《彈性力學(xué)簡明》習(xí)題提示和參考答案

題提示和答案 彈性力學(xué)簡明教程 習(xí)題提示和參考答案 第二章 習(xí)題的提示與答案 2 1 是 2 2 是 2 3 按習(xí)題 2 1分析。 2 4 按習(xí)題 2 2分析。 2 5 在 的條件中，將出現(xiàn) 2、 3階微量。當(dāng)略去 3階微量后，得出的切應(yīng)力互等定理完全相同。 2 6 同上題。在平面問題中，考慮到 3階微量的精度時，所得 出的平衡微分方程都相同。其區(qū)別只是在 3階微量（即更高階微量）上，可以略去不計。 2 7 應(yīng)用的基本假定是：平衡微分方程和幾何方程 連續(xù)性和小變形，物理方程 理想彈性體。 2 8 在大邊界上，應(yīng)分別列出兩個精確的邊界條件；在小邊界（即次要邊界）上，按照圣維南原理可列出 3個積分的近似邊界條件來代替。 2 9 在小邊界 上，對于圖 2 15（ a）、（ b）問題的三個積分邊界條件相同，因此，這兩個問題為靜力等效。 2 10 參見本章小結(jié)。 2 11 參見本章小結(jié)。 2 12 參見本章小結(jié)。 2 13 注意按應(yīng)力求解時，在單連體中應(yīng)力分量 必須滿足 （ 1）平衡微分方程， （ 2）相容方程， （ 3）應(yīng)力邊界條件（假設(shè) )。 2 14 見教科書。 2 15 見教科書。 2 16 見教科書。 2 17 取 它們均滿足平衡微分方程，相容方程及 x=0和 的應(yīng)力邊界條件，因此，它們是該問題的正確解答。 2 18 見教科書。 2 19 提示：求出任一點的位移分量 和 ，及轉(zhuǎn)動量 ，再令 ,便可得出。 第三章 習(xí)題的提示與答案 3 1 本題屬于逆解法，已經(jīng)給出了應(yīng)力函數(shù)，可按逆解法步驟求解： （ 1）校核相容條件是否滿足， （ 2）求應(yīng)力， （ 3）推求出每一邊上的面力 從而得出這個應(yīng)力函數(shù)所能解決的問題。 3 2 用逆解法求解。由于本題中 lh, x=0,l 屬于次要邊界（小邊界），可將小邊界上的面力化為主矢量和主矩表示。 3 3 見 3 3 4 本題也屬于逆解法的問題。首先校核 是否滿足相容方程。再由 求出應(yīng)力后，并求對應(yīng)的面力。本題的應(yīng)力解答如習(xí)題 3力對應(yīng)的面力是： 主要邊界： 所以在 邊界上無剪切面力作用。下邊界無法向面力； 上邊界有向下的法向面力q。 次要邊界： x=0面上無剪切面力作用； 但其主矢量和主矩在 x=0 面上均為零。 因此，本題可解決如習(xí)題 3 3 5 按半逆解法步驟求解。 （ 1）可假設(shè) （ 2）可推出 （ 3）代入相容方程可解出 f、 ，得到 （ 4）由 求應(yīng)力。 （ 5）主要邊界 x=0,b 上的條件為 次要邊界 y=0上，可應(yīng)用圣維南原理，三個積分邊界條件為 讀者也可以按 或 的假設(shè)進行計算。 3 6 本題已給出了應(yīng)力函 數(shù) ，應(yīng)首先校核相容方程是否滿足，然后再求應(yīng)力，并考察邊界條件。在各有兩個應(yīng)精確滿足的邊界條件，即 而在次要邊界 y=0 上， 已滿足，而 的條件不可能精確滿足（否則只有 A=B=0，使本題無解），可 用積分條件代替： 3 7 見例題 2。 3 8 同樣，在 的邊界上，應(yīng)考慮應(yīng)用一般的應(yīng)力邊界條件 (2 3 9 本題也應(yīng)先考慮對稱性條件進行簡化。 3 10 應(yīng) 力函數(shù) 中的多項式超過四次冪時，為滿足相容方程，系數(shù)之間必須滿足一定的條件。 3 11 見例題 3。 3 12 見圣維南原理。 3 13 m 個主要邊界上，每邊有兩個精確的應(yīng)力邊界條件，如式 (2示。 n 個次要邊界上，每邊可以用三個積分的條件代替。 3 14 見教科書。 3 15 嚴(yán)格地說，不成立。 第四章 習(xí)題的提示和答案 4 1 參見 4 4 4 2 參見圖 4 4 3 采用按位移求解的方法，可設(shè) 代入幾何方程得形變分量，然后再代入物理方程得出用位移表示的應(yīng)力分量。將此應(yīng) 力公式代入平衡微分方程，其中第二式自然滿足，而由第一式得出求的基本方程。 