1_6354088_2.活用對稱式.妙求常規(guī)最值

2017 年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 153 中國 高考數(shù)學(xué)母題 (第 043 號 ) 活用對稱式 規(guī)最值 設(shè) f(x1, , n 元函數(shù) ,如果任意對換兩個(gè)自變量后所得的 n 元函數(shù)與原函數(shù)的表達(dá)式相同 ,那么就稱函數(shù)f(x1, ,表達(dá)式是 對稱式 規(guī)最值 定理 ,可以 ,“秒殺”一類高考題 . 母題結(jié)構(gòu) :(常規(guī)最值定理 )己知 F(x1, , f(x1, ,是關(guān)于 變元 x1, ,稱式 ,若 F(x1, , 0,則 當(dāng) x1= =f(x1, ,得 常規(guī)最值 . 母題 解 析 :略 . 子題類型 :(2007 年 高考 課 標(biāo) 試題 )己知 x0,y0,x,a,b,y 成等差數(shù)列 ,x,c,d,y 成等比數(shù)列 ,則 的最小值是 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 解析 :由 x,a,b,y 成等差數(shù)列 a+b=x+y;由 x,c,d,y 成等比數(shù)列 cd=待求式 均是關(guān)于 a,b,c,d 的對稱式 ,當(dāng)a=b=c=d 時(shí) ,所求式 的 值 =D). 點(diǎn)評 :應(yīng)用 常規(guī)最值定理 的關(guān)鍵是判定己知條件與待求式都是對稱式 (即任意 交換兩個(gè) 變量 后 ,代數(shù)式的值不變 ). 同 類 試題 : 1.(2015年 福 建 高考試題 )若 直線ax+(a0,b0)過點(diǎn) (1,1),則 a+ 值為 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2.(2009 年天津高考 文科試 題 )設(shè) x,y R,a1,b1,若 ax=,a+b=2 3 ,則x1+ ) (A)2 (B)23(C)1 (D)子題類型 :(2011 年 天津 高考試題 )已知 1,則 3a+9 . 解析 :由 1 2 a(2b) 4是 而 3a+9b=3a+32所以 ,當(dāng) a=2b,且 a(2b)=2,即 a=2,b=1 時(shí) 3a+98. 點(diǎn)評 :母題應(yīng)用的技法之一是利用換元思想 ,把己知條件與待求式轉(zhuǎn)化為對稱式 . 同 類 試題 : 3.(2010 年重慶高考試題 )已知 x+2y+2,x0,y0,則 x+2 . 4.(2013 年湖南高考試題 )已知 a,b,c R,a+2b+3c=6,則 . 子題類型 :(2006 年重慶高考 理科 試題 )若 a、 b、 c0,且 a(a+b+c)+ ,則 2a+b+c 的最小值是 ( ) (A) 3 (B) 3 +1 (C)2 3 +2 (D)2 3 解析 :已知條件 :a(a+b+c)+ 與待求式 2a+b+c,不是 a,b,c 的對稱式 ,但是 b,c 的對稱式 ,當(dāng) b=c 時(shí) ,由 a(a+b +c)+ a+b= 3 2a+b+c=2(a+b)的最小值是 2 3 D). 點(diǎn)評 :母題應(yīng)用的另一技法是非整體對稱式 ,視為部分 變量的 對稱式 . 同 類 試題 : 5.(2014 年 遼寧 高考試題 )對于 c0,當(dāng)非零實(shí)數(shù) a,b 滿足 4,且使 |2a+b|最大時(shí) ,a1+b2+ . 6.(2011 年重慶高考 文科 試題 )若 實(shí)數(shù) a,b,c 滿足 2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,則 c 的最大值 是 . 154 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017 年課標(biāo)高考 母題 7.(2009 年天津高考 理科試 題 )設(shè) a0,b0,若 3 是 3比中項(xiàng) ,則1的最小值為 ( ) (A)8 (B)4 (C)1 (D)418.(2001 年安徽春招試題 )己知 1(、均為銳角 ),那么 . 9.(2005 年重慶高考試題 )若 x,y 是正數(shù) ,則 (x+(y+的最小值是 ( ) (A)3 (B)27(C)4 (D)2910.(2009 年重慶高考試題 )己知 a0,b0,則1+2 最小值是 ( ) (A)2 (B)2 2 (C)4 (D)5 11.(2014 年 上海 高考試題 )若實(shí)數(shù) x,y 滿足 ,則 . 12.(2010 年 浙江 高考試題 )若正實(shí)數(shù) x、 y 滿足 2x+y+6= 最小值是 . 13.(2011 年 浙江 高考 理科 試題 )若 正 數(shù) x,y 滿足 4x2+y2+,則 2x+y 的最大值為 . 14.(2007年重慶高考試題 )若 +2則|2| 2 ba 最大值為 ( )(A)1552(B)42(C)55(D)2215.(2014 年 浙江 高考試題 )已知 實(shí)數(shù) a、 b、 c 滿足 a+b+c=0,a2+b2+,則 a 的最大值為 . 16.(2006年重慶高考 文科 試題 )若 a、 b、 c0,且 2,則 a+b+ ) (A)2 3 (B)3 (C)2 (D) 3 當(dāng) a=b 時(shí) ,由1=1 a=b=2 a+ 值為 C). 由 ,x1+y1= 己知 a+b=2 3 均是關(guān)于 a,當(dāng) a=b 時(shí) ,C). 當(dāng) x=2y 時(shí) ,由 x+2y+2 x=2y=2 x+2y 的最小值為 4. 當(dāng) a=2b=3c 時(shí) ,由 a+2b+3c=6 a=2b=3c=2 22=12. 當(dāng) 2a=b 時(shí) ,由 4 2a=b= c ;當(dāng) 2a=b=- c 時(shí) ,a1+b2+c4=(最小值 =當(dāng) a=b 時(shí) ,由 2a+2b=2a+b a=b=1;又由 2a+2b+2c=2a+b+c 4+2c=4 2c c=2c 的最大值 是 2由 3 是 3比中項(xiàng) a+b=1 當(dāng) a=b,即 a=b=21時(shí) ,1取得 最小值 B). 當(dāng) = =時(shí) ,即 33 36 (36)3. 當(dāng) x=y 時(shí) ,(x+(y+=2(x+ 4 取得 最 小 值 C). 當(dāng) a=b 時(shí) ,1+2 a 4 取得 最 小 值 C). 由 x( 2 y)= 2 ;當(dāng) x= 2 y 時(shí) , 2 . 由 2x+y+6=2x+y+6=21(2x)y,且 1(2x)y;當(dāng) 2x=y 時(shí) ,由 2x+y+6=2x=y=6 最小值是 18. 由 4x2+y2+ (2x)2+1(2x)y=1;當(dāng) 2x=y 時(shí) ,由 4x2+y2+ 2x=y=510 2x+y 的最大值為51