2017年湖北省襄陽(yáng)高考第三次模擬數(shù)學(xué)試卷（理）含答案解析

2016年湖北省襄陽(yáng)高 考 第三次模擬數(shù)學(xué)試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分 且只有一項(xiàng)符合題目要求 . 1計(jì)算 +（ 2 i） 2 等于（ ） A 4 5i B 3 4i C 5 4i D 4 3i 2已知命題 p： x R， 1，則 p 是（ ） A x R， 1 B x R， 1 C x R， 1 D x R， 1 3若 ） ） m，且 為第三 象限角，則 值為（ ） A B C D 4已知 等差數(shù)列， 0，其前 10 項(xiàng)和 0，則其公差 d=（ ） A B C D 5已知直線 m、 l 與平面 、 、 滿足 =l， l ， m ， m ，則下列命題一定正確的是（ ） A 且 l m B 且 m C m 且 l m D 且 6海面上有 A， B， C 三個(gè)燈塔， |10n A 望 C 和 B 成 60視角，從B 望 C 和 A 成 75視角，則 |（ ） n n 示海里， 1n 582m） A 10 B C 5 D 5 7曲線 y= 在點(diǎn)（ 4， 的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（ ） A B 4 2 已知點(diǎn) P 是圓 x2+ 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) A， B， C 是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，且 =0，則 | |的最小值為（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 9已知函數(shù) f（ x） =（ 2 a）（ x 1） 2g（ x） =x（ a R， e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若對(duì)任意給定的 （ 0， e，在（ 0， e上總存在兩個(gè)不同的 i=1，2），使得 f（ =g（ 立，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， B（ ， C（ ， 2） D ， ） 10設(shè) 別為雙曲線 的左右頂點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn) M 使得兩直線斜率 ，則雙曲線 C 的離心率的取值范圍為（ ） A B C D（ 0， 3） 11設(shè)正實(shí)數(shù) x， y， z 滿足 3z=0則當(dāng) 取得最大值時(shí)， 的最大值為（ ） A 0 B 1 C D 3 12已知函數(shù) f（ x） = ） | |，則使得 f（ x+1） f（ 2x 1）的 ） A（ 0， 2） B（ ， 0） C（ ， 0） （ 2， + ） D（ 2， + ） 二填空題：（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 z=x+a 1）的最大值為 3，則實(shí)數(shù) a= 14定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =f（ 2 x），當(dāng) x 1 時(shí)，有 x） f（ x）成立；若 1 m 2， a=f（ 2m）， b=f（ 2）， c=f（ 則 a， b， c 大小關(guān)系為 15已知拋物線 C： x 與點(diǎn) M（ 1， 2），過(guò) C 的焦點(diǎn)，且斜率為 k 的直線與C 交于 A， B 兩點(diǎn)，若 =0，則 k= 16大學(xué)生村官王善良落實(shí)政府 “精準(zhǔn)扶貧 ”，幫助貧困戶張三用 9 萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一部節(jié)能環(huán)保汽車(chē)，用于出租，假設(shè)第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用 2 萬(wàn)元，從第二年起，每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加 2 萬(wàn)元，該車(chē)每年的運(yùn)營(yíng)收入均為 11 萬(wàn)元，若該車(chē)使用了 n（ n N*）年后，年平均盈利額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則n 等于 三解答題：（本大題共 5 小題，請(qǐng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明和解答過(guò)程，共 70 分） 17設(shè)數(shù)列 足 ， a2+4，且對(duì)任意 n N*，函數(shù) f（ x） = +an）x 滿足 f（ 1） =0 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè) ，記數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 證 18如圖，某廣場(chǎng)中間有一塊邊長(zhǎng)為 2 百米的菱形狀綠化區(qū) 中 百米的扇形， 管理部門(mén)欲在該地從 M 到 D 修建一條小路：在弧 上選一點(diǎn) P（異于 M、 N 兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn) P 修建與 行的小路 ：點(diǎn) P 選擇在何處時(shí)，才能使得修建的小路 與 總長(zhǎng)最小？