例題和習(xí)題解析高一數(shù)學(xué)寒假課程(答案)

寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 1 第一講 集合及其應(yīng)用 一 、 例題解析和參考答案 【 例 1】 解析： 根據(jù) 1, 2 ，得 42 x ， 2x ， 但 4,2,1 ， 由元素的互異性 2x . 2x . 答案： C 又例 ： 答案： a 0， 1， 3， 3 【 例 2】 錯解分析 ： 根據(jù) M 為直線 1 的點集， N 為單位圓 122 的點集， 中元素的個數(shù)是 2，選 C. 解析： 根據(jù) 1 得 ，為數(shù)集， 1),( 22 單位圓 122 的點集， . 答案： A 又例 ： 解析： 顯然 都是坐標(biāo)平面內(nèi)的點集，拋物線 12 圓 122 三個交點， 即集合 有 個元素， 有 8 個子集 . 答案： D 【 例 3】 解析： A （ A B ） ， （ B C ） C ， 又 A B B C ， A C ，故選A. 答案： A 又例 ： 解析： N 0, 1 ， M 1,0,1 ， N M U. 答案： B. 【 例 4】 解 析 ： AB 3， 3 A 且 3 B， 將 3 代入方程： 12 0 中，得 a 1，從而 A 3， 4. 將 3 代入方程 c 0，得 3b c 9. A B 3， 4， A B A， B A. AB， B A， B 3. 方程 c 0 的判別式 4c 0， 3b c 9 4c 0 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 2 由 得 c 3b 9，代入 整理得： （ b 6） 2 0， b 6， c 9. 故 a 1， b 6， c 9. 【 例 5】 解析： A x|y 2x x|0x2， B y|y 2 y|y0， A B 0， ） ， AB 0,2 ， 因此 AB （ 2， ） ，故選 A. 答案： A 【 例 6】 解析： （ 1） 由已知得： 3 x） 3 x43 x0 ，解得 1x 3， A x| 1x3. 由 5x 21，得 （ x 2）（ x 3） 0，且 x 20，解得 2 x3. B x| 2 x3. （ 2） 由 （ 1） 可得 x|x 1 或 x3， 故 （ B x| 2 x 1 或 x 3. 又例 : 解析：由題意易得： B （ 0， ） ， （ ， 0，所以 Ay| 2 y 0. 答案： A 【 例 7】 解析： A x|6x 8 0， A x|2 x 4. （ 1） 當(dāng) a 0 時， B ，不合題意 . 當(dāng) a 0 時， B x|a x 3a，應(yīng)滿足 a23a4 即 43 a 2， 當(dāng) a 0 時， B x|3a x a，應(yīng)滿足 3a2a4 即 a . 當(dāng) A B 時， 43 a 2. （ 2） 要滿足 AB ， 當(dāng) a 0 時， B x|a x 3a， a 4 或 3a 2， 0 a23或 a4； 當(dāng) a 0 時， B x|3a x a， a 2 或 a 43， a 0 時成立，當(dāng) a 0 時， B ， AB 也成立 . 綜上所述， a 23或 a 4 時， AB . （ 3） 要滿足 AB x|3 x 4，顯然 a 0 且 a 3 時成立， 此時 B x|3 x 9，而 AB x|3 x 4， 故所求 a 的值為 3. 又例 : 解析：集合 A 是方程 2x 3 0 在實數(shù)范圍內(nèi)的解集 . （ 1） A 是空集， 方程 2x 3 0 無解 . 4 12m 0，即 m 13. （ 2） A 中只有一個元素， 方程 2x 3 0 只有一解 . 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 3 若 m 0，方程為 2x 3 0，只有一個解 x 32； 若 m0，則 0，即 4 12m 0， m 13. m 0 或 m 13. （ 3） A 中含有兩個元素， 方程 2x 3 0 有兩解，滿足 m0 0 ， 即 m04 12m0 ， m13且 m0. 