2017年廣西南寧市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）含答案解析

2017 年廣西南寧市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 A=x|（ x 2）（ x+6） 0， B=x| 3 x 4，則 A B 等于（ ） A（ 3， 2） B（ 3， 2） C（ 2， 4） D（ 2， 4） 2復(fù)數(shù) z= 的虛部為（ ） A B 1 C D 3某儀器廠從新生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取 40 個檢測，如圖是根據(jù)抽樣檢測后零件的質(zhì)量（單位：克）繪制的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)分 8 組，分別為 80，82）， 82， 84）， 84， 86）， 86， 88）， 88， 90）， 90， 92）， 92， 94），94， 96，則樣本的中位數(shù)在（ ） A第 3 組 B第 4 組 C第 5 組 D第 6 組 4已知函數(shù) f（ x） =x ）（ 0）的最小正周期為 ，則函數(shù) f（ x）的圖象（ ） A可由函數(shù) g（ x） =圖象向左平移 個單位而得 B可由函數(shù) g（ x） =圖象向右平移 個單位而得 C可由函數(shù) g（ x） =圖象向左平移 個單位而得 D可由函數(shù) g（ x） =圖象向右平移 個單位而得 5已知 數(shù)列 足： = ，且 ，則 于（ ） A B 23 C 12 D 11 6已知角 的終邊過點（ 2 1， a），若 則實數(shù)a 等于（ ） A B C D 7執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入 k 的值為 3，則輸出 S 的值為（ ） A 10 B 15 C 18 D 21 8已知拋物線 C： p 0）的焦點為 F，點 M（ 2 ）是拋物線 C 上一點，圓 M 與 y 軸相切且與線段 交于點 A，若 =2，則 p 等于（ ） A 1 B 2 C 2 D 4 9已知非零向量 、 滿足 | |=| +2 |，且 與 的夾角的余弦值為 ，則等于（ ） A B C D 2 10如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A 12 B 15 C 18 D 21 11已知雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的左焦點為 F（ c， 0）， M、 上， O 是坐標(biāo)原點，若四邊形 平行四邊形，且四邊形 雙曲線 C 的離心率為（ ） A B 2 C 2 D 2 12已知函 數(shù) f（ x） = 6x 3，設(shè) p， q表示 p， q 二者中較大的一個函數(shù) g（ x） = ） x 2， x+3） 若 m 2，且 m， 2）， （ 0， + ），使得 f（ =g（ 立，則 m 的最小值為（ ） A 5 B 4 C 2 D 3 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13如果實數(shù) x， y 滿足約束條件 ，則 z=3x+2y 的最大值為 14在區(qū)間 1， 5上任取一個實數(shù) b，則曲線 f（ x） =2x2+點（ 1， f（ 1）處切 線的傾斜角為鈍角的概率為 15我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題： “今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤斬末一尺，重二斤問次一尺各重幾何？ ”意思是： “現(xiàn)有一根金杖，長 5 尺，一頭粗，一頭細(xì)在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在細(xì)的一端截下 1尺，重 2 斤；問依次每一尺各重多少斤？ ”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，其重量為 M，現(xiàn)將該金杖截成長度相等的 10 段，記第 i 段的重量為 i=1， 2， ，10），且 48M，則 i= 16在正方體 ， ，點 E 在棱 ，點 F 在棱 平面 平面 ，則三棱錐 接球的表面積為 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17（ 12 分）在 ，角 A， B， C 所對的邊分別為 a， b， c，且 （ 1）求 的值； （ 2）若角 C 為銳角， c= ， ，求 面積 18（ 12 分）某中學(xué)是走讀中學(xué)，為了讓學(xué)生更有效率利用下午放學(xué)后的時間，學(xué)校在本學(xué)期第一次月考后設(shè)立了多間自習(xí)室，以便讓學(xué)生在自習(xí)室自主學(xué)習(xí)、完成作業(yè)， 同時每天派老師輪流值班在本學(xué)期第二次月考后，高一某班數(shù)學(xué)老師統(tǒng)計了兩次考試該班數(shù)學(xué)成績優(yōu)良人數(shù)和非優(yōu)良人數(shù)，得到如下 