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文檔簡介
2017 年廣西南寧市高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科) 一、選擇題(共 12 小題,每小題 5 分,滿分 60 分) 1已知集合 A=x|( x 2)( x+6) 0, B=x| 3 x 4,則 A B 等于( ) A( 3, 2) B( 3, 2) C( 2, 4) D( 2, 4) 2復(fù)數(shù) z= 的虛部為( ) A B 1 C D 3某儀器廠從新生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取 40 個檢測,如圖是根據(jù)抽樣檢測后零件的質(zhì)量(單位:克)繪制的頻率分布直方圖,樣本數(shù)據(jù)分 8 組,分別為 80,82), 82, 84), 84, 86), 86, 88), 88, 90), 90, 92), 92, 94),94, 96,則樣本的中位數(shù)在( ) A第 3 組 B第 4 組 C第 5 組 D第 6 組 4已知函數(shù) f( x) =x )( 0)的最小正周期為 ,則函數(shù) f( x)的圖象( ) A可由函數(shù) g( x) =圖象向左平移 個單位而得 B可由函數(shù) g( x) =圖象向右平移 個單位而得 C可由函數(shù) g( x) =圖象向左平移 個單位而得 D可由函數(shù) g( x) =圖象向右平移 個單位而得 5已知 數(shù)列 足: = ,且 ,則 于( ) A B 23 C 12 D 11 6已知角 的終邊過點( 2 1, a),若 則實數(shù)a 等于( ) A B C D 7執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸入 k 的值為 3,則輸出 S 的值為( ) A 10 B 15 C 18 D 21 8已知拋物線 C: p 0)的焦點為 F,點 M( 2 )是拋物線 C 上一點,圓 M 與 y 軸相切且與線段 交于點 A,若 =2,則 p 等于( ) A 1 B 2 C 2 D 4 9已知非零向量 、 滿足 | |=| +2 |,且 與 的夾角的余弦值為 ,則等于( ) A B C D 2 10如圖是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為( ) A 12 B 15 C 18 D 21 11已知雙曲線 C: =1( a 0, b 0)的左焦點為 F( c, 0), M、 上, O 是坐標(biāo)原點,若四邊形 平行四邊形,且四邊形 雙曲線 C 的離心率為( ) A B 2 C 2 D 2 12已知函 數(shù) f( x) = 6x 3,設(shè) p, q表示 p, q 二者中較大的一個函數(shù) g( x) = ) x 2, x+3) 若 m 2,且 m, 2), ( 0, + ),使得 f( =g( 立,則 m 的最小值為( ) A 5 B 4 C 2 D 3 二、填空題(共 4 小題,每小題 5 分,滿分 20 分) 13如果實數(shù) x, y 滿足約束條件 ,則 z=3x+2y 的最大值為 14在區(qū)間 1, 5上任取一個實數(shù) b,則曲線 f( x) =2x2+點( 1, f( 1)處切 線的傾斜角為鈍角的概率為 15我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題: “今有金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤斬末一尺,重二斤問次一尺各重幾何? ”意思是: “現(xiàn)有一根金杖,長 5 尺,一頭粗,一頭細(xì)在粗的一端截下 1 尺,重 4 斤;在細(xì)的一端截下 1尺,重 2 斤;問依次每一尺各重多少斤? ”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的,其重量為 M,現(xiàn)將該金杖截成長度相等的 10 段,記第 i 段的重量為 i=1, 2, ,10),且 48M,則 i= 16在正方體 , ,點 E 在棱 ,點 F 在棱 平面 平面 ,則三棱錐 接球的表面積為 三、解答題(共 5 小題,滿分 60 分) 17( 12 分)在 ,角 A, B, C 所對的邊分別為 a, b, c,且 ( 1)求 的值; ( 2)若角 C 為銳角, c= , ,求 面積 18( 12 分)某中學(xué)是走讀中學(xué),為了讓學(xué)生更有效率利用下午放學(xué)后的時間,學(xué)校在本學(xué)期第一次月考后設(shè)立了多間自習(xí)室,以便讓學(xué)生在自習(xí)室自主學(xué)習(xí)、完成作業(yè), 同時每天派老師輪流值班在本學(xué)期第二次月考后,高一某班數(shù)學(xué)老師統(tǒng)計了兩次考試該班數(shù)學(xué)成績優(yōu)良人數(shù)和非優(yōu)良人數(shù),得到如下 