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1第二章實數(shù)理論郇中丹2006-2007年度第一學期2為什么要講實數(shù)理論以往教材上關于實數(shù)處理的方式:以Dedekind分割或Cauchy基本列方式定義以公理化方式定義實數(shù)來回避直接定義實數(shù)上述處理方式的缺陷:分割和基本列的方式定義需要引入一系列的工具，并且與中小學教材脫節(jié)公理化的方式使得學生困惑:實數(shù)變的難以理解了應當與中小學教材銜接并講清實數(shù):講清十進小數(shù)3實數(shù)理論1數(shù)系理論發(fā)展簡史2定義實數(shù)遇到的困難3我們如何定義實數(shù)4有理數(shù)系的性質5實數(shù)定義6實數(shù)的完備性7實數(shù)的運算性質8記號和實數(shù)的進一步性質41數(shù)系理論發(fā)展簡史有趣的現(xiàn)象實數(shù)理論簡史引入實數(shù)的方法數(shù)系理論5有趣的現(xiàn)象數(shù)的使用幾乎與人類的歷史一樣長,有人通過觀察推斷:動物有數(shù)感.在人類文明史中,數(shù)的概念是逐步擴展開來的.然而數(shù)的嚴格意義上的理論直到在十九世紀后半葉才完成.雖然歐幾里德幾何原本中已經(jīng)討論了可公度比和無公度比,但沒有定義什么叫無公度比的相等建立數(shù)系理論為了完善數(shù)學分析理論建立數(shù)系理論是要保證數(shù)學的真實性,非歐幾何的出現(xiàn),幾何失去了其真實性；數(shù)學在哲學意義上的真實性應當建立在算術基礎上(Gauss1817)6實數(shù)理論是指以有理數(shù)系為基礎建立實數(shù)理論以往的直觀想法:有理數(shù)的極限,然而必須先存在才能談極限WilliamR.Hamilton,1833,1835提出無理數(shù)的第一個處理,以時間作為實數(shù)的基礎.提出用將有理數(shù)分成兩類的方法定義無理數(shù)Weierstrass(1857),Mray(1869)Dedekind(1872),Cantor(1873)(來源于KlineIVP46-47)7引入實數(shù)的方法Weierstrass:有自然數(shù)出發(fā)定義正有理數(shù),然后用無窮多個有

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