二 、 課后訓(xùn)練 參考答案 D 解析：當(dāng) m 0 時， Q P； 當(dāng) m0 時，由 Q P 知， x 1m 1 或 x 1m 1，得 m 1 或 m 1. B 解析：由題意得 MN 4， 5， M N 2， 3， 4， 5， 6， 7 U， （ M 3， 4， 5， 7U， （ N 2， 6N，綜上所述，選 B. C 1 D 解析：依 題意，結(jié)合韋恩圖分析可知，集合 AB 的元素個數(shù)是 m n，選 D. A 解析： B x| 1x1， A B x| 1x 2. C 解析： 2011 （ A B） ， 即 2011 A 且 2011 B ，故選 C. B 解析： P x|1 （ 0， 2） ， Q x|x 2| 1 （ 1， 3） ，則 P Q （ 0， 1. 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 4 第二講 函數(shù)的解析式、定義域和值域 一、 例題解析和參考答案 【例 1】 解析：方法一（配湊法） 45)1( 2 4)11(5)11( 2 )( 4)1(5)1( 2 1072 方法二（換 元法） 設(shè) 1 ，則 1 于是 4)1(5)1()( 2 1072 即 )( 1072 又例 : 錯解分析 ： 14)12( 3)12(2 x ， )( 32 x ， 31 x . 定義域是函數(shù)的一個要素，沒有 考慮定義域的變化，所求函數(shù)出錯 解析： 14)12( 3)12(2 x ， 又 31 x ，有 5121 x ， )( 32 x ， 51 x . 再例 : 錯解分析 ： 令 于是 a 1， t 0； 10 a ， t 0 將 代入，得 )( )(12 tt a ， )( )(12 xx a （ a 1， x 0； 10 a ， x 0） 在 a 0， a 1， x 0 的條件下， 解析：令 ， 將 代入，得 )( )(12 tt a )( )(12 xx a （ a 0， 0a ， x R ） 【例 2】 解析：由 )1( ， )1( ， )0( 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 5 得 )0()1()1(21)0()1()1(211(f ， )1(f ， )0(f 不能同時等于 1 或 1， 所以所求函數(shù)為 ： )( 12 2 x 或 )( 12 2 x 或 )( 12 或 )( 12 )( 12 )( 12 又例 : 解析：設(shè) )( ，則 )1(3 33 ， )1(2 22 ， 由 )1(3 1(2 172 x ，得 1725 比較系數(shù)及常數(shù)項，得1752 2k ， 7b )( 72 x 再例 : 解析： 依題意，得 2240即220 22)( 2 又由21)2( f，得 2124 4 b b N+， 012 b ，25b b 1 或 b 2 又 2， 故當(dāng) b 1 時 ， c 0，不符合題意； 當(dāng) b 2 時， c 2 )1(22)(2 【例 3】 解析： )1()(2 將 x 用)()1(2 由 ， 得 又例 ： 解析： 方法一 ：由 )0(f 1， )12()()( 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 6 令 x y ，得 2)()12()()0( ， )( 12 方法二：令 x 0， 得 1)()(1)1()0()( 22 )( 12 【例 4】 解析：這個函數(shù)是兩項之和，由第一項有：110121 由第二項有： 09 2 x ， 33 x ， 取兩者之交集，得所求函數(shù)的定義域為 3,2()2,1( 又例 : 解析：（ 1）要使函數(shù) )(意義，必須有010104即114 應(yīng)填： 4,1()1,1( （ 2）要使函數(shù)有意義，必須有 )23(x 0， 1230 x ，即 132 x 應(yīng)填： 1,32( 再例 ： 解析：這是分段函數(shù)，其定義域應(yīng)是各段函數(shù)定義域的并集，應(yīng)填： 1,( 【例 5】 解析： 由 2 x ， 有 20 得 )(ln 定義域為 ,1 2e 應(yīng)填： ,1 2e 又例 : 錯解分析 ： 由 12 對全體實數(shù)都成立，得00m ，即0402 m 的取值范圍是 0 m 4故選 A 解析： 由 12 0 對全體實數(shù)都成立，得 當(dāng) m 0 時， 10，對全體實數(shù)都成立； 當(dāng) m 0 時，00m ，即 0402 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 7 m 的取值范圍是 0m 4故選 B 再例： 解析：由題意知 時， 012)1()1( 22 （ 1）當(dāng) 012 a 且 01a 時，有 a 1，此時 )( 1， 顯然對 時， 012)1()1( 22 （ 2）當(dāng) 