2 2 列聯(lián)表: 非優(yōu)良 優(yōu)良 總計 未設(shè)立自習(xí)室 25 15 40 設(shè)立自習(xí)室 10 30 40 總計 35 45 80 ( 1)能否在在犯錯誤的概率不超過 前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效; ( 2)從該班第一次月考的數(shù)學(xué)優(yōu)良成績中和第二次月考的數(shù)學(xué)非優(yōu)良成績中,按分層抽樣隨機(jī)抽取 5 個成績,再從這 5 個成績中隨機(jī)抽取 2 個,求這 2 個成績來自同一次月考的概率 下面的臨界值 表供參考: P( 參考公式: ,其中 n=a+b+c+d) 19( 12 分)如圖,在四棱錐 A , 底面 60, ( 1)若 F 是 中點,求證: 平面 ( 2) M、 N 是棱 兩個三等分點,求證: 平面 20( 12 分)已知 c, 0)、 c、 0)分別是橢圓 G: + =1( 0 b a 3)的左、右焦點,點 P( 2, )是橢圓 G 上一點,且 | |a ( 1)求橢圓 G 的方程; ( 2)設(shè)直線 l 與橢圓 G 相交于 A、 B 兩點,若 ,其中 O 為坐標(biāo)原點,判斷 O 到直線 l 的距離是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由 21( 12 分)已知函數(shù) f( x) =x , m R,且 m 0 ( 1)討論函數(shù) f( x)的單調(diào)性; ( 2)若 m= 1,求證:函數(shù) F( x) =x 有且只有一個零點 請考生在第 22、 23 題中任選一題作 答,如果多做,按所做的第一題計分 .選修4標(biāo)系與參數(shù)方程 22( 10 分)已知曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 =4極點為原點,極軸為 直線 l 的參數(shù)方程為 ( t 為參數(shù)) ( 1)求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程與直線 l 的普通方程; ( 2)設(shè)曲線 C 與直線 l 相交于 P, Q 兩點,以 一條邊作曲線 C 的內(nèi)接矩形,求該矩形的面積 選修 4等式選講 23設(shè)實數(shù) x, y 滿足 x+ =1 ( 1)若 |7 y| 2x+3,求 x 的取值范圍; ( 2)若 x 0, y 0,求證: 2017 年廣西南寧市高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科) 參考答案與試題解析 一、選擇題(共 12 小題,每小題 5 分,滿分 60 分) 1已知集合 A=x|( x 2)( x+6) 0, B=x| 3 x 4,則 A B 等于( ) A( 3, 2) B( 3, 2) C( 2, 4) D( 2, 4) 【考點】 交集及其運算 【分析】 求出關(guān)于 A 的解集,從而求出 A 與 B 的交集 【解答】 解: A=x|( x 2)( x+6) 0=x|x 6 或 x 2, B=x| 3 x 4, A B=x|2 x 4, 故選: C 【點評】 此題考查了交集及其運算,熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵 2復(fù)數(shù) z= 的虛部為( ) A B 1 C D 【考點】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案 【解答】 解: z= = , 復(fù)數(shù) z= 的虛部為 故選: A 【點評】 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題 3某儀器廠從新生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取 40 個檢測,如圖是根據(jù)抽樣檢測后零件的質(zhì)量(單位:克)繪制的頻率分布直方圖,樣本數(shù)據(jù)分 8 組 ,分別為 80,82), 82, 84), 84, 86), 86, 88), 88, 90), 90, 92), 92, 94),94, 96,則樣本的中位數(shù)在( ) A第 3 組 B第 4 組 C第 5 組 D第 6 組 【考點】 頻率分布直方圖 【分析】 根據(jù)頻率分布直方圖求出前 4 組的頻數(shù)為 22,且第四組的頻數(shù) 8,即可得到答案 【解答】 解:由圖可得,前第四組的頻率為( 2= 則其頻數(shù)為 40 2,且第四組的頻數(shù)為 40 2=8, 故中位數(shù)落 在第 4 組, 故選: B 【點評】 本題是對頻率、頻數(shù)靈活運用的綜合考查頻率、頻數(shù)的關(guān)系:頻率 =頻數(shù) 數(shù)據(jù)總和,以及中位數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題 