并說(shuō)明理由 19如圖，在三棱錐 P ，平面 平面 D，E 分別為 點(diǎn) （ ）求證： 平面 （ ）求證： 平面 （ ）試問(wèn)在線段 是否存在點(diǎn) F，使得過(guò)三點(diǎn) D， E， F 的平面內(nèi)的任一條直線都與平面 行？若存在，指出點(diǎn) F 的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 20橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為 離心率為 ，點(diǎn) P 為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)， 切圓面積的最大值為 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為 右焦點(diǎn) 直線 l 與橢圓相交于 A， B 兩點(diǎn)，連結(jié) 延長(zhǎng)交直線 x=4 分別于 P， Q 兩點(diǎn)，以 直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由 21已知函數(shù) f（ x） =1+ 中 0 m 1 （ 1）當(dāng) m=1 時(shí)，求證： 1 x 0 時(shí)， f（ x） ； （ 2）試討論函數(shù) y=f（ x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 22已知圓 E 的極坐標(biāo)方程為 =4極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，取相同單位長(zhǎng)度（其中（ ， ）， 0， 0， 2） （ 1）直線 l 過(guò)原點(diǎn)，且它的傾斜角 = ，求 l 與圓 E 的交點(diǎn) A 的極坐標(biāo)（點(diǎn) （ 2）直線 m 過(guò)線段 點(diǎn) M，且直線 m 交圓 E 于 B、 C 兩點(diǎn)，求 | |的最大值 選修 4等式選講 23已知 f（ x） =|x 1|+|x+a|， g（ a） =a 2 （ 1）若 a=3，解關(guān)于 x 的不等式 f（ x） g（ a） +2； （ 2）當(dāng) x a， 1時(shí)恒有 f（ x） g（ a），求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 2016年湖北省襄陽(yáng)高三第三次模擬數(shù)學(xué)試卷（理科） 參考答案 與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分 且只有一項(xiàng)符合題目要求 . 1計(jì)算 +（ 2 i） 2 等于（ ） A 4 5i B 3 4i C 5 4i D 4 3i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算 【分析】 同乘分母共軛復(fù)數(shù)，（ 2 i） 2 去括號(hào)，化簡(jiǎn)即可 【解答】 解： +（ 2 i） 2 = i（ 1+i） +4 1 4i =4 5i， 故選： A 2已知命題 p： x R， 1，則 p 是（ ） A x R， 1 B x R， 1 C x R， 1 D x R， 1 【考點(diǎn)】 命題的否定 【分析】 根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題進(jìn)行判斷即可 【解答】 解：命題是全稱命題，則命題的否定是 x R， 1， 故選： D 3若 ） ） m，且 為第三象限角，則 值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 兩角和與差的正弦函數(shù)；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用 【分析】 由兩角和與差的三角函數(shù)公式可得 m，結(jié)合角 的象限，再由同角三角函數(shù)的 基本關(guān)系可得 【解答】 解： ） ） m， ） = m，即 m， 又 為第三象限角， 0， 由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得： = 故選 B 4已知 等差數(shù)列， 0，其前 10 項(xiàng)和 0，則其公差 d=（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和公式，結(jié)合已知條件列出關(guān)于 a1，d 的方程組，解方程即可 【解答】 解：設(shè) 公差為 d，首項(xiàng)為 題意得 ，解得 ， 故選 D 5已知直線 m、 l 與平面 、 、 滿足 =l， l ， m ， m ，則下列命題一定正確的是（ ） A 且 l m B 且 m C m 且 l m D 且 【考點(diǎn)】 平面的基本性質(zhì)及推論 【分析】 由 m ， m ，知 ，由 =l，知 l ，故 l m 【解答】 解： m ， m ， ， =l， l ， l m， 故 A 一定正確 故選 A 6海面上有 A， B， C 三個(gè)燈塔， |10n A 望 C 和 B 成 60視角，從B 望 C 和 A 成 75視角，則 |（ ） n n 示海里， 1n 582m） A 10 B C 5 D 5 【考點(diǎn)】 解三角形的實(shí)際應(yīng)用 【分析】 ， |10n A=60， B=75， C=45，利用正弦定理，即可求得結(jié)論 【解答】 解：由題意， ， |10n