2 2 列聯(lián)表： 非優(yōu)良 優(yōu)良 總計 未設(shè)立自習(xí)室 25 15 40 設(shè)立自習(xí)室 10 30 40 總計 35 45 80 （ 1）能否在在犯錯誤的概率不超過 前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效； （ 2）從該班第一次月考的數(shù)學(xué)優(yōu)良成績中和第二次月考的數(shù)學(xué)非優(yōu)良成績中，按分層抽樣隨機(jī)抽取 5 個成績，再從這 5 個成績中隨機(jī)抽取 2 個，求這 2 個成績來自同一次月考的概率 下面的臨界值 表供參考： P（ 參考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 19（ 12 分）如圖，在四棱錐 A ， 底面 60， （ 1）若 F 是 中點，求證： 平面 （ 2） M、 N 是棱 兩個三等分點，求證： 平面 20（ 12 分）已知 c， 0）、 c、 0）分別是橢圓 G： + =1（ 0 b a 3）的左、右焦點，點 P（ 2， ）是橢圓 G 上一點，且 | |a （ 1）求橢圓 G 的方程； （ 2）設(shè)直線 l 與橢圓 G 相交于 A、 B 兩點，若 ，其中 O 為坐標(biāo)原點，判斷 O 到直線 l 的距離是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由 21（ 12 分）已知函數(shù) f（ x） =x ， m R，且 m 0 （ 1）討論函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ 2）若 m= 1，求證：函數(shù) F（ x） =x 有且只有一個零點 請考生在第 22、 23 題中任選一題作 答，如果多做，按所做的第一題計分 .選修4標(biāo)系與參數(shù)方程 22（ 10 分）已知曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 =4極點為原點，極軸為 直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)） （ 1）求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程與直線 l 的普通方程； （ 2）設(shè)曲線 C 與直線 l 相交于 P， Q 兩點，以 一條邊作曲線 C 的內(nèi)接矩形，求該矩形的面積 選修 4等式選講 23設(shè)實數(shù) x， y 滿足 x+ =1 （ 1）若 |7 y| 2x+3，求 x 的取值范圍； （ 2）若 x 0， y 0，求證： 2017 年廣西南寧市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 A=x|（ x 2）（ x+6） 0， B=x| 3 x 4，則 A B 等于（ ） A（ 3， 2） B（ 3， 2） C（ 2， 4） D（ 2， 4） 【考點】 交集及其運算 【分析】 求出關(guān)于 A 的解集，從而求出 A 與 B 的交集 【解答】 解： A=x|（ x 2）（ x+6） 0=x|x 6 或 x 2， B=x| 3 x 4， A B=x|2 x 4， 故選： C 【點評】 此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵 2復(fù)數(shù) z= 的虛部為（ ） A B 1 C D 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案 【解答】 解： z= = ， 復(fù)數(shù) z= 的虛部為 故選： A 【點評】 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題 3某儀器廠從新生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取 40 個檢測，如圖是根據(jù)抽樣檢測后零件的質(zhì)量（單位：克）繪制的頻率分布直方圖，樣本數(shù)據(jù)分 8 組 ，分別為 80，82）， 82， 84）， 84， 86）， 86， 88）， 88， 90）， 90， 92）， 92， 94），94， 96，則樣本的中位數(shù)在（ ） A第 3 組 B第 4 組 C第 5 組 D第 6 組 【考點】 頻率分布直方圖 【分析】 根據(jù)頻率分布直方圖求出前 4 組的頻數(shù)為 22，且第四組的頻數(shù) 8，即可得到答案 【解答】 解：由圖可得，前第四組的頻率為（ 2= 則其頻數(shù)為 40 2，且第四組的頻數(shù)為 40 2=8， 故中位數(shù)落 在第 4 組， 故選： B 【點評】 本題是對頻率、頻數(shù)靈活運用的綜合考查頻率、頻數(shù)的關(guān)系：頻率 =頻數(shù) 數(shù)據(jù)總和，以及中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題 