1_6354490_26.聚焦數(shù)列裂項(xiàng)求和的經(jīng)典模型

中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號 ) 愿與您共建真實(shí)的中國高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 聚焦數(shù)列裂項(xiàng)求和的經(jīng)典模型 從 一個 經(jīng)典模型開始研究裂項(xiàng)求和法 裂項(xiàng)求和是數(shù)列求和的重要方法之一 ,其中 ,裂項(xiàng)求和的 經(jīng)典模型是)1(1nn=n,推廣該經(jīng)典模型 ,不僅 可解決一類高考試題 ,而且可探索其命題方法 . 母題結(jié)構(gòu) :己知 0)是公差為 d(d 0)的 等 差數(shù)列 ,求證 :( )1 = )(k N*); ( )1=1 1)(k N*). 母題 解 析 :( )由 )= =1 1 = ); ( )由1 1)= = =11=1 1). 子題類型 :(2013 年課標(biāo) 高考試題 )已知等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 3=0,5. ( )求數(shù)列 通項(xiàng)公式 ; ( )求數(shù)列 12121 nn 前 n 項(xiàng)和 . 解析 :( )由 ,5 3,55 ,1 ( )由12121 nn 21)(23( 1 =)12)(32( 1 1(321n) 12121 nn 前 n 項(xiàng)和 =21(11(11 +(321n)=21(n)=點(diǎn)評 :利用等差數(shù)列 通項(xiàng) 1 ,是高考命制裂項(xiàng)求和的經(jīng)典模型類試題的最常用方法 . 子題類型 :(2008年江西 高考試題 )等差數(shù)列 各項(xiàng)均為正數(shù) ,前 n,等比數(shù)列 ,且 64,60. ( )求 ( )求和 :11S +21S + + 解析 :( )設(shè) 公差為 d(d 0),公比為 q;由 ,且 4,60 (6+d)q=64,(9+3d)60 d=2,q= 8 n+1,( )由 Sn=n(n+2)21 ( 21n )11S +21S + +21 (1+(21 + +( 21n )=21 (1+21 - 11n - 21n)=43-)2)(1(2 32 nn n. 點(diǎn)評 :利用等差數(shù)列 前 n,可 構(gòu)造數(shù)列 ,由 Sn=n(2d n+ 22 ( 121 ). 子題類型 :(2010年安徽 高考試題 )設(shè)數(shù)列 中的每一項(xiàng)都不為 等差數(shù)列的充分必要條件是 :對任何 n N*都有 :211321 +111 解析 :必要 性 :設(shè) 等差數(shù)列 公差為 d,則當(dāng) d=0 時 ,ak=11321 +1111 當(dāng) d 0 時 , 11d1(11211321 +111a 11 充分 性 :由211321 +111 211321 +1111 nn 11211 nn 1111 (n+1)=(n+1)= an+=2 數(shù)列 等差數(shù)列 . 點(diǎn)評 :由本題知 ,若 數(shù)列 11前 則 等差數(shù)列 ,該結(jié)論提供了構(gòu) 造 等差數(shù)列條件的新途徑 . 1.(2013 年大綱 高考試題 )等差數(shù)列 ,( )求 通項(xiàng)公式 ; ( )設(shè) bn=求數(shù)列 前 n. 2.(2010 年廣東高考試題 )已知等差數(shù)列 足 :,a5+6,前 n 項(xiàng)和為 ( )求 n; ( )令 12na(n N*),求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 3.(2013 年江西 高考試題 )正項(xiàng)數(shù)列 足 :. ( )求 通項(xiàng)公式 ; ( )令 bn=1(1 ,求數(shù)列 前 n. 4.(2011 年課標(biāo)高考試題理科第 17 題 )等比 數(shù)列 各項(xiàng)均為 正數(shù) ,且 2,( )求數(shù)列 通項(xiàng)公式 ; ( )設(shè) bn= +數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和 . 5.(2014 年大綱 高考試題 )等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 知 0,且 ( )求 通項(xiàng)公式 ; ( )設(shè) 1數(shù)列 前 n. 6.(2015 年課標(biāo) 高考試題 )前 n 項(xiàng)和 ,. ( )求 通項(xiàng)公式 ; ( )設(shè) 1數(shù)列 前 n. 7.(1993年 全國 高考試題 )已知數(shù)列32 31 18,32 53 28 ,22 )12()12( 8 nn n, ,n 項(xiàng)和 1=98,524,948, 推測出計(jì)算 并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明 . 8.(2014 年 浙 江 高考試題 )已知數(shù)列 足 2 )n N*) 等比數(shù)列 ,且 ,+( )求 ( )設(shè) cn=n N*),記數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 i)求 正整數(shù) k,使得對任意 n N*,均有 9.(2011年 浙 江 高考試題 )已知公差不為 0的等差數(shù)列 首項(xiàng) a(a R),設(shè)數(shù)列的前 n,11a ,21a ,41a 成等比數(shù)列 . ( )求數(shù)列 通項(xiàng)公式及 ( )記 1S +21S +31S + +1a +21a +221a+ +121 n 2 時 ,試比較 10.(2015年 山東 高考試題 )已知數(shù)列 首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列 ,數(shù)列 11前 n 項(xiàng)和為12 ( )求數(shù)列 通項(xiàng)公式 ; ( )設(shè) ) 2求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 ( )1n;( )由 bn=2( 11n ) (1- 11n )= 12 ( )n+1,Sn=n(n+2);( )由 1(n) 1(1n)=)1(4 ( )n;( )由 bn=1(1 =21 ( 11n ) 1 (1- 11n )= )1(2 ( ) 31)n;( )由 1( )1(22(n) 2(1n)=( )3 )由 111)103(10 ( )n+1;( )由 1(121n) 32(3 由22 )12()12( 8 nn n=2)12( 12( 1n 2( 1n=22)12( 1)12( ( )n,bn=n(n