A=60， B=75， C=45 由正弦定理可得 = ， |5 n 故選： D 7曲線 y= 在點(diǎn)（ 4， 的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（ ） A B 4 2 考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 利用導(dǎo)數(shù)求曲線上點(diǎn)切線方程，求直線與 x 軸，與 y 軸的交點(diǎn)，然后求切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積 【解答】 解： 曲線 y= ， y= ，切線過(guò)點(diǎn)（ 4， f（ x） |x=4= 切線方程為： y x 4）， 令 y=0，得 x=2，與 x 軸的交點(diǎn)為：（ 2， 0）， 令 x=0， y= y 軸的交點(diǎn)為 ：（ 0， 曲線 y= 在點(diǎn)（ 4， 的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積 s= 2 | 故選 D 8已知點(diǎn) P 是圓 x2+ 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) A， B， C 是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，且 =0，則 | |的最小值為（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；直線與圓的位置關(guān)系 【分析】 由題意畫(huà)出圖形，把 用向量 與 表示，然后利用向量模的運(yùn)算性質(zhì)求得 | |的最小值 【解答】 解： =0 0， 接圓直徑， 如圖，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為 O， 則 = = ， P 是圓 x2+ 上的動(dòng)點(diǎn)， ， | |= 當(dāng) 與 共線時(shí)，取得最小值 5 故選： B 9已知函數(shù) f（ x） =（ 2 a）（ x 1） 2g（ x） =x（ a R， e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若對(duì)任意給定的 （ 0， e，在（ 0， e上總存在兩個(gè)不同的 i=1，2），使得 f（ =g（ 立，則 a 的取值范圍是（ ） A（ ， B（ ， C（ ， 2） D ， ） 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函 數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 根據(jù)若對(duì)任意給定的 （ 0， e，在區(qū)間（ 0， e上總存在兩個(gè)不同的i=1， 2），使得 f（ =g（ 立，得到函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 0， e上不單調(diào)，從而求得 a 的取值范圍 【解答】 解： g（ x） =（ 1 x） x， g（ x）在（ 0， 1）上單調(diào)遞增，在（ 1， e上單調(diào)遞減， 又因?yàn)?g（ 0） =0， g（ 1） =1， g（ e） =e 0， g（ x）在（ 0， e上的值域?yàn)椋?0， 1 ， 當(dāng) 時(shí)， f（ x） =0， f（ x）在 處取得最小值 ， 由題 意知， f（ x）在（ 0， e上不單調(diào)，所以 ，解得 ， 所以對(duì)任意給定的 （ 0， e，在（ 0， e上總存在兩個(gè)不同的 i=1， 2），使得 f（ =g（ 立， 當(dāng)且僅當(dāng) a 滿足條件 且 f（ e） 1 因?yàn)?f（ 1） =0，所以 恒成立，由 f（ e） 1 解得 綜上所述， a 的取值范圍是 故選： A 10設(shè) 別為雙曲線 的左右頂點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn) M 使得兩直線斜率 ，則雙曲線 C 的離心率的取值范圍為（ ） A B C D（ 0， 3） 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 由題意可 得 a， 0）， a， 0），設(shè) M（ m， n），代入雙曲線的方程，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理可得 2 a， b， c 的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求范圍 【解答】 解：由題意可得 a， 0）， a， 0）， 設(shè) M（ m， n），可得 =1， 即有 = ， 由題意 ， 即為 2， 即有 2，即 2 2 3 c a，即有 e= ， 由 e 1，可得 1 e 故選： B 11設(shè)正實(shí)數(shù) x， y， z 滿足 3z=0則當(dāng) 取得最大值時(shí)， 的最大值為（ ） A 0 B 1 C D 3 【考點(diǎn)】 基本不等式 【分析】 依題意，當(dāng) 取得最大值時(shí) x=2y，代入所求關(guān)系式 f（ y） = + ，利用配方法即可求得其最大值 【解答】 解： 3z=0， z=3 x， y， z 均為正實(shí)數(shù)， = = =1（當(dāng)且僅當(dāng) x=2y 時(shí)取 “=”）， =1，此時(shí)， x=2y z=3 2y） 2 3 2y y+4 + = + = +1 1，當(dāng)且僅當(dāng) y=1 