4已知函數(shù) f（ x） =x ）（ 0）的最小正周期為 ，則函數(shù) f（ x）的圖象（ ） A可由函數(shù) g（ x） =圖象向左平移 個單位而得 B可由函數(shù) g（ x） =圖象向右平移 個單位而得 C可由函數(shù) g（ x） =圖象向左平移 個單位而得 D可由函數(shù) g（ x） =圖象向右平移 個單位而得 【考點】 余弦函數(shù)的圖象 【分 析】 根據(jù)函數(shù) f（ x）的最小正周期為 ，求出解析式，在利用三角函數(shù)的平移變換考查也選項即可 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =x ）（ 0）的最小正周期為 ， 即 T= ， =2， 則 f（ x） =2x ）的圖象可有函數(shù) g（ x） =圖象向右平移 個單位而得 故選： D 【點評】 本題考查了三角函數(shù)的解析式的求法和三角函數(shù)的平移變換的運用屬于基礎(chǔ)題 5已知數(shù)列 足： = ，且 ，則 于（ ） A B 23 C 12 D 11 【考點】 等比數(shù)列的通項 公式 【分析】 數(shù)列 足： = ，可得 +1=2（ ），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出 【解答】 解： 數(shù)列 足： = ， +1=2（ ），即數(shù)列 是等比數(shù)列，公比為 2 則 =22（ ） =12，解得 1 故選： D 【點評】 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 6已知角 的終邊過點（ 2 1， a），若 則實數(shù)a 等于（ ） A B C D 【考點】 任意角的三角函數(shù)的定義 【分析】 利用二倍角公式化簡，再利用正弦函數(shù)的定義，建立方程，即可得出結(jié)論 【解答】 解： 2 1= ， 2 ， 角 的終邊過點（ 2 1， a）， = ， a= ， 故選 B 【點評】 本題考查正弦函數(shù)的定義，考查二倍角公式，屬于中檔題 7執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入 k 的值為 3，則輸出 S 的值為（ ） A 10 B 15 C 18 D 21 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 n， S 的值，當(dāng) n=5， S=15時，不滿足條件 S 5，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 15，即可得解 【解答】 解：模擬程序的運行，可得 k=3， n=1， S=1 滿足條件 S 行循環(huán)體， n=2， S=3 滿足條件 S 行循環(huán)體， n=3， S=6 滿足條件 S 行循環(huán)體， n=4， S=10 滿足條件 S 行循環(huán)體， n=5， S=15 此時，不滿足條件 S 5，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 15 故選： B 【點評】 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖， 正確判斷退出循環(huán)的條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題 8已知拋物線 C： p 0）的焦點為 F，點 M（ 2 ）是拋物線 C 上一點，圓 M 與 y 軸相切且與線段 交于點 A，若 =2，則 p 等于（ ） A 1 B 2 C 2 D 4 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè) M 到準(zhǔn)線的距離為 |則 |利用 =2，得 x0=p，即可得出結(jié)論 【解答】 解：設(shè) M 到準(zhǔn)線的距離為 |則 | =2， x0=p， 2， p 0， p=2 故選 B 【點評 】 本題考查拋物線定義的運用，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ) 9已知非零向量 、 滿足 | |=| +2 |，且 與 的夾角的余弦值為 ，則等于（ ） A B C D 2 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 由向量的平方即為模的平方可得 = 2，再由向量的夾角公式：， = ，化簡即可得到所求值 【解答】 解：非零向量 、 滿足 | |=| +2 |， 即有（ ） 2=（ +2 ） 2， 即為 2+ 2 2 = 2+4 +4 2， 化為 = 2， 由 與 的夾角的余弦值為 ， 可得 ， = = = ， 化簡可得 =2 故選： D 【點評】 本題考查向量的數(shù)量積的夾角公式，以及向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題 10如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A 12 B 15 C 18 D 21 