012 a 時，有012)1(4)1(01222解不等式組得 91 a 綜上知，當(dāng) 時，使得 )(意義的 a 的取值范圍是 1， 9 【例 6 】 解 析 ： 本 題 中 含 有 二 次 函 數(shù) 可 利 用 配 方 法 求 解 ， 為 便 于 計 算 不 妨 設(shè))0)(4)( 2 配方 得 )4,0(4)2()( 2 利用二次函數(shù)的相關(guān)知識得 4,0)( 從而得出所求函數(shù)的值域為 0,2y 又例 ： 解析 ：由絕對值知識及二次函數(shù)值域的求法易得 ,042x ， ,2242x ， ,2y 再例 ： 解析 ：觀察分子、分母中均含有 2 項，可先變形后再采取分析法 43)21(111111 22222 由 2)21( x0，有43)21( 2 x43， 043)21(12 x34， 3443)21(12 x 0，31143)21(12 x 1， 所求函數(shù)的值域為 1,31y 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 8 【例 7】 解析：由題意知 ，把原函數(shù)變形為 0)2( 2 當(dāng) 02y 時，滿足題意； 當(dāng) 02 y 時，因 ，所以 0)(2(42 即 08)2(44 22 31 y ， 1 和 3 是方程 08)2(44 22 兩個實根， 由韋達(dá)定理解得 22 又例 ： 解析：（ 1）當(dāng) a 21時， )(x 22 221 22)21( 2 函數(shù)1 在 ,1x 上是增函數(shù)， 1 211 ， 2)21( 在 ,1x 上是增函數(shù)，于是2)21( 2)211( 223 )( 22)21( 2 22223 27， 所以 )(最小值為27. （ 2） )( 0 即為 20，又 ,1x ， a 2 恒成立 而當(dāng) ,1x 時， 22 )1(12 3， a 3 二 、 課后訓(xùn)練 參考答案 1答案： D 解析：由 6 ，知 0x ，令 86 x ，得 212x ， )8( x，故選 D 2答案： D 解析： )8(f )13( )10(f 7，故選 D 3答案 : A 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 9 解析 : )(34 )( 334434x ，整理比較系數(shù)得 m 3. 4解析：（ 1）令 21 ，得 3 ，即 3 ， 因此 3|x|0 ，從而 33 x ， 故函數(shù)的定義域是 3x3|x （ 2）因為 )(定義域為 0,1 ，即 10 x 故函數(shù) )(定義域為下列不等式組的解集， 1010即 即兩個區(qū)間 ,1與 ,1的交集，比較兩個區(qū)間左、右端點，知 （ i）當(dāng) 021 )(定義域為 1| ； （ 210 )(定義域為 1| ； （ 21述兩區(qū)間的交集為空集，此時 )(能構(gòu)成函數(shù) 5解析：要使函數(shù)有意義，則必須 342 0 恒成立， 因為 )(定義域為 R ，即方程 0342 實根 當(dāng) k 0 時，需 03416 2 成立 ，解得430 k； 當(dāng) k 0 時，方程變?yōu)?3 0 恒無實根 綜上 k 的取值范圍是430 k 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 10 6解析：（ 1）證明： 2211221 11lo g)()( )11( ； 又 )1111(lo g)1(2121212122121)11( )()( 21 1( 21 21 xx （ 2） )1( )( )(， 又 )( 11 12 )11( bb 11 )( )( 1 )( 1 )( 23 7解析：方法一 : 由于本題的分子、分母均為關(guān)于 x 的二次形式，因此可以考慮使用判別式法 將原函數(shù)變形為 74232 22 整理得 073)2(2)2( 2 顯然 2y ，上式可以看成關(guān)于 x 的二次方程， 該方程的 x 范圍應(yīng)該滿足 032)( 2 即 此時方程有實根即 0 ， 2,290)73)(2(4)2(2 2 函數(shù)32 742 22 xx 2,29 方法二 ： 將函數(shù)式變形為32 742 22 xx )1( 132 2 x 2)1( 2 x 2， 02)1( 132 x213， 292)1( 132 2 x 2 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 