時(shí)取得 “=”，滿足題意 的最大值為 1 故選 B 12已知函數(shù) f（ x） = ） | |，則使得 f（ x+1） f（ 2x 1）的 ） A（ 0， 2） B（ ， 0） C（ ， 0） （ 2， + ） D（ 2， + ） 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 【分析】 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 |x+1| |2x 1|，解出即可 【解答】 解： x 0 時(shí)， f（ x） = ） 是減函數(shù)， x 0 時(shí)， f（ x） = ） + 是增函數(shù)， 且 f（ x） =f（ x）是偶 函數(shù)， 若 f（ x+1） f（ 2x 1）， 則 |x+1| |2x 1|，解得： 0 x 2， 故選： A 二填空題：（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 z=x+a 1）的最大值為 3，則實(shí)數(shù) a= 2 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域，求出角點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出 z=a+1=3，解出即可 【解答】 解：畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示： ， 由 ，解得 A（ 1， 1）， a 1， 1 0， z=x+化為： y= x+ ， 結(jié)合圖象直線過(guò) A（ 1， 1）時(shí)， z 最大， z 的最大值是 z=a+1=3，解得： a=2， 故答案為： 2 14定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =f（ 2 x），當(dāng) x 1 時(shí)，有 x） f（ x）成立；若 1 m 2， a=f（ 2m）， b=f（ 2）， c=f（ 則 a， b， c 大小關(guān)系為 a b c 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 【分析】 函數(shù) f（ x）在定義域 R 內(nèi)可導(dǎo)， f（ x） =f（ 2 x），知函數(shù) f（ x）的圖象關(guān)于 x=1 對(duì)稱再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可 【解答】 解： f（ x） =f（ 2 x）， 令 x=x+1，則 f（ x+1） =f2（ x+1） =f（ x+1）， 函數(shù) f（ x）的圖象關(guān)于 x=1 對(duì)稱； 令 g（ x） = ，則 g（ x） = ， 當(dāng) x 1 時(shí)， x） f（ x）成立， 即 x） f（ x） 0 成立； x 1 時(shí)， g（ x） 0， g（ x）遞增， 1 m 2， 2 2m 4， 0 1， a b c， 故答案為： a b c 15已知拋物線 C： x 與點(diǎn) M（ 1， 2），過(guò) C 的焦點(diǎn)，且斜率為 k 的直線與C 交于 A， B 兩點(diǎn)，若 =0，則 k= 1 【考點(diǎn)】 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 設(shè)直線 率為 k，得出 方程，聯(lián)立方程組，由根與系數(shù)的關(guān)系得出 A， B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，令 1 列方程解出 k 【解答】 解：拋物線的焦點(diǎn)為 F（ 1， 0）， 直線 方程為 y=k 聯(lián)立方程組 ，消元得： 2） x+， 設(shè) A（ B（ 則 x1+=2+ y1+y2=k（ x1+ 2k= ， 4 =0， 1 即 = 1， 2（ y1+4+x1+=0， 4 +4+1+2+ +1=0，解得 k=1 故答案為： 1 16大學(xué)生村官王善良落實(shí)政府 “精準(zhǔn)扶貧 ”，幫助貧困戶張三用 9 萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一部節(jié)能環(huán)保汽車(chē)，用于出租，假設(shè)第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用 2 萬(wàn)元，從第二年起，每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加 2 萬(wàn)元，該車(chē)每年的運(yùn)營(yíng)收入均為 11 萬(wàn)元，若該車(chē)使用了 n（ n N*）年后，年平均盈利額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則n 等于 3 【考點(diǎn)】 函數(shù)解析式的求解及常用方法 【分析】 根據(jù)題意建立等差數(shù)列模型， 利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和公式即可得到結(jié)論 【解答】 解：設(shè)該汽車(chē)第 n 年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)為 元，則數(shù)列 以 2 為首項(xiàng)，2 為公差的等差數(shù)列，則 n， 則該汽車(chē)使用了 n 年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)用總和為 