2011天津市高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題答案經(jīng)管類

2011 年 天津市大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考解答(經(jīng)管類)一. 填空題（本題 15 分，每小題 3 分）:1. 設(shè) 是連續(xù)函數(shù), 且 , 則 ()fx0()lim41cosxf01()lixxf2e.2. 設(shè) , 若 則 2fabli(),xfa,b4.3. 1elndxxen.xC4. 設(shè) 是連續(xù)函數(shù), 且 其中 由 x 軸、y 軸以及()fy(,)(,)d,DfyfxyD直線 圍成, 則 1xx1.25. ln42dex.6二. 選擇題（本題 15 分，每小題 3 分）:1. 設(shè) 則 在 處()2)ln(1,fxx()f0x(A) , (B) , (C) , (D) 不可導(dǎo). 00f()2f答: (A)2. 設(shè)函數(shù) 具有二階導(dǎo)數(shù), 且滿足方程 已知 則()yf sine0.xy0(),fx(A) 在 的某個(gè)鄰域中單調(diào)增加, (B) 在 的某個(gè)鄰域中單調(diào)增少, x0 ()f(C) 在 處取得極小值, (D) 在 處取得極大值.f 0答: ( C)3. 圖中曲線段的方程為 , 函數(shù) 在區(qū)間 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 則積分 ()yfx()fa表示 0()daxf(A) 直角三角形 AOB 的面積, (B) 直角三角形 AOC 的面積, (C) 曲邊三角形 AOB 的面積, (D) 曲邊三角形 AOC 的面積. 答: (D)4. 設(shè)在區(qū)間 上的函數(shù) 且 令 ,ab()0,fx(),fx()0.f1()d,baSfxOCyA0B()fx則2(),Sfba31()(),2Sfaba(A) (B) (C) (D) 122,S213,S231.S答: (C )5. 設(shè)函數(shù) 連續(xù), 且 , 則()fxy201d(,)d(cos,in)dxbdafyfrr取值為 ,abcd(A) , ,;2sinco(B) 1d(C) 0,si,;ab(D) ,nco,1.2答: (B)三. (7 分 ) 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處可微, 求極限 ()fx0 002limcos()cos().nfxfxn解 由導(dǎo)數(shù)的定義和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則0000s()s()2limcos()cos()2li2n nfffxfxnn 00i().xffx 四. (7 分) 設(shè)函數(shù) 在 上二階可導(dǎo)，且 ，記 ，()fx,)0limxf10()()xftd求 的導(dǎo)數(shù)，并討論 在 處的連續(xù)性.(x(x解 由已知的極限知 從而有0,ff1()d.t當(dāng) 時(shí), 從而有 0x10001()()d()d,xfxxffxtfu),().x因?yàn)?00()lim()li(0),xxf所以, 在 處連續(xù).()當(dāng) 時(shí),2()(),xff在 處, 由 有 0x0,200()()()1()limlilim(0)2xxxfff 所以, 2(),()100.fffx而200000()()()()lim()lilimlilim2xxxxxffff 111,2f故 在 處連續(xù).()五. (7 分) 已知函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) 是三次多項(xiàng)式，其圖像如(,)yfxyfx下圖所示：（）關(guān)于函數(shù) ,填寫下表:xfy單調(diào)增區(qū)間 單調(diào)減區(qū)間極大值點(diǎn) 極小值點(diǎn)曲線向下凸區(qū)間曲線向上凸區(qū)間曲線的拐點(diǎn)（）若還知道 的極大值為 6，點(diǎn) 在曲線 上，試求出 的xfy2,xfyxfy表達(dá)式.Oxy2233解（）單調(diào)增區(qū)間 （-2,0）, (2,)單調(diào)減區(qū)間 ,(0,2)(,2)極大值點(diǎn) 0 極小值點(diǎn) -2, 2曲線向下凸區(qū)間3(,曲線向上凸區(qū)間3,曲線的拐點(diǎn) 223,(),(,)ff（）設(shè) 則由 得32,yaxbcd0,0,(2,yy0,4da故 從而3442.ayxm再由 得 所以 (0)6,(),1,64216.yx六. (7 分)設(shè)函數(shù) 在 上可導(dǎo), 且滿足yx)2,(0).y() 研究 在區(qū)間 的單調(diào)性和曲線 的凹凸性.()(0, ()yx() 求極限 30lim.x解 ( ) 當(dāng) 時(shí), 有20,y故 在區(qū)間 單調(diào)增加. 從而當(dāng) 時(shí), 也單調(diào)增加. 可見, 曲線y(,)0x2yx在區(qū)間 向下凸.