11 函數(shù)32 742 22 xx 2,29 8解析：由于題中含有 不便于計算，但如果令： 13 注意 0t 從而得： )0(321341322 形得 )0(8)1(2 2 即： 4,(y 9 解析： y 1 12 x a x 11 a a (x 1)11 2a 1)11)1( 2 當(dāng) x 0 時等號成立 ， 1 10解析：令 ， 1,0u ， 1,0,1 于是，有 122 0u ， )0v ， 且 ，即 ， 由直線方程斜截式縱截距的幾何意義， 1y ， 2y 第 三 講 函數(shù)的 基本性質(zhì) 一 、 例題解析和參考答案 【 例 1】 錯解分析 ： （ 1）11)1()(11)1( 2 1)1)(1( 2 顯然有 )( )( )(偶函數(shù) . （ 2） 22)12)1( 22 于是 )( )( )( )( )(非奇非偶函數(shù) . 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 12 解析： （ 1） )(定義域為11，即 1 x 1. 定義域不是關(guān)于原點對稱的數(shù)集， )(非奇非偶函數(shù) . （ 2） )(定義域為 01 2 x 且 22 x ，即 1 x 1 且 x 0， 此時 02x . )12)1( 22， )(奇函數(shù) . 又例 : 解析： （ 1） 21 x 0，即 1 x 55 ，1)( ，為奇函數(shù) . （ 2）當(dāng) x 0， x 0 時， )( 2 ， )( 22 )()( ， )( )( ； 當(dāng) x 0， x 0 時， )( 2 ， )( 22 )()( ， )( )( ； )(奇函數(shù) . （ 3） 33)( 22 定義域為 |3 . 此時函數(shù)化為 )( 0， |3 . )(是奇函數(shù)又是 偶函數(shù) . 【 例 2】 解析：函數(shù)定義域為 R， 又 11161222116)( )(22116141612 . )(偶函數(shù) . 又例： 解析： )( )( )1(1 22 )1(1 22 )1)(1(1 222 11 2 0 )(奇函數(shù) . 再例： 解析： 2x 2a ， 要分 a 0 與 a 0 兩類討論 . （ i）當(dāng) a 0 時，由，函數(shù)的定義域為 ,0()0, ， 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 13 0， 2)( ， )(奇函數(shù)； （ a 0 時，由，函數(shù)的定義域為 , 0 0,， 0， 22 ， )(不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) . 【 例 3】 錯解分析 ： 設(shè)41)23(23)( 22 )23,(為函數(shù) )(單調(diào)遞減區(qū)間； ),23( 為函數(shù) )(單調(diào)遞增區(qū)間 . 又 lo g)23(lo g 為 t 的減函數(shù)， )23,(為函數(shù) 20 . 7l o g ( 3 2 )y x x 的單調(diào)遞增區(qū)間； ),23( 為函數(shù) 20 . 7l o g ( 3 2 )y x x 的單 調(diào)遞減區(qū)間 . 解析：設(shè) 23)( 2 由 0232 函數(shù)的定義域為 ),2()1,( ， 區(qū)間 )1,( 和 ),2( 分別為函數(shù) 23)( 2 單調(diào)遞減區(qū)間和單調(diào)遞增區(qū)間 . 又 根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則， 得區(qū)間 )1,( 和 ),2( 分別為函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間 . 又例： 解析：在定義域內(nèi)任取 1x 2x ， )()( 21 12x a x ax b x b )( )(2121 ， a b 0， b a 0， 1x 2x 0， 只有當(dāng) 1x 2x b 或 b 1x 2x 時函數(shù)才單調(diào) . 當(dāng) 1x 2x b 或 b 1x 2x 時 )()( 21 0. （ b ，）和（， b ）都是函數(shù) )(單調(diào)減函數(shù)區(qū)間 . 