Tn=n2+n， 設(shè)第 n 年的盈利總額為 1n（ n2+n） 9= 0n 9， 年平均盈利額 P=10（ n+ ） 當(dāng) n=3 時(shí)，年平均盈利額取得最大值 4， 故答案為： 3 三解答題：（本大題共 5 小題，請(qǐng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明和解答過(guò)程，共 70 分） 17設(shè)數(shù)列 足 ， a2+4，且對(duì)任意 n N*，函數(shù) f（ x） = +an）x 滿足 f（ 1） =0 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）設(shè) ，記數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 證 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由條件可得 2=+等差數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列 等差數(shù)列，設(shè)公差為 d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得 d=2，即可得到通項(xiàng)公式； （ 2）由 = （ ），運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和，由不等式的性質(zhì)，即可得證 【解答】 （ 1）解：函數(shù) f（ x） = +x 的導(dǎo)數(shù)為 f（ x） =2x（ + 由 f（ 1） =0，可得 2=+ 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得數(shù)列 等差數(shù)列，設(shè)公差為 d， 則 ， a2+d=14， 解得 d=2， 即有 an=（ n 1） =2n （ 2）證明： = = （ ）， 則 （ 1 + + ） = （ 1 ） 則 18如圖，某廣場(chǎng)中間有一塊邊長(zhǎng)為 2 百米的菱形狀綠化區(qū) 中 百米 的扇形， 管理部門(mén)欲在該地從 M 到 D 修建一條小路：在弧 上選一點(diǎn) P（異于 M、 N 兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn) P 修建與 行的小路 ：點(diǎn) P 選擇在何處時(shí)，才能使得修建的小路 與 總長(zhǎng)最?。坎⒄f(shuō)明理由 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 連接 P 作 足為 Q 作 足為 ， ，則總路徑長(zhǎng) f（ ） = +4 0 ），求導(dǎo)，可得函數(shù)的最小值點(diǎn) 【解答】 解：連接 P 作 足為 過(guò) Q 作 足為 設(shè) ， 若 ，在 ， 若 ，則 若 ，則 ） = 在 ， P1= 所以總路徑長(zhǎng) f（ ） = +4 0 ）， 令 f（ ） =0， 當(dāng) 時(shí)， f（ ） 0 當(dāng) 時(shí)， f（ ） 0 所以當(dāng) 時(shí)，總路徑最短 答：當(dāng) ，總路徑最短 19如圖，在三棱錐 P ，平面 平面 D，E 分別為 點(diǎn) （ ）求證： 平面 （ ）求證： 平面 （ ）試問(wèn)在線段 是否存在點(diǎn) F，使得過(guò)三點(diǎn) D， E， F 的平面內(nèi)的任一條直線都與平面 行？若存在，指出點(diǎn) F 的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō) 明理由 【考點(diǎn)】 直線與平面平行的性質(zhì)；直線與平面平行的判定 【分析】 （ ）證明以 平面 需證明 （ ）證明 平面 據(jù)線面垂直的判定定理，只需證明 C； （ ）當(dāng)點(diǎn) F 是線段 點(diǎn)時(shí)，證明平面 平面 得平面 的任一條直線都與平面 行 【解答】 解：（ ）證明：因?yàn)辄c(diǎn) E 是 點(diǎn)，點(diǎn) D 為 中點(diǎn)，所以 又因?yàn)?面 所以 平面 （ ）證明：因?yàn)槠矫?面 面 平面 C，又 平面 A 所以 面 因?yàn)?平面 所以 又因?yàn)?， 所以 面 （ ）解：當(dāng)點(diǎn) F 是線段 點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn) D， E， F 的平面內(nèi)的任一條直線都與平面 行 取 點(diǎn) F，連 由（ ）可知 平面 因?yàn)辄c(diǎn) E 是 點(diǎn) ，點(diǎn) F 為 中點(diǎn)， 所以 又因?yàn)?面 平面 所以 平面 又因?yàn)?