4已知函數(shù) f( x) =x )( 0)的最小正周期為 ,則函數(shù) f( x)的圖象( ) A可由函數(shù) g( x) =圖象向左平移 個單位而得 B可由函數(shù) g( x) =圖象向右平移 個單位而得 C可由函數(shù) g( x) =圖象向左平移 個單位而得 D可由函數(shù) g( x) =圖象向右平移 個單位而得 【考點】 余弦函數(shù)的圖象 【分 析】 根據(jù)函數(shù) f( x)的最小正周期為 ,求出解析式,在利用三角函數(shù)的平移變換考查也選項即可 【解答】 解:函數(shù) f( x) =x )( 0)的最小正周期為 , 即 T= , =2, 則 f( x) =2x )的圖象可有函數(shù) g( x) =圖象向右平移 個單位而得 故選: D 【點評】 本題考查了三角函數(shù)的解析式的求法和三角函數(shù)的平移變換的運用屬于基礎(chǔ)題 5已知數(shù)列 足: = ,且 ,則 于( ) A B 23 C 12 D 11 【考點】 等比數(shù)列的通項 公式 【分析】 數(shù)列 足: = ,可得 +1=2( ),利用等比數(shù)列的通項公式即可得出 【解答】 解: 數(shù)列 足: = , +1=2( ),即數(shù)列 是等比數(shù)列,公比為 2 則 =22( ) =12,解得 1 故選: D 【點評】 本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題 6已知角 的終邊過點( 2 1, a),若 則實數(shù)a 等于( ) A B C D 【考點】 任意角的三角函數(shù)的定義 【分析】 利用二倍角公式化簡,再利用正弦函數(shù)的定義,建立方程,即可得出結(jié)論 【解答】 解: 2 1= , 2 , 角 的終邊過點( 2 1, a), = , a= , 故選 B 【點評】 本題考查正弦函數(shù)的定義,考查二倍角公式,屬于中檔題 7執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸入 k 的值為 3,則輸出 S 的值為( ) A 10 B 15 C 18 D 21 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的 n, S 的值,當(dāng) n=5, S=15時,不滿足條件 S 5,退出循環(huán),輸出 S 的值為 15,即可得解 【解答】 解:模擬程序的運行,可得 k=3, n=1, S=1 滿足條件 S 行循環(huán)體, n=2, S=3 滿足條件 S 行循環(huán)體, n=3, S=6 滿足條件 S 行循環(huán)體, n=4, S=10 滿足條件 S 行循環(huán)體, n=5, S=15 此時,不滿足條件 S 5,退出循環(huán),輸出 S 的值為 15 故選: B 【點評】 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖, 正確判斷退出循環(huán)的條件是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題 8已知拋物線 C: p 0)的焦點為 F,點 M( 2 )是拋物線 C 上一點,圓 M 與 y 軸相切且與線段 交于點 A,若 =2,則 p 等于( ) A 1 B 2 C 2 D 4 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè) M 到準(zhǔn)線的距離為 |則 |利用 =2,得 x0=p,即可得出結(jié)論 【解答】 解:設(shè) M 到準(zhǔn)線的距離為 |則 | =2, x0=p, 2, p 0, p=2 故選 B 【點評 】 本題考查拋物線定義的運用,考查學(xué)生的計算能力,比較基礎(chǔ) 9已知非零向量 、 滿足 | |=| +2 |,且 與 的夾角的余弦值為 ,則等于( ) A B C D 2 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 由向量的平方即為模的平方可得 = 2,再由向量的夾角公式:, = ,化簡即可得到所求值 【解答】 解:非零向量 、 滿足 | |=| +2 |, 即有( ) 2=( +2 ) 2, 即為 2+ 2 2 = 2+4 +4 2, 化為 = 2, 由 與 的夾角的余弦值為 , 可得 , = = = , 化簡可得 =2 故選: D 【點評】 本題考查向量的數(shù)量積的夾角公式,以及向量的平方即為模的平方,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題 10如圖是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為( ) A 12 B 15 C 18 D 21 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積 