2017年山西省臨汾市高考數(shù)學二模試卷（理科）含答案解析

2017 年山西省臨汾市高考數(shù)學二模試卷（理科） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 A=x| 0， B=x|x+9） 1，則 A B=（ ） A（ 1， 1） B（ ， 1） C 0 D 1， 0， 1 2設(shè)復數(shù) z 滿足 z+3i=3 i，則 |z|=（ ） A 3 4i B 3+4i C D 5 3已知函數(shù) f（ x） = ，則 f（ f（ ） =（ ） A B C 2 D 2 4已知函數(shù) f（ x） = ，則 y=f（ x）的大致圖象為（ ） A B C D 5一物體 A 以速度 v（ t） =t+6 沿直線運動，則當時間由 t=1 變化到 t=4 時，物體 A 運動的路程是（ ） A 53 C 63 6已知方程 =1 表示雙曲線，則實數(shù) m 的取值范圍是（ ） A（ 1， ） B（ 2， 1） C（ ， 2） （ 1， + ） D（ ， 2） 7已知等邊三角形的一個頂點坐標是（ ， 0），另外兩個頂點在拋物線 這個等邊三角形的邊長為（ ） A 3 B 6 C 2 3 D 2 +3 8如圖 ，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中曲線部分是圓弧，則此幾何體的表面積為（ ） A 10+2 B 12+3 C 20+4 D 16+5 9設(shè) D、 E、 F 分別為 邊 中點，則 +2 +3 =（ ） A B C D 10已知四面體 頂點都在球 O 表面上，且 C= ，B=，過 相互垂直的平面 、 ，若平面 、 截球 O 所得截面分別為圓 M、 N，則（ ） A 長度是定值 B 度的最小值是 2 C圓 M 面積的最小值是 2 D圓 M、 N 的面積和是定值 8 11已知函數(shù) f（ x） =2，當 x=時函數(shù) y=f（ x）取得最小值，則 =（ ） A 3 B 3 C D 12已知函數(shù) f（ x） =，若至少存在兩個實數(shù) m，使得 f（ m）， f（ 1）、f（ m+2）成等差數(shù)列，則過坐標原點作曲線 y=f（ x）的切線可以作（ ） A 3 條 B 2 條 C 1 條 D 0 條 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13設(shè) x、 y 滿足約束條件 ，則 z=|x|+|y|的最大值是 14近來雞蛋價格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周雞蛋價格分別為 a 元 /斤、 b 元/斤，家庭主婦甲和乙買雞蛋的方式不同：家庭主婦甲每周買 3 斤雞蛋，家庭主婦乙每周買 10 元錢的雞蛋，試比較誰的購買方式更優(yōu)惠（兩次平均價格低視為實惠） （在橫線上填甲或乙即可） 15圖 1 是隨機抽取的 15 戶居民月均用水量（單位： t）的莖葉圖，月均用水量依次記為 A 15，圖 2 是統(tǒng)計莖葉圖中月均用水量在一定范圍內(nèi)的頻數(shù)的一個程序框圖，那么輸出的結(jié)果 n= 16在 ， 20， ， ，若點 D、 E 都在邊 ，且 0，則 = 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17已知數(shù)列 前 n 項和為 對任意正整數(shù) n，都有 3 成立 （ 1）求數(shù)列 通項公式； （ 2）設(shè) bn=數(shù)列 的前 n 項和 18如圖，在正四棱錐 P ， ， ， E 是棱 中點，過平面分別與棱 于 M、 N 兩點 （ 1）若 的值； （ 2）求直線 平面 成角的正弦值的取值范圍 19空氣質(zhì)量問題，全民關(guān)注，有需求就有研究，某科研團隊根據(jù)工地常用高壓水槍除塵原理，制造了霧霾神器霧炮，雖然霧炮不能徹底解決問題，但是能在一定程度上起到防霾、降塵的作用，經(jīng)過測試得到霧炮降塵率的頻率分布直方圖： 若降塵率達到 18%以上，則認定霧炮除塵有效 （ 1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計霧炮除塵有效的概率； （ 2）現(xiàn)把 A 