1_6354512_26.值得關(guān)注的函數(shù)凸凹性

中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號 ) 利用放縮法研究函數(shù)不等式 解決 函數(shù)不等式 問題 的 一個(gè)技 法 函數(shù)圖象的 凸 凹 性是函數(shù) 的 一個(gè)重要性質(zhì) ,雖然在中學(xué)數(shù)學(xué)中 ,沒有給出明確的定義和相關(guān)知識 ,但是它的身影卻頻頻出現(xiàn)在高考試題中 ,它是深化函數(shù)研究 ,精 細(xì) 刻畫函數(shù)性質(zhì)的有效途經(jīng) ,值 得 引起充分關(guān)注 . 凸 凹 性 的定義 :( )若 f(x)在區(qū)間 D 上連續(xù) 且 對任意 的 x1D,有 f(2 21 2 )()( 21 ,則 稱 f(x)在 D 上 是凸的 ; ( )若 f(x)在區(qū)間 D 上連續(xù) 且 對任意 的 x1D,恒有 f(2 21 2 )()( 21 ,則 稱 f(x)在 D 上是 凹的 . 母題結(jié)構(gòu) ( )凸凹 函數(shù) 的判定定理 :若 f(x)在區(qū)間 D 上連續(xù) 可導(dǎo) ,且 f (x)在區(qū)間 D 上 單調(diào)遞減 ,則 f(x)在 D 上 是凸的 ;若 f(x)在區(qū)間 D 上連續(xù) 可導(dǎo) ,且 f (x)在區(qū)間 D 上 單調(diào)遞增 ,則 f(x)在 D 上 是凹的 ; ( )凸凹 函數(shù) 的不等式性質(zhì) : 若 函數(shù) f(x)在 凸的 ,則對任意的 x1, ,D,都有 f( + +其中 ,p1+ +),當(dāng)且僅當(dāng) x1= =等號成立 ; 若 函數(shù) f(x)在 D 上 是凹的 ,則對任意的 x1, ,D,都有 f( + +其中 ,p1+ +),當(dāng)且僅當(dāng) x1= =等號成立 . 母題 解 析 :( ) 令 g(x)=f(22()( 2,x D,且 由 f (x)在區(qū)間 調(diào)遞減 f (22g(0 f(2 21 2 )()( 21 f(x)在 D 上 是凸的 ;同理可證 ; ( ) 由 函數(shù) f(x)在 凸的 f (x)在區(qū)間 調(diào)遞減 ;要證 :對任意的 x1, ,D,都有 f( + +其中 ,p1+ +),不妨設(shè) + + (1 +( +pn)p2(p3( +pn( 0;令 h(x)=x)+ +f( +x 則 h (x)=(x)( + 0 h(x) h(p1+p2)f( + f(p1+p2) + (p1+p2+p3)f( +f(p1+p2+p3) + (p1+ +pn)f(f(p1+ +pn) f(f(0 h( 0 f( + +當(dāng)且僅當(dāng) x1= =等號成立 ;同理可證 . 子題類型 :(2005 年湖北高考試題 )在 y=2x,y=y=x2,y=四個(gè)函數(shù)中 ,當(dāng) 0 2 )()( 21 恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析 :由 f(2 21 2 )()( 21 f(x)是 (0,1)上的 凸函數(shù) ;而 y=2x,y=0,1)內(nèi)為凹函數(shù) ,y=0,1)內(nèi)先凸后凹函數(shù) ,只有 y= (0,1)為凸函數(shù) B). 點(diǎn)評 :函數(shù) 的 凸凹 具有較強(qiáng)的幾何直觀 ,簡單初等函數(shù)的 凸凹 性 ,可由其圖像一目了然的判定 . 判定凸凹性 子題類型 :(2008 年全國 I 高考試題 )汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車 ,若把這一過程中汽車的行駛路程 s 看作時(shí)間 其圖象可能是 ( ) 解析 :令 s=f(t),由 加速行駛 f (t)遞增 f(t)是 凹函數(shù) ;勻速行駛 f(t)為 遞增的 直線 ;減速行駛 f (t)遞減 f(t)為 凸 函數(shù) A). 點(diǎn)評 :由凸凹的導(dǎo) 數(shù)判定定理知 ,若 路程 s 看作時(shí)間 t 的函數(shù) f(t),則 :加速行駛 f(t)是遞增的凹函數(shù) ,減速行駛 f(t)是遞增的凸函數(shù) . 