高數(shù)典型例題

第一章 函數(shù)及其圖形 例 1： （ ）. A. x | x3 B. x | x0，同時(shí)由分母不能為零知 lnx0，即 x1。由根式內(nèi)要非負(fù)可知 即要有 x0、x1 與 同時(shí)成立，從而其定義域?yàn)?，即應(yīng)選 C。例 3：下列各組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的是（ ）解：A 中的兩個(gè)函數(shù)是不同的，因?yàn)閮珊瘮?shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，當(dāng) |x|1 時(shí)，兩函數(shù)取得不同的值。B 中的函數(shù)是相同的。因?yàn)?對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立，故應(yīng)選 B。C 中的兩個(gè)函數(shù)是不同的。因?yàn)榈亩x域?yàn)?x-1，而 y=x 的定義域?yàn)椋?，+）。D 中的兩個(gè)函數(shù)也是不同的，因?yàn)樗鼈兊亩x域依次為（ -，0）（0，+）和（0，+）。例 4：設(shè) 解：在 令 t=cosx-1，得 又因?yàn)?1cosx1，所以有-2cosx-10，即-2t0，從而有 。 例 5：f(2)沒(méi)有定義。注意，求分段函數(shù)的函數(shù)值，要把自變量代到相應(yīng)區(qū)間的表達(dá)式中。例 6：函數(shù)是（ ）。A偶函數(shù) B有界函數(shù) C單調(diào)函數(shù) D周期函數(shù)解：由于，可知函數(shù)為一個(gè)奇函數(shù)而不是偶函數(shù)，即（A）不正確。由函數(shù)在 x=0，1，2 點(diǎn)處的值分別為 0，1，4/5，可知函數(shù)也不是單調(diào)函數(shù)；該函數(shù)顯然也不是一個(gè)周期函數(shù)，因此，只能考慮該函數(shù)為有界函數(shù)。事實(shí)上，對(duì)任意的 x，由 ，可得 ，從而有?？梢?jiàn)，對(duì)于任意的x，有。因此，所給函數(shù)是有界的，即應(yīng)選擇 B。例 7：若函數(shù) f(x)滿(mǎn)足 f(x+y)=f(x)+f(y),則 f(x)是（ ）。A奇函數(shù) B偶函數(shù) C非奇非偶函數(shù) 奇偶性不確定解：因?yàn)?f(x+y)=f(x)+f(y)，故 f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知 f(0)=0。在 f(x+y)=f(x)+f(y)中令 y = -x，得 0 = f(0) = f(x-x) = f x+(-x) = f(x)+f(-x)所以有 f(-x) = - f(x)，即 f(x)為奇函數(shù)，故應(yīng)選 A 。例 8：函數(shù)的反函數(shù)是（ ）。ABCD解：于是，是所給函數(shù)的反函數(shù)，即應(yīng)選 C。例 9：下列函數(shù)能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的是（ ）。A B C D 解：在(A) 、(B)中，均有 u=g(x)0，不在 f (u)的定義域內(nèi)，不能復(fù)合。在(D)中，u=g(x)=3 也不滿(mǎn)足 f(u)的定義域 ，也不能復(fù)合。只有(C)中 的定義域內(nèi)，可以復(fù)合成一個(gè)函數(shù)，故應(yīng)選 C。例 10：函數(shù) 可以看成哪些簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成：解： ，三個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成。第二章 極限與連續(xù) 例 1：下列數(shù)列中，收斂的數(shù)列是（ ）A.B. C. D.解：（A）中數(shù)列為 0，1，0，1，其下標(biāo)為奇數(shù)的項(xiàng)均為 0，而下標(biāo)為偶數(shù)的項(xiàng)均為 1，即奇偶數(shù)項(xiàng)分別趨于不同的常數(shù)值，從而可知該數(shù)列沒(méi)有極限，是發(fā)散的。由于 ，故（B）中數(shù)列發(fā)散。由于正弦函數(shù)是一個(gè)周期為 的周期函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， 并不能無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，因而（C）中數(shù)列也發(fā)散。由于，故（D）中數(shù)列收斂。例 2：設(shè)，則 a=( )A.0 B.1 C.3 D.1/3解：假設(shè) =0，則所給極限為，其分子趨于，而分母趨于有限值 3，所以極限為，不是 1/5，因而 0。當(dāng) 0 時(shí)，所給極限為，故應(yīng)選 C。一般地，如果有理函數(shù)，其中 、 分別為 n 的 k 次、l 次多項(xiàng)式，那么，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) k=l 時(shí)，f (n)的極限為 、 的最高次項(xiàng)的系數(shù)之比；當(dāng) kl 時(shí)，f (n)的極限為。對(duì)于當(dāng) x（或+，）時(shí) x 的有理分式函數(shù)的極限，也有類(lèi)似的結(jié)果。例 3. A. 0 B. 1 C. D. n解 利用重要極限，故應(yīng)選 C。注：第一重要極限的本質(zhì)是，這里的 可以想象為一個(gè)空的筐子，里面可以填入任意以零為極限的表達(dá)式（三個(gè) 填入的內(nèi)容要相同）。類(lèi)似地，第二重要極限可以看作是，其中 可以同時(shí)填入相同的任意趨于無(wú)窮大的表達(dá)式。例 4. 求解法 1 解法 2 解法 3 例 5. A. 0 B. 1 C. 1/2 D. 1/4解：由于,故應(yīng)選 D。例 6. 解: 注意 本題屬于“-”型，是個(gè)未定式，不能簡(jiǎn)單地認(rèn)為它等于 0 或認(rèn)為是，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題一般需要將函數(shù)進(jìn)行通分，然后設(shè)法進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而求出其極限值。例 7. 當(dāng) x0 時(shí)，的（ ）。A. 同階無(wú)窮小量 B. 高階無(wú)窮小量 C. 低價(jià)無(wú)窮小量 D. 較低階的無(wú)窮小量 解：由于可知是 x 的同階無(wú)窮小量，所以應(yīng)選 A。例 8. 當(dāng)?shù)葍r(jià)的無(wú)窮小量是( )A.B.C.D.解：由于可知的高階無(wú)窮小量，同時(shí)等價(jià)的無(wú)窮小量，所以選D。例 9. 下列變量在給定的變化過(guò)程中是無(wú)窮大量的是( )A.B.C.D. 解：由于所以應(yīng)選 A.例 10要使函數(shù)在 x=0 處連續(xù)，f(0)應(yīng)該補(bǔ)充定義的數(shù)值是( )A.1/2 B.2 C.1 D.0解：要使函數(shù) f(x)在 x=0 處連續(xù)，必須有 因此要令 f(0)=1.故應(yīng)選 C。例 11設(shè)求 k，使 f(x)連續(xù)。解：由于函數(shù) f(x)在（-，0）和（0，+）兩區(qū)間內(nèi)均由初等函數(shù)表示，而且在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)均有定義，因此在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。函數(shù)是否連續(xù)取決于它在 x=0 處是否連續(xù)。要讓 f(x)在x=0 處連續(xù)，必須由于= 又由可知 例 12證明方程 在區(qū)間（1，2）內(nèi)必有一根。證：令 ，由于 f（x）是初等函數(shù)，它在區(qū)間（-，+）上連續(xù)，另外 f（1）=-10， f（x）在1，2上連續(xù)，故由零點(diǎn)存在定理知，存在 在區(qū)間（1,2）內(nèi)必有一個(gè)根.第三章 導(dǎo)數(shù)和微分 例 1：