市規(guī)劃成三個區(qū)域，每個區(qū)域投放 3 臺霧炮進行除塵（霧炮之間工作互不影響），若在一個區(qū)域內(nèi)的 3 臺霧炮降塵率都低于 18%，則需對該區(qū)域后期 追加投入 20 萬元繼續(xù)進行治理，求后期投入費用的分布列和期望 20在平面直角坐標系 ，橢圓 E： + =1（ a b 0）過點（ ， 1），且與直線 x+2y 4=0 相切 （ 1）求橢圓 E 的方程； （ 2）若橢圓 E 與 x 軸交于 M、 N 兩點，橢圓 E 內(nèi)部的動點 P 使 | |等比數(shù)列，求 的取值范圍 21已知函數(shù) f（ x） =， a R （ 1）若 f（ x）的最小值為 0，求實數(shù) a 的值； （ 2）證明：當 a=2 時，不等式 f（ x） x 恒成立 請考生在第 22、 23 兩題中任 選一題作答【選修 4標系與參數(shù)方程】 22在直角坐標系 ，過點 P（ 2， 1）的直線 l 的參數(shù)方程為 （ 以坐標原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C 的極坐標方程為 知直線 l 與曲線 C 交于 A、 B 兩點 （ 1）求曲線 C 的直角坐標方程； （ 2）求 |值 【選修 4等式選講】 23已知函數(shù) f（ x） =|x+2a|+|x 1|， a R （ 1）當 a=1 時，解不等式 f（ x） 5； （ 2）若 f（ x） 2 對于 x R 恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍 2017 年山西省臨汾市高考數(shù)學二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1已知集合 A=x| 0， B=x|x+9） 1，則 A B=（ ） A（ 1， 1） B（ ， 1） C 0 D 1， 0， 1 【考點】 交集及其運算 【分析】 解不等式求得集合 A，求函數(shù)定義域得集合 B，根據(jù)交集的定義寫出 A B 【解答】 解：集合 A=x| 0=x|（ 1 x）（ 1+x） 0=x| 1 x 1， B=x|x+9） 1=x|0 x+9 10=x| 9 x 1， 則 A B=x| 1 x 1=（ 1， 1） 故選： A 2設(shè)復數(shù) z 滿足 z+3i=3 i，則 |z|=（ ） A 3 4i B 3+4i C D 5 【考點】 復數(shù)求模 【分析】 求出 z，再求出 z 的模即可 【解答】 解： z+3i=3 i， z=3 4i， 則 |z|= =5， 故選： D 3已知函數(shù) f（ x） = ，則 f（ f（ ） =（ ） A B C 2 D 2 【考點】 函數(shù)的值 【分析】 先求出 f（ ） = = ，從而 f（ f（ ） =f（ ），由此能求出結(jié)果 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） = ， f（ ） = = ， f（ f（ ） =f（ ） = = 故選： A 4已知函數(shù) f（ x） = ，則 y=f（ x）的大致圖象為（ ） A B C D 【考點】 函數(shù)的圖象 【分析】 化簡解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的圖象即可 【解答】 解：函數(shù) f（ x） = =1 ，因為函數(shù) y=增函數(shù)，所以函數(shù) f（ x） = ，是增函數(shù)， 可知函數(shù)的圖象只有 B 滿足題意 故選： B 5一物體 A 以速度 v（ t） =t+6 沿直線運動，則當時間由 t=1 變化到 t=4 時，物體 A 運動的路程是（ ） A 53 C 63 【考點】 定積分 【分析】 由題意可得，在 t=1 和 t=4 這段時間內(nèi)物體 A 運動的路程是 S= （ t+6） 解定積分得答案 【解答】 解：由題意可得， 在 t=1 和 t=4 這段時間內(nèi)物體 A 運動的路程是 S= （ t+6） t） | =（ 8+24）（ +6） =選： C 6已知方程 =1 表示雙曲線，則實數(shù) m 的取值范圍是（ ） A（ 1， ） B（ 2， 1） C（ ， 2） （ 1， + ） D（ ， 2） 