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積 【分析】 由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個長寬高分別為 4， 3， 3 的長方體，切去一半得到的，進(jìn)而得到答案 【解答】 解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個長寬高分別為 4， 3， 3的長方體， 切去一半得到的，其直觀圖如下所示： 其體積為： 4 3 3=18， 故選： C 【點評】 本題考查的知識點是棱錐的體積與表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中檔 11已知雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的左焦點為 F（ c， 0）， M、 上， O 是坐標(biāo)原點，若四邊形 平行四邊形，且四邊形 雙曲線 C 的離心率為（ ） A B 2 C 2 D 2 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè) M（ 0，由四邊形 平行四 邊形，四邊形 ，丨 = b，代入雙曲線方程，由離心率公式，即可求得雙曲線 C 的離心率 【解答】 解：雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）焦點在 x 軸上， 設(shè) M（ 0，由四邊形 平行四邊形， ， 四邊形 面積為 丨 c= 丨 = b， M（ ， b）， 代入雙曲線可得： =1，整理得： ， 由 e= ， 2，由 e 1，解得： e=2 ， 故選 D 【點評】 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考 查雙曲線的離心率公式，考查計算能力，屬于中檔題 12已知函數(shù) f（ x） = 6x 3，設(shè) p， q表示 p， q 二者中較大的一個函數(shù) g（ x） = ） x 2， x+3） 若 m 2，且 m， 2）， （ 0， + ），使得 f（ =g（ 立，則 m 的最小值為（ ） A 5 B 4 C 2 D 3 【考點】 函數(shù)的圖象 【分析】 求出 g（ x），作函數(shù) y=f（ x）的圖象，如圖所示， f（ x） =2 時，方程兩根分別為 5 和 1，即可得出結(jié)論 【解答】 解：由題意 ， g（ x） = ， g（ x） g（ 1） =2， f（ x） =（ x 3） 2+6 6， 作函數(shù) y=f（ x）的圖象，如圖所示， f（ x） =2 時，方程兩根分別為 5 和 1，則 m 的最小值為 5 故選 A 【點評】 本題主要考查了函數(shù)的等價轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，以及函數(shù)求值域的方法，屬中等題 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13如果實數(shù) x， y 滿足約束條件 ，則 z=3x+2y 的最大值為 7 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 聯(lián)立 ，解得 A（ 1， 2）， 化目標(biāo)函數(shù) z=3x+2y 為 y= ，由圖可知，當(dāng)直線 y= 過 A 時，直線在 y 軸上的截距最大， z 有最大值為 7 故答案為： 7 【點評】 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題 14在區(qū)間 1， 5上任取一個實數(shù) b，則曲線 f（ x） =2x2+點（ 1， f（ 1）處切線的傾斜角為鈍角的概率為 【考點】 幾何概型 【分析】 利用曲線 f（ x） =2x2+點（ 1， f（ 1）處切線的傾斜角為鈍角，求出 b 的范圍，以長度為測度，即可求出所求概率 【解答】 解： f（ x） =2x2+ f（ x） =34x+b， f（ 1） =b 1 0， b 1 由幾何概型，可得所求概率為 = 故答案為 【點評】 本題考查概率的計算，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題 15我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題： “今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤斬末一尺，重二斤問次一尺各重幾何？ ”意思是： “現(xiàn)有一根金杖，長 5 尺，一頭粗，一頭細(xì)在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在細(xì)的一端截下 1尺，重 2 斤；問依次每一尺各重多少斤？ ”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，其重量為 M，現(xiàn)將該金杖截成長度相等的 10 段，記第 i 段的重量為 i=1， 2， ，10），且 48M，則 i= 6 【考點】 等差數(shù)列的通項公式 【分析】 由題意知由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列，記為 設(shè)公差為 d，由條件和等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出 d 值，由等差數(shù)列的前 n 項和公式求出該金杖的總重量 M，代入已知的式子化簡求出 i 的 值 【解答】 解：由題意知由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列， 記為 設(shè)公差為 d， 則 ，解得 ， d= ， 所以該金杖的總重量 M= =15， 因為 48M，所以 48 +（ i 1） =25， 即 39+6i=75，解得 i=6， 故答案為： 6 【點評】 本題考查等差數(shù)列的通項公式、前 n 項和公式的實際應(yīng)用，以及方程思想，考查化簡、計算能力 16在正方體 ， ，點 E 在棱 ，點 F 在棱 平面 平面 ，則三棱錐 接球的表面積為 19 【考點】 球的體積和表面積 【分析】 根據(jù)平面 平面 到 E=1，再求出三棱錐 題得以解決 【解答】 解：當(dāng) E=1 時，可得 又 ， 平面 平面 三棱錐 接球的直徑為 = ， 其表面積為（ ） 2=19， 故答案為： 19 【點評】 本題主要考查了正方體和三棱錐的幾何體的性質(zhì)以及球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題 三、解答題（共 5 小 題，滿分 60 分） 17（ 12 分）（ 2017南寧一模）在 ，角 A， B， C 所對的邊分別為 a，b， c，且 （ 1）求 的值； （ 2）若角 C 為銳角， c= ， ，求 面積 【考點】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由 用余弦定理可得 =3簡即可得出 （ 2）由角 C 為銳角， ，可得 利用余弦定理可得=a2+2，與 a=2b 聯(lián)立解得 b， a，即可得出 【解答】 解：（ 1） =3為： a=2b，因此 =2 （ 2） 角 C 為銳角， ， = =a2+2，化為： 323，又 a=2b， 聯(lián)立解得 ， S = =2 【點評】 本題考查了余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 18（ 12 分）（ 2017南寧一模）某中學(xué)是走讀中學(xué)，為了讓學(xué)生更有效率利用下午放學(xué)后的時間，學(xué)校在本學(xué)期第一次 月考后設(shè)立了多間自習(xí)室，以便讓學(xué)生在自習(xí)室自主學(xué)習(xí)、完成作業(yè)，同時每天派老師輪流值班在本學(xué)期第二次月考后，高一某班數(shù)學(xué)老師統(tǒng)計了兩次考試該班數(shù)學(xué)成績優(yōu)良人數(shù)和非優(yōu)良人數(shù)，得到如下 2 2 列聯(lián)表： 非優(yōu)良 優(yōu)良 總計 未設(shè)立自習(xí)室 25 15 40 設(shè)立自習(xí)室 10 30 40 總計 35 45 80 （ 1）能否在在犯錯誤的概率不超過 前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效； （ 2）從該班第一次月考的數(shù)學(xué)優(yōu)良成績中和第二次月考的數(shù)學(xué)非優(yōu)良成績中，按分層抽樣隨機(jī)抽取 5 個成績，再從這 5 個成績中 隨機(jī)抽取 2 個，求這 2 個成績來自同一次月考的概率 下面的臨界值表供參考： P（ 參考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 【考點】 獨立性檢驗的應(yīng)用；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 （ 1）由 2 2 列聯(lián)表，計算 照臨界值表得出結(jié)論； （ 2）根據(jù)分層抽樣比例求出所抽取的 5 個成績， 利用列舉法計算基本事件 數(shù)、計算對應(yīng)的概率值 【解答】 解：（ 1）由 2 2 列聯(lián)表，計算 觀測值為 k= = 對照臨界值表，得出能在犯錯誤的概率不超過 前提下， 認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效； （ 2）根據(jù)分層抽樣原理， 從第一次月考數(shù)學(xué)優(yōu)良成績中抽取 5=3 個，記為 A、 B、 C； 從第二次月考數(shù)學(xué)優(yōu)良成績中抽取 5=2 個，記為 d、 e； 則從這 5 個成績中抽取 2 個，基本事件是 10 個， 其中抽取的 2 個成績均來自同一次月考的基本事件有 4 個， 故所求的概率為 P= = 【點評】 本題考查了獨立性檢驗與列舉法求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題 19（ 12 分）（ 2017南寧一模）如圖，在四棱錐 A ， 底面 D 60， （ 1）若 F 是 中點，求證： 平面 （ 