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 14 【 例 4】 解析：（ 1）依題意，對一切 ，有 ( ) ( )f x f x ，即 1 e a e . 11( )( )0 對一切 成立， 則 1 0，即 1a . 0a ， 1a . （ 2）設(shè)120 ，則12121211( ) ( ) x f x e e 212 1 1 2 11 2 2 111( ) ( 1 ) ( 1 ) x x x xx x x e e ， 由1 2 2 10 , 0 , 0x x x x ，得 2112 0 , 1 0e ， 2110， 12( ) ( ) 0f x f x， 即12( ) ( )f x f x， )( (0, ) 上為增函數(shù) . 又例： 解析： )( R 上的偶函數(shù)且在 ),0 上為減函數(shù) . 由 )12()2( 2 有 |12|2| 2 即222)12(202解得 a 1 或 a 2. 再例： 解析：由二次函數(shù) )(二次項系數(shù)為正，知函數(shù)的圖象為開口向上的拋物線， 由 )2( )2( ， 知 x 2 為對稱軸， 于是有結(jié)論：距對稱軸較近的點的縱坐標(biāo)較小 . 221221 22 即 22 )1(12 22 )1(12 2 x 0. 【 例 5】 解析：在 R 上任取 1x 、 2x ，設(shè) 1x 2x ， )( 1 )( 2 ,)()(11) ()()(1)()(1)()()(2112112212 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 15 )( R 上的增函數(shù)，且 )5(f 1， 當(dāng) x 5 時 0 )( 1， 而 當(dāng) x 5 時 )( 1； 若 1x 2x 5，則 0 )( 1 )( 2 1， 0 )( 1( 2 1， )()( 11 21 0， )( 2 )( 1； 若 2x 1x 5，則 )( 2 )( 1 1 ， )( 1( 2 1, )()( 11 21 0， )( 2 )( 1 綜上， )(（ ， 5）為減函數(shù)，在（ 5， ）為增函數(shù) . 又例： 解析： （ ）設(shè) 21 ，則 )()()()(1)()()()(1)()()()(211221211212所以函數(shù) )(奇函數(shù) . （ ）令 21 2 ， ，則)2()( 1)()2()( 即)2(1 1)2(1 ，解得： )2( 0. 于是有 )()2( 1)2()()2( )(1)()2( 1)2()( . 所以)()(11)2(1)4( . 因此，函數(shù) )(周期函數(shù)，并且有一個周期為 4a . 【 例 6】 解析： 方法一 ： 顯然 m 0，由于 函數(shù) )(在 ),1 x 上是增函數(shù)， 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 16 則當(dāng) m 0 時， 0)()( 恒成立，因此 m 0. 當(dāng) m 0 時，函數(shù) )()()( 在 ),1 x 上 是減函數(shù)， 因此，當(dāng) 1x 時， )(得最大值)1( ， 故 0)()()( 成立等價于 )( ),1 x 上的最大值小于零， 即 01)1( 001m 得 m 1. 于是實數(shù) m 的取值范圍是 )1,( . 方法 二 ： 顯然 m 0，由于 函數(shù) )(在 ),1 x 上是增函數(shù)， 則當(dāng) m 0 時， 0)()( 恒成立，因此 m 0. 若 1)()(mx 2 0 恒成立， 因為 ),1 x ， m 0，則需 222 12 0 恒成立 ， 設(shè)函數(shù) 222 12)( ，則 )( ),1 x 時為增函數(shù)， 于是 1x 時， )(得最小值 1)1( 2 解 0012得 m 1. 于是實數(shù) m 的取值范圍是 )1,( . 方法 三 ： 顯然 m 0，由于 函數(shù) )(在 ),1 x 上是增函數(shù)， 則當(dāng) m 0 時， 0)()( 恒成立，因此 m 0. 因為 對任意 ),1 x ， 0)()( 成立， 所以對 1x ，不等式 0)()( 成立， 于是 0)1()( 即 01 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 17 解 001m 得 m 1. 于是實數(shù) m 的取值范圍是 )1,( . 