河南省洛陽市2015-2016學年高一下期末數(shù)學試卷含答案解析

第 1 頁（共 17 頁） 2015年河南省洛陽市高一（下）期末數(shù)學試卷 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的 . 1集合 A=（ x， y） |y=3x 2， B=（ x， y） |y=x+4，則 AB=（ ） A 3， 7 B （ 3， 7） C（ 3， 7） D 3， 7 2計算： 1 2（ ） A B C D 3過點（ 3， 1）且與直線 x 2y 3=0 垂直的直線方程是（ ） A 2x+y 7=0 B x+2y 5=0 C x 2y 1=0 D 2x y 5=0 4下列函數(shù)中，最小正周期為 且圖象關(guān)于 y 軸對稱的函數(shù)是（ ） A y= y= y=|D y=2x+ ） 5如圖所 示的程序框圖輸出的結(jié)果是 S=5040，則判斷框內(nèi)應填的條件是（ ） A i 7 B i 7 C i 6 D i 6 6某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量 x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗 y（噸標準煤）有如表幾組樣本數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 y 3 m 相關(guān)性檢驗，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，求得其回歸方程是 =實數(shù)m 的值為 （ ） A 4 D 在區(qū)間 1， 2上隨機取一個數(shù)，則 1 2 的概率為（ ） A B C D 8一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾 何體的體積等于（ ） 第 2 頁（共 17 頁） A 12 B C D 4 9設(shè)向量 =（ 1， =（ 1， 3若 ，則 等于（ ） A B C D 10已知函數(shù) f（ x） =x+）（其中 0| ）圖象相鄰對稱軸的距離為 ，一個對稱中心為（ ， 0），為了得到 g（ x） =圖象，則只要將 f（ x）的圖象（ ） A向右平移 個單位 B向右平移 個單位 C向左平移 個單位 D向左平移 個單位 11已知函數(shù) f（ x） =|若 0 a b，且 f（ a） =f（ b），則坐標原點 O 與圓（ x ）2+（ y+ ） 2=2 的位置關(guān)系是（ ） A點 O 在圓外 B點 O 在圓上 C點 O 在圓內(nèi) D不能確定 12已知 O 的半徑為 2， A 為圓上的一個定點， B 為圓上的一個動點，若點 A， B， O 不共線，且 | t | | |對任意 t R 恒成立，則 =（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 二、填空題：本大題共 4 個小題，每小題 5 分 0 分 . 13某工廠生產(chǎn) A、 B、 C、 D 四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為 2： 3： 5： 2，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個容量為 n 的樣本，樣本中 A 種型號的產(chǎn) 品有 16 件，那么此樣本的容量 n=_ 14如圖程序運行后輸出的結(jié)果是 _ 15設(shè) f（ x） =x+） +x+） +8，其中 m， n， ， 均為實數(shù)，若 f=_ 第 3 頁（共 17 頁） 16已知符號函數(shù) x） = ， f（ x） =2x，則函數(shù) F（ x） =f（ x） f（ x）的零點個數(shù)為 _ 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解答應寫 出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17已知 | |=4， | |= ，（ + ） （ 2 ） =16 （ 1）求 ； （ 2）求 | + | 18學校達標運動會后，為了解學生的體質(zhì)情況，從中抽取了部分學生的成績，得到一個容量為 n 的樣本，按照 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分組作出了如圖的頻率分布直方圖，已知 50， 60）與 90， 100兩組的頻數(shù)分別為 24 與 6 （ 1）求 n 及頻率分布直方圖中的 x， y 的值； （ 2）估計本次達標運動會中，學生成績的中位數(shù)和平均數(shù)； （ 3）已知 90， 100組中有 2 名男生， 4 名女生，為掌握性別與學生體質(zhì)的關(guān)系，從本組中選 