2） M、 N 是棱 兩個三等分點，求證： 平面 【考點】 直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 中點 G，連接 明平面 平面 可證明： 平面 （ 2） M、 N 是棱 兩個三等分點，證明 可證明：平面 【解答】 證明：（ 1）取 中點 G，連接 F 是 中點， E， E， G 到直線 距離相等，則 ， 平面 平面 平面 平面 （ 2） 60， M、 N 是棱 兩 個三等分點， E， N， 0， 正三角形，即 0， 0， ， 0， 0， 平面 ， 平面 【點評】 本題考查面面平行、線面平行的判定，考查線面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題 20（ 12 分）（ 2017南寧一模）已知 c， 0）、 c、 0）分別 是橢圓 G：+ =1（ 0 b a 3）的左、右焦點，點 P（ 2， ）是橢圓 G 上一點，且| |a （ 1）求橢圓 G 的方程； （ 2）設(shè)直線 l 與橢圓 G 相交于 A、 B 兩點，若 ，其中 O 為坐標(biāo)原點，判斷 O 到直線 l 的距離是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）根據(jù)橢圓的定義，求得丨 = a=3|根據(jù)點到直線的距離公式，即可求得 c 的值，則求得 a 的值， b2=，即可求得橢圓方程； （ 2）當(dāng)直線 l x 軸，將直線 x=m 代入橢圓方 程，求得 A 和 B 點坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，即可求得 m 的值，求得 O 到直線 l 的距離；當(dāng)直線 斜率存在時，設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，點到直線的距離公式，即可求得 O 到直線 l 的距離為定值 【解答】 解：（ 1）由橢圓的定義可知： |2a由 | |a 丨 = a=3| 則 =3 ，化簡得： 5c+6=0， 由 c a 3， c=2， 則丨 =3 = a，則 a=2 ， b2=， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： ； （ 2）由題意可知，直線 l 不過原點，設(shè) A（ B（ 當(dāng)直線 l x 軸，直線 l 的方程 x=m，（ m 0），且 2 m 2 ， 則 x1=m， ， x2=m， ， 由 ， ，即 4 ） =0， 解得： m= ， 故直線 l 的方程為 x= ， 原點 O 到直線 l 的距離 d= ， 當(dāng)直線 斜率存在時，設(shè)直線 方程為 y=kx+n， 則 ，消去 y 整理得：（ 1+28=0， x1+ ， ， 則 n）（ n） =x1+， 由 ， ，故 + =0， 整理得： 388=0，即 3， 則原點 O 到直線 l 的距離 d= ， ） 2= = ， 將 代入 ，則 = ， d= ， 綜上可知：點 O 到直線 l 的距離為定值 【點評】 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題 21（ 12 分）（ 2017南寧一模）已知函數(shù) f（ x） =x ， m R，且 m 0 （ 1）討論函數(shù) f（ x）的單調(diào)性； （ 2）若 m= 1，求證：函數(shù) F（ x） =x 有且只有一個零點 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點的判定定理 【分析】 （ 1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分 m 0 和 m 0 兩種情況討論原函數(shù)的單調(diào)性； （ 2）把 m= 1 代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù) F（ x） = ，設(shè) h（ x） =1+用導(dǎo)數(shù)可得 h（ x） =1+（ 0， + ）上為增函數(shù)，結(jié)合 h（ 1）=0，可得 F（ 1） =0 且 F（ x）有唯一的零 點 1從而得到 0 x 1 時， F（ x） 0， x 1 時， F（ x） 0可得 F（ x）在（ 0， 1）上為減函數(shù)，在（ 1， + ）上為增函數(shù)，結(jié)合 F（ x）的最小值為 F（ 1） =0 可知函數(shù) F（ x） =x 有且只有一個零點 【解答】 （ 1）解： f（ x） =1 = ， x 0， 當(dāng) m 0 時， f（ x） 0，則 f（ x）在（ 0， + ）上單調(diào)遞增； 當(dāng) m 0 時，由 f（ x） 0，解得 x ，由 f（ x） 0，得 0 x f（ x）在區(qū)間（ 0， ）上單調(diào)遞減，在（ ， + ）上單調(diào)遞增； （ 2）證明：由已知， F（ x） =x ，則 F（ x） = ， 設(shè) h（ x） =1+ h（ x） =2x+ 0（ x 0）， 故 h（ x） =1+（ 0， + ）上為增函數(shù)， 又由于 h（ 1） =0，因此 F（ 1） =0