不等式 子題類型 :(2012 年 福建 高考試題 )函數(shù) f(x)在 a,b上有定義 ,若對任意 x1,a,b,有 f(2 21 2 )()( 21 , 則稱 f(x)在 a,b上具有性質(zhì) P.設(shè) f(x)在 1,3上具有性質(zhì) P,現(xiàn)給出如下命題 : f(x)在 1,3上的圖像是連續(xù)不斷的 ; f( 1, 3 上具有性質(zhì) P;若 f(x)在 x=2 處取得最大值 1,則 f(x)=1,x 1,3;對任意 x1,x2,x3,1,3,有 f(4 4321 )4 )()()()( 4321 ) (A) (B) (C) (D) 解析 :由 f(2 21 2 )()( 21 f(x)是凹函數(shù) 正確 ; 令 f(x)= )2(1 )2(|2| x f(x)是凹函數(shù) ,滿足 性質(zhì)P,但不 連續(xù) ; 令 f(x)=(,則 f(x)是凹函數(shù) ,但 f(不是凹函數(shù) ; 由 f(x)是凹函數(shù) ,且 f(x)在 x=2 處取得最大值 1 f(x)=D). 點(diǎn)評 :由凸凹 函數(shù) 的性質(zhì)定理知 ,指定 函數(shù) f(x),選取 n,設(shè)計(jì) p1, ,可以形式多樣的不等式 . 1.(2004 年 第 十 五 屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽 (高一 )試 題 )下列四個(gè)函數(shù) : f(x)= f(x)= x 2 ; f(x) =2x+x; f(x)=x能是 f(2 21 2 )()( 21 恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.(2005 年北京高考試題 )對于函數(shù) f(x)定義域中任意的 x1,x2(下列結(jié)論 : f(x1+f(x1)f( f( f(f(21 21)()( xx 0; f( 2 21 )h1 (B)h1h2 (C)h3h2 (D)h2h4.(2006年重慶高考試題 )如圖所示 ,單位圓中弧 x,f(x)表示弧 倍 ,則函數(shù) y= f(x)的圖象是 ( ) 7.(2013 年 浙江 高考試 題 )已知函數(shù) y=f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一 , 且其導(dǎo)函數(shù) y=f (x)的圖象如右圖所示 ,則該函數(shù)的圖象是 ( ) 8.(2009 年湖南高考試題 )若函數(shù) y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間 a,b上是增函數(shù) ,則函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 a,b上的圖象可能是( ) 9.(2008 年福建高考試題 )己知函數(shù) y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如右圖 , 那么 y=f(x),y=g(x)的圖象可能是 ( ) (A) (B) (C) (D) 10.(2013 年 湖北 高考試題 )小明騎車上學(xué) ,開始時(shí)勻速行駛 ,途中因 交通堵塞停留了一段時(shí)間 ,后為了趕時(shí)間加快速度行駛 ,與以上事件吻合得最好的圖象是 ( ) 11.(2007 年上海春招試題 )下列四個(gè)函數(shù)中 ,圖象如果所示的只能是 ( ) (A)y=x+ (B)y=C)y=-x+ (D)y=2.(2005 年 遼寧 高考試題 )一給定函數(shù) y=f(x)的圖象在下列圖中 ,并且對任意 (0,1),由關(guān)系式 =f(到的數(shù)列足 an(n N+),則該函數(shù)的圖象是 ( ) 13.(2000 年全國高考試題 )若 ab1,P= Q=21(R=則 ( ) (A) (C)p=5.(2007 年江西高考試題 )若 03x (C)x 由 f(2 21 2 )()( 21 函數(shù) f(x)是 凹 函數(shù) ;其中 ,f(x)= 凹 函數(shù) ;f(x)= x 2 )與 f(x)= x21)都 是凸函數(shù) ;關(guān)于函 數(shù) 的 凸 凹性有 基本結(jié)論 :函 數(shù) g(x)=f(x)+ax+b與 f(x)的 凸 凹性 相同 ;由 y=2 函數(shù) f(x)=2x+x 是 凹 函數(shù) B). 因 f(x)=f(lg(f(f(f(x)=