【分析】 由已知中的三視圖可得:該幾何體是一個長寬高分別為 4, 3, 3 的長方體,切去一半得到的,進(jìn)而得到答案 【解答】 解:由已知中的三視圖可得:該幾何體是一個長寬高分別為 4, 3, 3的長方體, 切去一半得到的,其直觀圖如下所示: 其體積為: 4 3 3=18, 故選: C 【點評】 本題考查的知識點是棱錐的體積與表面積,簡單幾何體的三視圖,難度中檔 11已知雙曲線 C: =1( a 0, b 0)的左焦點為 F( c, 0), M、 上, O 是坐標(biāo)原點,若四邊形 平行四邊形,且四邊形 雙曲線 C 的離心率為( ) A B 2 C 2 D 2 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè) M( 0,由四邊形 平行四 邊形,四邊形 ,丨 = b,代入雙曲線方程,由離心率公式,即可求得雙曲線 C 的離心率 【解答】 解:雙曲線 C: =1( a 0, b 0)焦點在 x 軸上, 設(shè) M( 0,由四邊形 平行四邊形, , 四邊形 面積為 丨 c= 丨 = b, M( , b), 代入雙曲線可得: =1,整理得: , 由 e= , 2,由 e 1,解得: e=2 , 故選 D 【點評】 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考 查雙曲線的離心率公式,考查計算能力,屬于中檔題 12已知函數(shù) f( x) = 6x 3,設(shè) p, q表示 p, q 二者中較大的一個函數(shù) g( x) = ) x 2, x+3) 若 m 2,且 m, 2), ( 0, + ),使得 f( =g( 立,則 m 的最小值為( ) A 5 B 4 C 2 D 3 【考點】 函數(shù)的圖象 【分析】 求出 g( x),作函數(shù) y=f( x)的圖象,如圖所示, f( x) =2 時,方程兩根分別為 5 和 1,即可得出結(jié)論 【解答】 解:由題意 , g( x) = , g( x) g( 1) =2, f( x) =( x 3) 2+6 6, 作函數(shù) y=f( x)的圖象,如圖所示, f( x) =2 時,方程兩根分別為 5 和 1,則 m 的最小值為 5 故選 A 【點評】 本題主要考查了函數(shù)的等價轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,以及函數(shù)求值域的方法,屬中等題 二、填空題(共 4 小題,每小題 5 分,滿分 20 分) 13如果實數(shù) x, y 滿足約束條件 ,則 z=3x+2y 的最大值為 7 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案 【解答】 解:由約束條件 作出可行域如圖, 聯(lián)立 ,解得 A( 1, 2), 化目標(biāo)函數(shù) z=3x+2y 為 y= ,由圖可知,當(dāng)直線 y= 過 A 時,直線在 y 軸上的截距最大, z 有最大值為 7 故答案為: 7 【點評】 本題考查簡單的線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題 14在區(qū)間 1, 5上任取一個實數(shù) b,則曲線 f( x) =2x2+點( 1, f( 1)處切線的傾斜角為鈍角的概率為 【考點】 幾何概型 【分析】 利用曲線 f( x) =2x2+點( 1, f( 1)處切線的傾斜角為鈍角,求出 b 的范圍,以長度為測度,即可求出所求概率 【解答】 解: f( x) =2x2+ f( x) =34x+b, f( 1) =b 1 0, b 1 由幾何概型,可得所求概率為 = 故答案為 【點評】 本題考查概率的計算,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題 15我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題: “今有金箠,長五尺,斬本一尺,重四斤斬末一尺,重二斤問次一尺各重幾何? ”意思是: “現(xiàn)有一根金杖,長 5 尺,一頭粗,一頭細(xì)在粗的一端截下 1 尺,重 4 斤;在細(xì)的一端截下 1尺,重 2 斤;問依次每一尺各重多少斤? ”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的,其重量為 M,現(xiàn)將該金杖截成長度相等的 10 段,記第 i 段的重量為 i=1, 2, ,10),且 48M,則 i= 6 【考點】 等差數(shù)列的通項公式 【分析】 由題意知由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列,記為 設(shè)公差為 d,由條件和等差數(shù)列的通項公式列出方程組,求出 d 值,由等差數(shù)列的前 n 項和公式求出該金杖的總重量 M,代入已知的式子化簡求出 i 的 值 【解答】 