()x0(或當(dāng) 時(shí) , 可得22().yxy可見, 曲線 在區(qū)間 向下凸. )()(,() 由題設(shè)知 , 應(yīng)用洛必達(dá)法則023200limlilim3xxxyy2111li().3x七. (7 分) 設(shè) 在 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且 試證()fx00(),(0).fxf21130()d()d.fxf證 令 則 在 連續(xù), 且對(duì) ,2300()()d()d,xxFftft()Fx01(01)x3f20()2()().xfftx又由題設(shè)知, 當(dāng) 時(shí), 令 則 在1x.20()d(),gftfxg上連續(xù), 且01()2(),1gffxx故有 00,.x因此(),(,1)Fx于是 在 上單調(diào)增加, 取 , 即得()x01 ,1.Fxx211300()()d()dftft所證結(jié)論成立.八. (7 分) ( ) 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù) , 為偶函數(shù), (),fxg,a(0)a(gx滿足條件 ( 為常數(shù)). 證明:fxc;0d)daafx() 設(shè) 其中 為正整數(shù), 計(jì)算定()sin,ux2,0,().xx積分.()arcotedxI解 () 00()d()()d.a afxgfgfxg 對(duì)于上式右邊的第一個(gè)積分, 令 有,t000d()aaaffcfx ()()cgxfxg所以 000()d ()d.a aaafxgf g () 由于 22ercoterct),1xxxx而當(dāng) 時(shí), 因此, 0x1arcotearcte.2xx容易驗(yàn)證, 是偶函數(shù). 應(yīng)用()的結(jié)論()ux20()arcoted()sindxI xx211sco2nn 20()isidxnx331cos1().n九. (7 分 ) 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù), 并且對(duì)任一 , 存在 使得()fxabxab,yab證明: 存在 使 (|.2fy()0.f證法一 應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理, 存在 , 使12,1 2, ,()min()max().xab bffxMf由題設(shè), 對(duì)于 , 存在 , 使得 可見 y()|0fy0.M現(xiàn)在證明: 事實(shí)上, 假如 由題設(shè), 存在1,()i()0.xabff1()fx, 使0xab0111()()()2fffxf此與“ 是 在 上的最小值 ” 矛盾.1fxf,ab綜上, 得到結(jié)論: 于是, 應(yīng)用介值定理, 存在 使 0.mM,ab()0.f證法二 任取一個(gè) 由題設(shè)存在 使,x1,xab10()().2ff從而存在 使2,xab2102()()().ffxfx如此繼續(xù)下去, 可得數(shù)列 使,nab01()()().2nfxfn由于有界無窮數(shù)列 必有一個(gè)收斂的子數(shù)列 , 可設(shè)存在一個(gè) , 使kxablim.knx由 的連續(xù)性, 證畢.()f()li()0kknffx十. (7 分 ) 設(shè)函數(shù) 具有二階導(dǎo)數(shù), 且 直線 是曲線 上任意一yf ().fxaL()yfx點(diǎn) 處的切線, 其中 記直線 與曲線 以及直線(,af ,1.aa()f所圍成的圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 試問 為何值時(shí) 01xy .Va取得最小值.)V解 切線 的方程為 即aL()(),fafx.yfx于是10()2()()dVfxfafx1d().32xa 可見, 在 連續(xù), 在 可導(dǎo). 令 ()a1(,1),()2()()320aVfff由于 在 內(nèi)有唯一的駐點(diǎn) ()0,f,).并且, 當(dāng) 時(shí), ; 當(dāng) 時(shí), 因此, 在(3a(0a(1)3()0Va()Va處取得最小值.23a十一. (7 分) 設(shè)（1）閉曲線 是由圓錐螺線 ： ， （ 從 0AOzyx,sin,co變到 ）和直線段 構(gòu)成， 其中 ， ；2AO0,20（2）閉曲線 將其所在的圓錐面 劃分成兩部分， 是其中的有界部分. 在2zy面上的投影區(qū)域?yàn)?.xOyD() 求 上以 為曲頂?shù)那斨w的體積 ;() 求曲面 的面積.解( ) 在 面上的投影區(qū)域?yàn)?, 在極坐標(biāo)系下表示為:xyOxy1aL()f0,2.r故所求曲頂柱體的體積為2dDVxy20r2341d.() 所在的圓錐面方程為 , 曲面上任一點(diǎn)處向上的一個(gè)法向量為2zxy2(,)(1).xynz故所求曲面 的面積21ddxyDDSxy230042.r十二 .(7 分 ) 設(shè)圓 含于橢圓 的內(nèi)部, 且圓與橢圓相切于兩點(diǎn) 2xy21xyab(即在這兩點(diǎn)處圓與橢圓都有公共切線) .() 求 與 滿足的等式; ab() 求 與 的值, 使橢圓的面積最小解 () 根據(jù)條件可知 , 切點(diǎn)不在 軸上. 否則圓與橢圓只可能相切于一點(diǎn). 設(shè)圓與橢圓y相切于點(diǎn) , 則 既滿足橢圓方程又滿足圓方程, 且在 處橢圓的切線斜0xy0()x 0(,)xy率等于圓的切線斜率, 即 . 注意到 因此, 點(diǎn) 應(yīng)滿足2001bxa0x200201()2(3)xybay由(1)和(2)式, 得(4)2200.byaOxy2由 (3) 式得 代入(4) 式20.