4《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》(韓旭里_謝永欽版)習題一及答案[1]

1習題四 的分布律為 X 1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求 E（ X） ， E（ ， E（ 2X+3） . 【解】 （ 1） 11111()(1) 0 1 2 ;82842 += （ 2） 2222211115()(1) 0 1 ;82844 + + + = （ 3） 1(2 3) 2 ( ) 3 2 3 42X+= +=+= 00 個產(chǎn)品中有 10 個次品，求任意取出的 5 個產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學期望、方差 . 【解】 設任取出的 5 個產(chǎn)品中的次品數(shù)為 X，則 X 的分布律為 X 0 1 2 3 4 5 P 1410 310 210 4110 905100105100 ( ) 0 4 0 5+ 520() ()x =22 2(0 1 5 + + = 的分布律為 X 1 0 1 P （ X） =（ = 【解】 因1231= , 又12331()(1) 0 1 P P P P= + + = = , 222212313()(1) 0 1 P P P P= + + = + = 由= 只球，其中的白球數(shù) X 為一隨機變量，已知 E（ X） =n，問從袋中任取 1 球為白球的概率是多少？ 【解】記 A=從袋中任取 1 球為白球 ，則 圣才統(tǒng)計學習網(wǎng) 才學習網(wǎng) 才學習網(wǎng) 0() | A X k PX k= =001 1() k = = 的概率密度為 f（ x） =其他求 E（ . 【解】 方法一：先求 X 與 Y 的均值 102() 2d ,3EX x i 5(5)500() e d 5 ed y y z z z+ + += =+=+令由 X 與 Y 的獨立性，得 2() ()() X =i 方法二：利用隨機變量函數(shù)的均值公式 與 Y 獨立，故聯(lián)合密度為 (5)2e , 0 1, 5,(, ) () ()0, ,f x f y =11(5) 2 (5)50 0 52() 2e d e d xy x xy x x y y+ + = ， Y 的概率密度分別為 x） =;0,0,0,22y） =,0,441） E（ X+Y） ;（ 2） E（ 2X 3. 【解】22 ()d 2 e xf x x x x x x+ + += i 2012=401() ()d 4e 4yf y y y+ +i 22 242021() ()d 448y f y y y y+ +=i 從而（ 1）113()()() Y+= + =+= 圣才統(tǒng)計學習網(wǎng) 才學習網(wǎng) 才學習網(wǎng) （ 2）22115(2 3 ) 2 ( ) 3 ( ) 2 3288 Y = = 的概率密度為 f（ x） =,0,414廠規(guī)定出售的設備若在一年內損壞可以調換 廠獲利 100 元，而調換一臺則損失 200 元，試求工廠出售一臺設備贏利的數(shù)學期望 . 【解】 廠方出售一臺設備凈盈利 Y 只有兩個值： 100 元和 200 元 圣才統(tǒng)計學習網(wǎng) 才學習網(wǎng) 才學習網(wǎng) 100 1 e d X x+= =1/4 200 1 1 e X= = 102010 125 12(10 ) 20 (12 ) (10 ) 51 (12 )25 (12 ) 21 (10 ) u P u u= =+=故 2/2d() 125 (12 ) ( 1) 21 (10 ) ( 1) 0( ( ) e ),= =令 這里 圣才統(tǒng)計學習網(wǎng) 才學習網(wǎng) 才學習網(wǎng) 1得 22(12)/2 (10)/225e 21 = 兩邊取對數(shù)有 22115 (12 ) 1 (10 ) = 解得 125 111 1 u = = （毫米） 由此可得，當 u=米時，平均利潤最大 . 的概率密度為 f（ x） =.,0,0,2 獨立地重復觀察 4 次，用 Y 表示觀察值大于 /3 的次數(shù)，求 （ 2002 研考） 【解】 令 1, ,3( 1,2,3,4)0,3=4,)133X=及/30 11 x =, 所以11 1() , () ,() 4 2,24 2Y = 2211() 4 1 ( ) ( )22Y = , 從而222() ()() 1 Y +=+= 臺無故障工作的時間 i=1,2）服從參數(shù)為 5 的指數(shù)分布，首先開動其中一臺，當其發(fā)生故障時停用而另一臺自動開啟 =2的概率密度 t） ，數(shù)學期望 E（ T）及方差 D（ T） . 