 中點(diǎn) （ ）在線段 是否存在一點(diǎn) M，使得 平面 存在，求出 長若不存在，請(qǐng)說明理由； （ ）求 平面 成角的正弦 值 【考點(diǎn)】 直線與平面所成的角；直線與平面平行的性質(zhì) 【分析】 （ ）取 中點(diǎn)分別為 N， M，連接 明四邊形 平行四邊形，即可； （ ）根據(jù)線面角的定義作出直線和平面所成角的平面角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可 【解答】 解：（ ）在線段 存在一點(diǎn) M，使得 平面 如圖，取 中點(diǎn)分別為 N， M，連接 則 C， 四邊形 平行四邊形， 面 面 第 13 頁（共 16 頁） 平面 時(shí) ， （ ）取 中點(diǎn) E，連接 平面 又 11， 平面 連接 平面 的射影， 平面 成的角， 在直角三角形 ， ， ， 則 = ， 即 平面 成角的正弦值 21已知數(shù)列 足 =3， n N*， ， bn= （ ）證明 等比數(shù)列，并求 通項(xiàng)公式； （ ）若 n，求數(shù)列 cn前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 （ ） =3，兩邊同時(shí)加上 ， + =3（ ），即可 =3列 等比數(shù)列，求得 據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得 （ ）求出數(shù)列 通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和即可 【解答】 解：（ ）證明： =3， + =3+ =3（