4 4 按應(yīng)力求解的方法，是取應(yīng)力為基本未知函數(shù)。在軸對稱情況下， ，只有 為基本未知函數(shù)，且它們僅為 的函數(shù)。求解應(yīng)力的基本方程是： (1)平衡微分方程 (其中第二式自然滿足 )， (2)相容方程。相容方程可以這樣導(dǎo)出：從幾何方程中消去位移，得 再將形變通過物理方程用應(yīng)力表示，得到用應(yīng)力表示的相容方程。 4 5 參見 4 4 6 參見 4 4 7 參見 4 4 8 見例題 1。 4 9 見例題 2。 4 10 見答案。 4 11 由應(yīng)力求出位移，再考慮邊界上的約束條件。 4 12 見提示。 4 13 內(nèi)外半徑的改變分別為 兩者之差為圓筒厚度的改變。 4 14 為位移邊界條件。 4 15 求出兩個主應(yīng)力后，再應(yīng)用單向應(yīng)力場下圓孔的解答。 4 16 求出小圓孔附近的主應(yīng)力場后，再應(yīng)用單向應(yīng)力場下圓孔的解答。 4 17 求出小圓孔附近的主應(yīng)力場后，再應(yīng) 用單向應(yīng)力場下圓孔的解答。 4 18 見例題 3。 4 19 見例題 4。 第五章 習(xí)題提示和答案 5 1 參見書中由低階導(dǎo)數(shù)推出高階導(dǎo)數(shù)的方法。 5 2 參見書中的方程。 5 3 注意對稱性的利用，取基點 A 如圖。答案見書中。 5 4 注意對稱性的利用 ,并相應(yīng)選取基點 A。答案見書中。 5 5 注意對稱性的利用，本題有一個對稱軸。 5 6 注意對稱性的利用，本題有二個對稱軸。 5 7 按位移求微分方程的解法中，位移應(yīng)滿足： (1) 上的位移邊界條件， (2) 上的應(yīng)力邊界條件，(3)區(qū)域 A 中的平衡微分方程。用瑞利 定的位移試函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足 (1)上的位移邊界條件，而 (2)和 (3)的靜力條件由瑞利 5 8 在拉伸和彎曲 情況下，引用 的表達式，再代入書中的公式。在 扭轉(zhuǎn)和彎曲情況下，引用 的表達式，再代入書中的公式。 5 9 對于書中圖 5假設(shè) 對于書中圖 5y 軸是其對稱軸， x 軸是其反對稱軸，在設(shè)定 u、 v 試函數(shù)時，為滿足全部約束邊界條件，應(yīng)包含公共因子 。此外，其余的乘積項中，應(yīng)考慮： u 應(yīng)為 x 和 y 的奇函數(shù)， v 應(yīng)為 x 和 y 的偶函數(shù)。 5 10 答案見書中。 5 11 在 u,v 中 各 取 一 項 , 并設(shè) 時 , 用 瑞 利 - 里 茨 法 得 出 求 解 的 方 程 是代入 后 ,上兩式方程是 解出 位移分量的解答為 應(yīng)力分量為 第六章 習(xí)題的提示和答案 6 1 提示：分別代入 的公式進行運算。 6 2 （ 3）中的位移，一為剛體平移，另一為剛體轉(zhuǎn)動，均不會產(chǎn)生應(yīng)力。其余見書 中答案。 6 3 求 i 結(jié)點的連桿反力時，可應(yīng)用 公式 為對圍繞 i 結(jié)點的單元求和。 6 4 求支座反力的方法同上題。 6 5 單元的勁度矩陣 k，可采用書中 g）的結(jié) 果，并應(yīng)用公式 求 出整體勁度矩陣的子矩陣。 6 6 求勁度矩陣元素同上題。應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣可采用書中 6 7 求勁度矩陣元素可參見 g）的結(jié)果，再求出整體勁度矩陣元素 答案見書中。 6 8 當(dāng)單元的形狀和局部編號與書中圖 6 10相同時，可采用 g） 的單元勁度矩陣。 答案：中心線上的上結(jié)點位移 下結(jié)點位移 6 9 能滿足收斂性條件，即位移模式不僅反映了單元的剛度位移和常量應(yīng)變，還在單元的邊界上，保持了相鄰單元的位移連續(xù)性。 第七章 習(xí)題的提示和答案 7 1 答案： 7 2 提示： 原 (x,y,z)的點移動到 (x+u,y+v,z+w)位 置，將新位置位置代入有關(guān)平面、直線、平行六面體和橢球面方程。 7 3 見本書的敘述。 