2 名作進一步調(diào)查，求 2 名學生中至少有 1 名男生的頻率 19已知函數(shù) f（ x） =2x ） + 0）的最小正周期是 （ 1）求函數(shù) f（ x）圖象的對稱軸方程； （ 2）求函數(shù) f（ x）的 單調(diào)遞增區(qū)間 20如圖，三棱柱 所有棱長都為 1，且側(cè)棱與底面垂直， M 是 中點 （ 1）求證： 平面 （ 2）求直線 平面 成角的正弦值； （ 3）求點 C 到平面 距離 21已知 f（ x） = 是奇函數(shù)， g（ x） =x2+ 為偶函數(shù) （ 1）求 m， n 的值； 第 4 頁（共 17 頁） （ 2）不等式 3f（ g（ g（ 對任意 x R 恒成 立，求實數(shù) 的取值范圍 22如圖，已知點 A（ 3， 0）， B（ 3， 0）， M 是線段 的任意一點，在 同側(cè)分別作正方形 P 和 Q 是兩個正方形的外接圓，它們交于點 M， N （ 1）證明：直線 過一定點 S，并求 S 的坐標； （ 2）過 A 作 Q 的割線，交 Q 于 G、 H 兩點，求 |取值范圍 第 5 頁（共 17 頁） 2015年河南省洛陽市高一（下）期末數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分 ，共 60 分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的 . 1集合 A=（ x， y） |y=3x 2， B=（ x， y） |y=x+4，則 AB=（ ） A 3， 7 B （ 3， 7） C（ 3， 7） D 3， 7 【考點】 交集及其運算 【分析】 聯(lián)立 A 與 B 中二元一次方程組成方程組，求出方程組的解即可得到兩集合的交集即可 【解答】 解：聯(lián)立 A 與 B 中方程得： ， 消去 y 得： 3x 2=x+4， 解得： x=3， 把 x=3 代入得： y=9 2=7， 方程組的解為 ， A=（ x， y） |y=3x 2， B=（ x， y） |y=x+4， AB=（ 3， 7） ， 故選： B 2計算： 1 2（ ） A B C D 【考點】 二倍角的余弦 【分析 】 利用誘導公式，降冪公式，特殊角的三角函數(shù)值即可化簡求值得解 【解答】 解： 1 21 21（ 1 = 故選： C 3過點（ 3， 1）且與直線 x 2y 3=0 垂直的直線方程是（ ） A 2x+y 7=0 B x+2y 5=0 C x 2y 1=0 D 2x y 5=0 【考點】 直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系 【分析】 由兩直線垂直的性質(zhì)可知，所求的直線的斜率 k，然后利用直線的點 斜式可求直線方程 【解答】 解：由兩直線垂直的性質(zhì)可知，所求的直線的斜率 k= 2 所求直線的方程為 y 1= 2（ x 3）即 2x+y 7=0 故選： A 4下列函數(shù)中，最小正周期為 且圖象關(guān)于 y 軸對稱的函數(shù)是（ ） A y= y= 6 頁（共 17 頁） C y=|D y=2x+ ） 【考點】 三角函數(shù)的周期性及其求法 【分析】 利用兩角和差的三角函數(shù)、誘導公式化簡函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的周期性和奇偶性， 判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論 【解答】 解：由于 y=2x+ ）為非奇非偶函數(shù)，故它的圖象不關(guān)于 排除 A； 由于 y=奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點對稱，故排除 B； 由于 y=|周期為 = ，故排除 C； 由于 y=2x+ ） =的周期為 =，且它為偶函數(shù)，它的圖象關(guān)于 y 軸對稱，故滿足條件， 故選： D 5如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果是 S=5040，則判斷框內(nèi)應填的條件是（ ） A i 7 B i 7 C i 6 D i 6 【考點】 程序框圖 【分析】 根據(jù)程序輸出的結(jié)果，得到滿足條件的 i 的取值，即可得到結(jié)論 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 i=10， S=1 滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， S=10， i=9 滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， S=90， i=8 滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， S=720， i=7 滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， S=5040， i=6 由題意，此時應該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 5040 故判斷框內(nèi)應填入的條件是 i 6 故選： D 6某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量 x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗 y（噸標準煤）有如表幾組樣 本數(shù)據(jù)： x 3 4 5 6 第 7 頁（共 17 頁） y 3 m 相關(guān)性檢驗，這組樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，求得其回歸方程是 =實數(shù)m 的值為 （ ） A 4 D 考點】 線性回歸方程 【分析】 根據(jù)表格中所給的數(shù)據(jù)，求出這組數(shù)據(jù)的橫標和縱標的平均值，表示出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)樣本中心點在線性回歸直線上，代入得到關(guān)于 m 的方程，解方程即可 【解答】 解：根據(jù)所給的表格可以求 出 = （ 3+4+5+6） = = （ +m+ ， 這組數(shù)據(jù)的樣本中心點在線性回歸直線上， = m=4， 故選： C 7在區(qū)間 1， 2上隨機取一個數(shù)，則 1 2 的概率為（ ） A B C D 【考點】 幾何概型 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的不等式求出 x 的取值范圍，結(jié)合幾何概型的 概率公式進行計算即可 【解答】 解：由可 1 2 得 ， 1 x 2， ， 則 ， 即 x 1， 則對應的概率 P= = = ， 故選： C 8一個幾何體 的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積等于（ ） 第 8 頁（共 17 頁） A 12 B C D 4 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由已知中的三視圖，我們易判斷出這個幾何體的形狀及結(jié)構(gòu)特征，進而求出底面各邊長，求出底面面積和棱錐的高后，代入棱錐的體積公式，是解答本題的關(guān)鍵 【解答】 解：由已知中的三視圖可得這是一個底面為梯形的四棱錐 其中底面的上底為 2，下底為 4，高為 2， 則底面面積 S= =6 棱錐的高 H 為 2 則這個幾何體的體積 V= = =4 故選 D 9設(shè)向量 =（ 1， =（ 1， 3若 ，則 等于（ ） A B C D 【考點】 三角函數(shù)的化簡求值；平面向量共線（平行）的坐標表示 【分析】 根據(jù)兩向量平行的坐標表示，利用同角的三角函數(shù)關(guān)系弦化切，即可求出答案 【解 答】 解： 向量 =（ 1， =（ 1， 3 ， 3得： ， = = = = ， 故選： D 10已知函數(shù) f（ x） =x+）（其中 0| ）圖象相鄰對稱軸的距離為 ，一個對稱中心為（ ， 0），為了得到 g（ x） =圖象，則只要將 f（ x）的圖象（ ） A向右平移 個單位 B向右平移 個單位 C向左平移 個單位 D向左平移 個單位 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 第 9 頁（共 17 頁） 【分析】 由周期求得 ，根據(jù)圖象的對稱中心求得 的值，可得函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律得出結(jié)論 【解答】 解：由題意可得函數(shù)的最小正周期為 =2 ， =2 再根據(jù) 2+=| ， k z，可得 = ， f（ x） =2x+ ）， 故將 f（ x）的圖象向左平移 個單位，可得 y=（ x+ ） + =2x+ ） = 故選： D 11已知函數(shù) f（ x） =|若 0 a b，且 f（ a） =f（ b），則坐標原點 O 與圓（ x ）2+（ y+ ） 2=2 的位置關(guān)系是（ ） A點 O 在圓外 B點 O 在圓上 C點 O 在圓內(nèi) D不能確定 【考點】 分段函數(shù)的應用；對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；點與圓的位置關(guān)系 【分析】 畫出分段函數(shù) y=|圖象，求出 系，進而根據(jù)點與圓的位置關(guān)系定義，可得答案 【解答】 解：畫出 y=|圖象如圖： 0 a b，且 f（ a） =f（ b）， | 