解:由題意知由細(xì)到粗每段的重量成等差數(shù)列, 記為 設(shè)公差為 d, 則 ,解得 , d= , 所以該金杖的總重量 M= =15, 因為 48M,所以 48 +( i 1) =25, 即 39+6i=75,解得 i=6, 故答案為: 6 【點評】 本題考查等差數(shù)列的通項公式、前 n 項和公式的實際應(yīng)用,以及方程思想,考查化簡、計算能力 16在正方體 , ,點 E 在棱 ,點 F 在棱 平面 平面 ,則三棱錐 接球的表面積為 19 【考點】 球的體積和表面積 【分析】 根據(jù)平面 平面 到 E=1,再求出三棱錐 題得以解決 【解答】 解:當(dāng) E=1 時,可得 又 , 平面 平面 三棱錐 接球的直徑為 = , 其表面積為( ) 2=19, 故答案為: 19 【點評】 本題主要考查了正方體和三棱錐的幾何體的性質(zhì)以及球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題 三、解答題(共 5 小 題,滿分 60 分) 17( 12 分)( 2017南寧一模)在 ,角 A, B, C 所對的邊分別為 a,b, c,且 ( 1)求 的值; ( 2)若角 C 為銳角, c= , ,求 面積 【考點】 余弦定理;正弦定理 【分析】 ( 1)由 用余弦定理可得 =3簡即可得出 ( 2)由角 C 為銳角, ,可得 利用余弦定理可得=a2+2,與 a=2b 聯(lián)立解得 b, a,即可得出 【解答】 解:( 1) =3為: a=2b,因此 =2 ( 2) 角 C 為銳角, , = =a2+2,化為: 323,又 a=2b, 聯(lián)立解得 , S = =2 【點評】 本題考查了余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形面積計算公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題 18( 12 分)( 2017南寧一模)某中學(xué)是走讀中學(xué),為了讓學(xué)生更有效率利用下午放學(xué)后的時間,學(xué)校在本學(xué)期第一次 月考后設(shè)立了多間自習(xí)室,以便讓學(xué)生在自習(xí)室自主學(xué)習(xí)、完成作業(yè),同時每天派老師輪流值班在本學(xué)期第二次月考后,高一某班數(shù)學(xué)老師統(tǒng)計了兩次考試該班數(shù)學(xué)成績優(yōu)良人數(shù)和非優(yōu)良人數(shù),得到如下 2 2 列聯(lián)表: 非優(yōu)良 優(yōu)良 總計 未設(shè)立自習(xí)室 25 15 40 設(shè)立自習(xí)室 10 30 40 總計 35 45 80 ( 1)能否在在犯錯誤的概率不超過 前提下認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效; ( 2)從該班第一次月考的數(shù)學(xué)優(yōu)良成績中和第二次月考的數(shù)學(xué)非優(yōu)良成績中,按分層抽樣隨機(jī)抽取 5 個成績,再從這 5 個成績中 隨機(jī)抽取 2 個,求這 2 個成績來自同一次月考的概率 下面的臨界值表供參考: P( 參考公式: ,其中 n=a+b+c+d) 【考點】 獨立性檢驗的應(yīng)用;列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 ( 1)由 2 2 列聯(lián)表,計算 照臨界值表得出結(jié)論; ( 2)根據(jù)分層抽樣比例求出所抽取的 5 個成績, 利用列舉法計算基本事件 數(shù)、計算對應(yīng)的概率值 【解答】 解:( 1)由 2 2 列聯(lián)表,計算 觀測值為 k= = 對照臨界值表,得出能在犯錯誤的概率不超過 前提下, 認(rèn)為設(shè)立自習(xí)室對提高學(xué)生成績有效; ( 2)根據(jù)分層抽樣原理, 從第一次月考數(shù)學(xué)優(yōu)良成績中抽取 5=3 個,記為 A、 B、 C; 從第二次月考數(shù)學(xué)優(yōu)良成績中抽取 5=2 個,記為 d、 e; 則從這 5 個成績中抽取 2 個,基本事件是 10 個, 其中抽取的 2 個成績均來自同一次月考的基本事件有 4 個, 故所求的概率為 P= = 【點評】 本題考查了獨立性檢驗與列舉法求古典概型的概率問題,是基礎(chǔ)題 19( 12 分)( 2017南寧一模)如圖,在四棱錐 A , 底面 D 60, ( 1)若 F 是 中點,求證: 平面 ( 2) M、 N 是棱 兩個三等分點,求證: 平面 【考點】 直線與平面垂直的判定;直線與平面平行的判定 【分析】 ( 1)取 中點 G,連接 明平面 平面 可證明: 平面 ( 2) M、 N 是棱 兩個三等分點,證明 可證明:平面 【解答】 證明:( 1)取 中點 G,連接 F 是 中點, E, E, G 到直線 距離相等,則 , 平面 平面 平面 平面 ( 2) 60, M、 N 是棱 兩 個三等分點, E, N, 0, 正三角形,即 0, 0, , 0, 0, 平面 , 平面 【點評】 本題考查面面平行、線面平行的判定,考查線面垂直的判定,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題 20( 12 分)( 2017南寧一模)已知 c, 0)、 c、 0)分別 是橢圓 G:+ =1( 0 b a 3)的左、右焦點,點 P( 2, )是橢圓 G 上一點,且| |a ( 1)求橢圓 G 的方程; ( 2)設(shè)直線 l 與橢圓 G 相交于 A、 B 兩點,若 ,其中 O 為坐標(biāo)原點,判斷 O 到直線 l 的距離是否為定值?