又例 ： 解析 ： （ 1）當(dāng) 0a 時， 2)( 為偶函數(shù)； 當(dāng) 0a 時， )(不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) . （ 2） 設(shè) 212 22212121 )()( 12 1 2 1 212 ( ) xx x x x x 由 212 得 16)( 2121 又 021 021 要使 )(區(qū)間 ),2 上 是增函數(shù) ， 只需 0)()( 21 即 0)( 2121 成立， 解得 16a . 二 、 課后訓(xùn)練 參考答案 A A B 解析 ： 由條件 222 22 222 22 即 222 22 由此解得 22 g ， 222 所以 2a ， 415222 22 f，所以選 B. D A D 解析： 由 函數(shù) )8( 偶函數(shù)知 )( 的圖像關(guān)于直線 8x 對稱，又函數(shù) )( ),8( 上為減函數(shù)知 )( 在 )8,( 上是增函數(shù)，由而可以比較大小 . 1 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 18 解析： )(12 為奇函數(shù)， )0(f 0，故 a 1. 26 ),21( 由 0x ，知 0x， 因為 12)12(212212)()(0 所以 )(偶函數(shù) . ）令 )1()1()11(,121 有 ， ( f （ ） 令121, ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) , ( 1 ) 0f f f f 有 解 得令 ).()(),()1()(,1 21 有 )(偶函數(shù) . （ ） ()16()416(,2)4()4()44( )64()62)(13(3)62()13( 即 （ 1） )( ),0( 上是增函數(shù)， （ 1）等價于不等式組：2)(13(,0)62)(13(,64)62)(13(,0)62)(13( 解得331,537,313或或 或 x 的取值范圍為 7 1 1 | 3 3 5 3x x x x 或 或 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 19 第 四 講 基本初等函數(shù) 一 、 例題解析和參考答案 【例 1】 解析 ： 0 ，其他各數(shù)都大于零，故 最??； 又 10 1， 100 2， 1 15 25 2 32 8， 對于 2153 與 3153 ，首先，它們都屬于區(qū)間（ 0,1），且是同底的冪， 考慮函數(shù) y x53 為減函數(shù)， 2153 3153 . 于是有 331212 o g . 又例 : 解析：（ 1） 1， 0 1， 0 ， （ 2） g g ，g g . 又函數(shù) y 函數(shù)， 0 再例 ：解析： 0 b1 a1 1， 又函數(shù) y ( 為 減函數(shù)， y （ 0,1）上為增函數(shù)， ，故選 D. 【例 2】 解析： y 2)1( 2 2)1( 2 u ， 又 11 x ， 當(dāng) a 1 時， ,1 1u ， 2)1( 2 u 為 u 的增函數(shù) . 函數(shù)的最大值為 )(531214 2 舍或 當(dāng) 0 a 1 時， 1, 1u ， 2)1( 2 u 為 u 的增函數(shù) . 函數(shù)的最大值為 舍）或 (5131112114 2 寒假課程 說明 高一數(shù)學(xué) 20 綜上得， 331 . 又例 ：解析：（ 1） 由 032 2 得 )(定義域為 )3,1( ， 記 u 232 （ x 1） 2 4，對稱軸為 x 1. )(增區(qū)間為（ 1， 1】，減為區(qū)間【 1， 3） . （ 2） u （ x 1） 2 44， 當(dāng) x 1 時有最大值 y 1. 【例 3】 解析：由 0311 12 x ，得 131 12 x ， 即 012 )31(31 x ， 由 x)31(為減函數(shù)， 012 x . 又例 ： 解析： 由 132a，即 ， 當(dāng) a 時， 是 32a， a . 當(dāng) a 時， 是 32a， a 32. 綜上可知 a 的取值范圍是 a 或 a 32. 再例 ：解析：由0)1)(2(lo g 2221 2 )(2 0，即 0122 21 21 舍去） . 當(dāng) a b 時 , )21( 當(dāng) a b 時，)21( 當(dāng) a b 時，不等式無解 . 【例 4】 解析：由 022 得 20 x ， 而函