0 a 1， b 1 ，則 a+b 2， 故坐標原點 O 在圓（ x ） 2+（ y+ ） 2=2 外， 故選： A 12已知 O 的半徑為 2， A 為圓上的一個定點， B 為圓上的一個動點，若點 A， B， O 不共線，且 | t | | |對任意 t R 恒成立，則 =（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 根據(jù)向量的減法的運算法則將向量進行化簡，然后兩邊平方，設(shè) =m，整理可得 42 4 2m） 0 恒成立，再由不等式恒成立思想，運用判別式小于等于 0，解不等式即可 【解答】 解： | t | | |， 第 10 頁（共 17 頁） | t | | |， 兩邊平方可得： 2 2t + 2 2 + 2， 設(shè) =m，則有： 42 4 2m） 0 恒成立， 則有判別式 =46（ 4 2m） 0， 即 8m+16 0， 化簡可得（ m 4） 2 0，即 m=4， 即有 =4， 故選： B 二、填空題：本大題共 4 個小題，每小題 5 分 0 分 . 13某工廠生產(chǎn) A、 B、 C、 D 四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為 2： 3： 5： 2，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個容量為 n 的樣本，樣本中 A 種型號的產(chǎn)品有 16 件，那么此樣本的容量 n=96 【考點】 分層抽樣方法 【分析】 先求出總體中中 A 種型號產(chǎn)品所占的比例，是樣本中 A 種型號產(chǎn)品所占的比例，再由條件求出樣本容量 【解答】 解：由題意知，總體中中 A 種型號產(chǎn)品所占的比例是 = ， 因樣本中 A 種型號產(chǎn)品有 16 件，則 n=16，解 得 n=96 故答案為： 96 14如圖程序運行后輸出的結(jié)果是 61 【考點】 偽代碼 【分析】 經(jīng)過觀察為直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，按照循環(huán)結(jié)構(gòu)進行執(zhí)行，當滿足條件時跳出循環(huán)，輸出結(jié)果即可 【解答】 解：經(jīng)過分析，本題為直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，模擬執(zhí)行程序如下： i=1， S=1 執(zhí)行循環(huán)體， S=5， i=3 不滿足條件 i 8，執(zhí)行循環(huán)體， S=13， i=5 第 11 頁（共 17 頁） 不滿足條件 i 8，執(zhí)行循環(huán)體， S=29， i=7 不滿足條件 i 8，執(zhí)行循環(huán)體， S=61， i=9 此時，滿足條件 i 8，跳出循環(huán)，輸出 S=61 故答案為： 61 15設(shè) f（ x） =x+） +x+） +8，其中 m， n， ， 均為實數(shù)，若 f=2016 【考點】 運用誘導公式化簡求值 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式，列方程即可得到結(jié)論 【解答】 解： f（ x） =x+） +x+） +8， f=2000， 可得： 2008， 則 f+= =（ +8=2016 故答案為： 2016 16已知符號函數(shù) x） = ， f（ x） =2x，則函數(shù) F（ x） =f（ x） f（ x）的零點個數(shù)為 5 【考點】 根的存在性及根的個數(shù)判斷 【分析】 利用符號函數(shù)求出 F（ x）的解析式，然后求解函數(shù)的零點即可得到結(jié)果 【解答】 解：符號函數(shù) x） = ， f（ x） =2x， 則函數(shù) F（ x） =f（ x） f（ x） = ， 當 x （ ， 0） （ 2， +）時， x+1=0，解得 x= 滿足題意 當 x=0 或 x=2 時， x=0， x=0 或 x=2 是函數(shù)的零點 當 x （ 0， 2）時， x 1=0，解得 x=1 滿足題意 所以函數(shù)的零點個數(shù)是 5 故答案為： 5 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 17已知 | |=4， | |= ，（ + ） （ 2 ） =16 （ 1）求 ； （ 2）求 | + | 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算；平面向量的坐標運算 【分析】 （ 1）根據(jù)條件，（ + ） （ 2 ） =16，展開化簡即可得 ； （ 2）根據(jù)向量長度和向量數(shù)量積的關(guān)系即可求 | + | 【解答】 解：（ 1） （ + ） （ 2 ） =16， 2 2 2 =16， 第 12 頁（共 17 頁） 即 = 2 2 2 16=16 2 3 16= 6； （ 2） | + |= = 18學校達標運動會后，為了解學生的體質(zhì)情況，從中抽取了部分學生的成績，得到一個容量為 n 的樣本，按照 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分組作出了如圖的頻率分布直方圖，已知 50， 60）與 90， 100兩組的頻數(shù)分別 為 24 與 6 （ 1）求 n 及頻率分布直方圖中的 x， y 的值； （ 2）估計本次達標運動會中，學生成績的中位數(shù)和平均數(shù)； （ 3）已知 90， 100組中有 2 名男生， 4 名女生，為掌握性別與學生體質(zhì)的關(guān)系，從本組中選 2 名作進一步調(diào)查，求 2 名學生中至少有 1 名男生的頻率 【考點】 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 【分析】 （ 1）由題意能求出樣本容量 n 和 x， y 的值 （ 2）利用頻率分布直主圖能估計學生成績的中位數(shù)和學生成績的 平均數(shù) （ 3）記 2 名男生分別為 4 名女生分別為 少有一名男生的對立事件為抽到 2 名女生，由此利用對立事件能求出 2 名學生中至少有 1 名男生的頻率 【解答】 解：（ 1）由題意知樣本容量 n= =150， y= = x= （ 2）估計學生成績的中位數(shù) m=70+ 10=71， 估計學生成績的平均數(shù) =55 5 5 5 5 （ 3）記 2 名男生分別為 4 名女生分別為 抽取兩名學生的結(jié)果有： 基本事件總數(shù) n= =15， 其中至少有一名男生的對立事件為抽到 2 名女生， 2 名學生中至少有 1 名男生的頻率 p=1 = 19已知函數(shù) f（ x） =2x ） + 0）的最小正周期是 （ 1）求函數(shù) f（ x）圖象的對稱軸方程； （ 2）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間 第 13 頁（共 17 頁） 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應用；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 （ 1）利用二倍角的正弦公式，兩角差的余弦、正弦公式化簡解析式，由周期公式求出 的值，由正弦函數(shù)的對稱軸求出函數(shù) f（ x）圖象的對稱軸方程； （ 2） 由正弦函數(shù)的增區(qū)間、整體思想求出函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間 【解答】 解：（ 1）由題意得， f（ x） = ， 最小正周期 T= =，解得 =1，則 f（ x） = 由 得， ， f（ x）圖象的對稱軸方程是 ； （ 2）由（ 1）得 f（ x） = ， 由 得， ， 函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間是 20如圖，三棱柱 所有棱長都為 1，且側(cè)棱與底面垂直， M 是 中點 （ 1）求證： 平面 （ 2）求直線 平面 成角的正弦值； （ 3）求點 C 到平面 距離 【考點】 點、線、面間的距離計算；直線與平面所成的角 【分析】 （ 1）證明線面平行，通常利用線面平行的判定定理，這里我們可以利用中位線的 性質(zhì)，得到線線平行； （ 2）過 B 作 D，易得 平面 直線 平面 （ 3） M 是 中點，點 C 與點 B 到平面 距離相等 【解答】 （ 1）證明：連接 O，連接 為直三棱柱 以 O 是 中點 因為 O， M 分別是 中點，所以 為 14 頁（共 17 頁） 所以 面 （ 2）解：由題意 M 是 中點， 平面 平 面 平面 過 B 作 D，易得 平面 直線 平面 成角 ， = ， ， 直線 平面 成角的正弦值為 ； （ 3）解： M 是 中點，點 C 與點 B 到平面 距離相等， 由（ 2）可知點 B 到平面 距離 ， 點 C 到平面 距離為 21已知 f（ x） = 是奇函數(shù)， g（ x） =x2+ 為偶函數(shù) （ 1）求 m， n 的值； （ 2）不等式 3f（ g（ g（ 對任意 x R 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍 【考點】 函 數(shù)恒成立問題；函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【分析】 （ 1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系進行求解即可 （ 2）將不等式進行化簡，利用參數(shù)分離法把不等式恒成立問題進行轉(zhuǎn)化