， 所以平面 平面 所以平面 的任一條直線都與平面 行 故當(dāng)點(diǎn) F 是線段 點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn) D， E， F 所在平面內(nèi)的任一條直線都與平面 20橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為 離心率為 ，點(diǎn) P 為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)， 切圓面積的最大值為 （ 1）求橢圓的方 程； （ 2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為 右焦點(diǎn) 直線 l 與橢圓相交于 A， B 兩點(diǎn)，連結(jié) 延長(zhǎng)交直線 x=4 分別于 P， Q 兩點(diǎn)，以 直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題 【分析】 （ 1）設(shè) c=t，則 a=2t， ，推導(dǎo)出點(diǎn) P 為短軸端點(diǎn)，從而得到 t=1，由此能求出橢圓的方程 （ 2）設(shè)直線 方程為 x=，聯(lián)立 ，得（ 3） 9=0，由此利用韋達(dá)定理、向量知識(shí)、直線方程、圓的性質(zhì)、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已知條件能推導(dǎo)出以 直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)（ 1， 0）和（ 7， 0） 【解答】 （本小題滿分 12 分） 解：（ 1） 橢圓的離心率為 ，不妨設(shè) c=t， a=2t，即 ，其中 t 0， 又 切圓面積取最大值 時(shí)，半徑取最大值為 ， ， 為定值， 也取得最大值，即點(diǎn) P 為短軸端點(diǎn)， ， ，解得 t=1， 橢圓的方程為 （ 2）設(shè)直線 方程為 x=， A（ B（ 聯(lián)立 ，得（ 3） 9=0， 則 ， ， 直線 方程為 ， 直線 方程為 ， 則 ， ， 假設(shè) 直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn) M（ m， n）， 則 ， ， ， 即 ， 即 ， ，即 69+ 4 m） 2=0， 若 直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn) M（ m， n），即不論 t 為何值時(shí)， 恒成立， n=0， m=1 或 m=7 以 直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)（ 1， 0）和（ 7， 0） 21已知函數(shù) f（ x） =1+ 中 0 m 1 （ 1）當(dāng) m=1 時(shí)，求證： 1 x 0 時(shí)， f（ x） ； （ 2）試討論函數(shù) y=f（ x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析 】 （ 1）將 m=1 代入函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論即可； （ 2）求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論 m 的范圍確定函數(shù)的零點(diǎn)即可 【解答】 證明：（ 1） m=1 時(shí)，令 g（ x） =f（ x） ，（ 1 x 0），則 g（ x）= ， 當(dāng) 1 x 0 時(shí)， 0， 1+x 0， g（ x） 0， g（ x）遞增， g（ x） g（ 0） =0，故 f（ x） ； 解：（ 2） f（ x） = ， ， 令 f（ x） =0，解得： 或 x2=m ， （ i） m=1 時(shí)， x1=，由 得 f（ x） = ， x 1 時(shí)， 1+x 0， 0， f（ x） 0， f（ x）遞增， 1 x 0 時(shí)， f（ x） f（ 0） =0， x 0 時(shí)， f（ x） f（ 0） =0， 故函數(shù) y=f（ x）在 x 1 上有且只有 1 個(gè)零點(diǎn) x=0； （ 0 m 1 時(shí)， m 0，且 m ， 由 得： x （ ， m 時(shí)， 1+0， 0， x（ m ） 0， 此時(shí)， f（ x） 0，同理得： x （ m ， 0時(shí)， f（ x） 0， x 0 時(shí)， f（ x） 0， f（ x）在（ ， m ，（ 0， + ）遞增，在（ m ， 0遞減， 故 m x 0 時(shí)， f（ x） f（ 0） =0， x 0 時(shí)， f（ x） f（ 0） =0， f（ x）在（ m ， + ）有且只有 1 個(gè)零點(diǎn) x=0， 又 f（ m ） =（ ）， 構(gòu)造函數(shù) （ t） =（ t ）， 0 t 1， 則 （ t） = ，易知： t （ 0， 1）， （ t） 0， y=（ t）在（ 0， 1）遞減， （ t） （ 1） =0， 由 0 m 1 得： 0 1， f（ m ） （ ） 0 ， 構(gòu)造函數(shù) k（ x） =x+1（ x 0），則 k（ x） = ， 0 x 1 時(shí)， k（ x） 0， x 1 時(shí)， k（ x） 0， k（ x）在（ 0， 1遞增，在（ 1， + ）遞減， k（ x） k（ 1） =0， 1 +1， 則 m ， x 時(shí)， m（ 1+ 1 ， 而 +1 ， 由 得 f（ x） =1+ 1+ +1=0 ， 又函數(shù) f（ x）在（ ， m 遞增， m ， 由 和函數(shù)零點(diǎn)定理得： （ ， ），使得 f（ =0， 綜上 0 x 1 時(shí)，函數(shù) f（ x）有 2 個(gè)零點(diǎn)， m=1 時(shí)， f（ x）有 1 個(gè)零點(diǎn) 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 22已知圓 E 的極坐標(biāo)方程為 =4極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，取相同單位長(zhǎng)度（其中（ ， ）， 0， 0， 2） （ 1）直線 l 過(guò)原點(diǎn)，且它的傾斜角