若是,求出該定值,若不是,請說明理由 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 ( 1)根據(jù)橢圓的定義,求得丨 = a=3|根據(jù)點到直線的距離公式,即可求得 c 的值,則求得 a 的值, b2=,即可求得橢圓方程; ( 2)當(dāng)直線 l x 軸,將直線 x=m 代入橢圓方 程,求得 A 和 B 點坐標(biāo),由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,即可求得 m 的值,求得 O 到直線 l 的距離;當(dāng)直線 斜率存在時,設(shè)直線方程,代入橢圓方程,由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,點到直線的距離公式,即可求得 O 到直線 l 的距離為定值 【解答】 解:( 1)由橢圓的定義可知: |2a由 | |a 丨 = a=3| 則 =3 ,化簡得: 5c+6=0, 由 c a 3, c=2, 則丨 =3 = a,則 a=2 , b2=, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: ; ( 2)由題意可知,直線 l 不過原點,設(shè) A( B( 當(dāng)直線 l x 軸,直線 l 的方程 x=m,( m 0),且 2 m 2 , 則 x1=m, , x2=m, , 由 , ,即 4 ) =0, 解得: m= , 故直線 l 的方程為 x= , 原點 O 到直線 l 的距離 d= , 當(dāng)直線 斜率存在時,設(shè)直線 方程為 y=kx+n, 則 ,消去 y 整理得:( 1+28=0, x1+ , , 則 n)( n) =x1+, 由 , ,故 + =0, 整理得: 388=0,即 3, 則原點 O 到直線 l 的距離 d= , ) 2= = , 將 代入 ,則 = , d= , 綜上可知:點 O 到直線 l 的距離為定值 【點評】 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算,點到直線的距離公式,考查計算能力,屬于中檔題 21( 12 分)( 2017南寧一模)已知函數(shù) f( x) =x , m R,且 m 0 ( 1)討論函數(shù) f( x)的單調(diào)性; ( 2)若 m= 1,求證:函數(shù) F( x) =x 有且只有一個零點 【考點】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;函數(shù)零點的判定定理 【分析】 ( 1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),然后分 m 0 和 m 0 兩種情況討論原函數(shù)的單調(diào)性; ( 2)把 m= 1 代入函數(shù)解析式,求出導(dǎo)函數(shù) F( x) = ,設(shè) h( x) =1+用導(dǎo)數(shù)可得 h( x) =1+( 0, + )上為增函數(shù),結(jié)合 h( 1)=0,可得 F( 1) =0 且 F( x)有唯一的零 點 1從而得到 0 x 1 時, F( x) 0, x 1 時, F( x) 0可得 F( x)在( 0, 1)上為減函數(shù),在( 1, + )上為增函數(shù),結(jié)合 F( x)的最小值為 F( 1) =0 可知函數(shù) F( x) =x 有且只有一個零點 【解答】 ( 1)解: f( x) =1 = , x 0, 當(dāng) m 0 時, f( x) 0,則 f( x)在( 0, + )上單調(diào)遞增; 當(dāng) m 0 時,由 f( x) 0,解得 x ,由 f( x) 0,得 0 x f( x)在區(qū)間( 0, )上單調(diào)遞減,在( , + )上單調(diào)遞增; ( 2)證明:由已知, F( x) =x ,則 F( x) = , 設(shè) h( x) =1+ h( x) =2x+ 0( x 0), 故 h( x) =1+( 0, + )上為增函數(shù), 又由于 h( 1) =0,因此 F( 1) =0
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