【解】 由題意知： 55e , 0,()0, 0 =，U，1,1若若Y=1,1U，1） X 和 Y 的聯(lián)合概率分布； （ 2） D（ X+Y） . 【解】 （ 1） 為求 X 和 Y 的聯(lián)合概率分布，就要計算（ X， Y）的 4 個可能取值（ 1, 1） ,（ 1,1） ,（ 1, 1）及（ 1,1）的概率 . Px= 1,Y= 1=PU 1,U1 圣才統(tǒng)計學習網(wǎng) 才學習網(wǎng) 才學習網(wǎng) 4112444 = = =PX= 1,Y=1=PU 1,U1=P=0, PX=1,Y= 1=PU 1,U1 11 144= =. 故得 X 與 Y 的聯(lián)合概率分布為 (1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)110424 . （ 2） 因22( ) ( ) ( ) E X Y += + + ,而 X+Y 及（ X+Y）2的概率分布相應為 20 2111424+, 204()1122 + . 從而11()(2)20,44+=+= 211( ) 0 4 2,22+=+= 所以 ( ) ( ) ( ) E X Y += + + = 的概率密度為 f（ x） =x（ i 得出 X 與 |X|不相互獨立 . 和 Y 分別服從正態(tài)分布 N（ 1， 32）和 N（ 0， 42） ，且 X 與 Y 的相關系數(shù)1/2，設 Z=23. （ 1） 求 Z 的數(shù)學期望 E（ Z）和方差 D（ Z） ； （ 2） 求 X 與 Z 的相關系數(shù) （ 3） 問 X 與 Z 是否相互獨立，為什么？ 【解】 （ 1） 1() = +=( ) 232 32X D =+ 11 119162 ),94 32X Y=+ 而 1, ) ( ) ( ) 3 4 62X =i 所以 1() 14 6 += （ 2） 因 () ()11, ) 32 3 2X X =+= +11 9() (6) 3=0,32=- 所以 , )0.() () =i（ 3） 由 0= ，得 X 與 Z 不相關 3,(1,9)3N，所以 X 與 n 次， 以 X 和 Y 表示正面向上和反面向上的次數(shù) 和 Y 的相關系數(shù) 【解】由條件知 X+Y=n，則有 D（ X+Y） =D（ n） =0. 再由 XB（ n,p） ,YB（ n,q） ，且 p=q=12, 圣才統(tǒng)計學習網(wǎng) 才學習網(wǎng) 才學習網(wǎng) 6從而有 () ()4 Y= 所以 0( )()()2 ()() Y = + i 2,24 i 故 1. 和 Y 的聯(lián)合概率分布為 1 0 1 0 1 求 X 和 Y 的相關系數(shù) . 【解】 由已知知 E（ X） =（ Y） = 概率分布為 1 0 1 P 以 E（ = X,Y） =E（ E（ X） E（ Y） = 從而 0 和 B， 0P（ A） 1， 0P（ B） 1,則稱 =()()()()()()(為事件 A 和 B 的相關系數(shù) （ 1） 事件 A 和 B 獨立的充分必要條件是 =0； （ 2） |1. 【證】 （ 1）由 的定義知， =0 當且僅當 P（ P（ A） P（ B） =0. 而這恰好是兩事件 A、 B 獨立的定義，即 =0 是 A 和 B 獨立的充分必要條件 . （ 2） 引入隨機變量 X 與 Y 為 1, ,0,=若發(fā)生若 發(fā)生;1, ,0,=若發(fā)生若 X 和 Y 都服從 0 1 分布，即 011() ()A011() ()B從而有 E（ X） =P（ A） ,E（ Y） =P（ B） , D（ X） =P（ A） P（ A ） ,D（ Y） =P（ B） P（ B ） , X,Y） =P（ P（ A） P（ B） 所以，事件 A 和 B 的相關系數(shù)就是隨機變量 X 和 Y 的相關系數(shù) |1. 36. 設隨機變量 X 的概率密度為 Y X 圣才統(tǒng)計學習網(wǎng) 才學習網(wǎng) 才學習網(wǎng) 7x） =.,0,20,41,01,21其他=F（ x,y）為二維隨機變量（ X， Y）的分布函數(shù)，求： （ 1） y） ； （ 2） X,Y） ; （ 3）1(,4)2F . 解 ： （ 1） 2() Y y PX y= = . 當 y0 時， () 0， () 0； 當 0 y 1 時， 3() 0 0 4 X y y= =+ = ， 3()8； 當 1y4 時， 11() 1 0 0 24 X P X y y=+ =+ 1()8； 當 y4 時， () 1， () 0. 故 Y 的概率密度為 3,0 1,81() 0,1 4,80, = 其他（ 2） 0210111() ()d d xf x x xx = +=0222 2 210115() ( )