7 4 空間軸對稱問題比平面軸對稱問題增加了一些應(yīng)力、形變和位移，應(yīng)考慮它們在導(dǎo)出方程時的貢獻。 7 5 對于一般的空間問題，柱坐標(biāo)中的全部應(yīng)力、形變和位移分量都存在，且它們均為 的函數(shù)。在列方程時 應(yīng)考慮它們的貢獻。 第八章 習(xí)題的提示和 答案 8 1 提示：應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程、相容方程及應(yīng)力邊界條件（設(shè) )。柱體的側(cè)面，在（ x,y）平面上應(yīng)考慮為任意形狀的邊界（ n=0,l,m 為任意的），并應(yīng)用一般的應(yīng)力邊界條件。 8 2 提示：同上題。應(yīng)力應(yīng)滿足平衡微分方程、相容方程及應(yīng)力邊界條件（設(shè) 若為多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。 由于空間體為任意形狀，因此，應(yīng)考慮一般的應(yīng)力邊界條件（ 7法線的方向余弦為 l,m,n，邊界面為任意斜面，受到法向壓力 q 作用。為了考慮多連體中的位移單值條件，應(yīng)由應(yīng)力求出對應(yīng)的位移，然后再檢查是否滿足單值條件。 8 3 見 8 8 4 從書中式（ 8（ 8以導(dǎo)出。由結(jié)論可以看出位移分量和應(yīng)力分量等的特性。 8 5 為了求 o 點以下 h 處的 位移，取出書中式（ 8 ，并作如下代換 ， 然后從 o a 對 積分。 8 6 引用布西內(nèi)斯克解答，在 z=0的表面上的沉陷是 （ 1）求矩形中心點的沉陷，采用圖 8a）的坐標(biāo)系， 代入并積分， 再應(yīng)用部分積分得到， 。 （ 2）求矩形角點處的沉陷，采用圖 8-9(b)的坐標(biāo)系， 8 7 題中 已滿足邊界條件 再由 便可求出切應(yīng)力及扭角等。 8 8 題中 能滿足兩個圓弧處的邊界條件 然后，相似于上題進行求式解 為 的兩倍。 8 9 分別從橢圓截面桿導(dǎo)出圓截面桿的解答，和從矩形截面桿導(dǎo)出正方形截面桿的解答；并由，得出 代入后進行比較即可得出。 8 10 參見 8 第九章 習(xí)題提示和答案 9 1 撓度 w 應(yīng)滿足彈性曲面的微分方程， x=0的簡支邊條件，以及橢圓邊界上的固定邊條件，。校核橢圓邊界的固定邊條件時，可參見例題 4。 求撓度及彎矩等的最大值時，應(yīng)考慮函數(shù)的極值點（其導(dǎo)數(shù)為 0）和邊界點，從中找出其最大值。 9 2 在 重 三 角 級 數(shù) 中 只 取 一 項 可以滿足 的彈性曲面微分方程，并 可以求出系數(shù) m。而四個簡支邊的條件已經(jīng)滿足。 關(guān)于角點反力的方向、符號的規(guī)定，可參見 9 4中的圖 9 5。 9 3 本題中無橫向荷載， q= 0，只有在角點 B 有集中力 F 的作用。注意 w =滿足：彈性曲面的微分方程， x =0和 y =0的簡支邊條件 , x =a 和 y =b 的自由邊條件，以及角點的條件 （見圖 9 5中關(guān)于角點反力的符號規(guī)定 ）。 在應(yīng)用萊維解法求解各種邊界條件的矩形板時，這個解答可以用來處理有兩個自由邊相交的問題，以滿足角點的條件。因此，常應(yīng)用這個解答于上述這類問題，作為其解答的一部分。讀者可參考 9 6中圖 9 9 4 本題中也無橫向荷載， q= 0，但在邊界上均有彎矩作用。 x= 0,a 是廣義的簡支邊，其邊界條件是 而 y= 0,b 為廣義的 自由邊，其邊界條件是 將 w=f(x)代入彈性曲面微分方程，求出 f(x)。再校核上述邊界條件并求出其中的待定系數(shù)。 9 5 參見 9 7及例題 1， 2。 9 6 應(yīng)用納維解法，取 w 為重三角級數(shù)，可以滿足四邊簡支的條件。在求重三角級數(shù)的系數(shù) 中，其中對荷載的積分 只有在 的區(qū)域有均布荷載 作用，應(yīng)進行積分；而其余區(qū)域 ，積分必然為零。 9 7 對于無孔圓板，由 的撓度和內(nèi) 力的有限值條件，得出書中 9 9 式 (d)的解中，然后再校核簡支邊的條件，求出 。 求