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 利用方程表示雙曲線，列出不等式求解即可 【解答】 解：方程 =1 表示雙曲線， 可得（ 2+m）（ m+1） 0，解得 m （ ， 2） （ 1， + ） 故選： C 7已知等邊三角形的一個頂點坐標是（ ， 0），另外兩個頂點在拋物線 這個等邊三角形的邊長為（ ） A 3 B 6 C 2 3 D 2 +3 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 設(shè)另外兩個頂點的 坐標分別為 （ ， m），（ ， m），由圖形的對稱性可以得到方程 解此方程得到 m 的值然后求解三角形的邊長 【解答】 解：由題意，依據(jù)拋物線的對稱性，及正三角形的一個頂點位于（ ，0）， 另外兩個頂點在拋物線 x 上，可設(shè)另外兩個頂點的坐標分別為（ ， m），（ ， m）， 由拋物線的對稱性可以得到方程 = ， 解得 m= ，故這個正三角形的邊長為 2|m|=2 ， 故選： C 8如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中曲線部分是圓弧，則此幾何體的表 面積為（ ） A 10+2 B 12+3 C 20+4 D 16+5 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖知幾何體是上部為半圓柱體，下部為長方體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的表面積 【解答】 解：由三視圖知， 該幾何體是上部為半圓柱體，下部為長方體的組合體， 其表面積為 S=S 長方體 +S 半圓柱 =（ 1 2 2+2 1 2+22） +（ 12+12） =12+3 故選： B 9設(shè) D、 E、 F 分別為 邊 中點，則 +2 +3 =（ ） A B C D 【考點】 向量的加法及其幾何意義 【分析】 根據(jù)條件及向量加法的平行四邊形法即可求出 【解答】 解：因為 D、 E、 F 分別為 三邊 中點， 所以 + + = （ + ） + 2（ + ） + 3 （ + ） = + + + + + = + + = + = ， 故選： D 10已知四面體 頂點都在球 O 表面上，且 C= ，B=，過 相互垂直的平面 、 ，若平面 、 截球 O 所得截面分別為圓 M、 N，則 （ ） A 長度是定值 B 度的最小值是 2 C圓 M 面積的最小值是 2 D圓 M、 N 的面積和是定值 8 【考點】 球內(nèi)接多面體 【分析】 確定 兩互相垂直， M， N 分別是 中點，即可得出結(jié)論 【解答】 解： C= ， B=， 兩互相垂直， 過 相互垂直的平面 、 ，若平面 、 截球 O 所得截面分別為圓 M、 N，則 M， N 分別是 中點， ， 故選 A 11已知函數(shù) f（ x） =2，當 x=時函數(shù) y=f（ x）取得最小值，則 =（ ） A 3 B 3 C D 【考點】 三角函數(shù)的化簡求值 【分析】 將函數(shù) f（ x） =2 化解求解最小值，求出 ，帶入化解計算即可 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =2= 2x+）+ ， 其中 ，可得 當 x=時函數(shù) y=f（ x）取得最小值，即 2+= ， 那么： 2= +2 則 = = = = 故選 D 12已知函數(shù) f（ x） =，若至少存在兩個實數(shù) m，使得 f（ m）， f（ 1）、f（ m+2）成等差數(shù)列，則過坐標原點作曲線 y=f（ x）的切線可以作（ ） A 3 條 B 2 條 C 1 條 D 0 條 【考點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 由題意可得 f（ x）的圖象關(guān)于點（ 1， a+4）對稱，求出 f（ x）的二階導數(shù)，可得 a 的方程，解得 a= 1，設(shè)出切點，求得切線的斜率，由兩點的斜率公式，化簡整理，設(shè) g（ t） =23， g（ t） =66t，求出單調(diào)區(qū)間和極值，即可判斷方程 的解的個數(shù)，即切線的條數(shù) 【解答】 解：至少存在兩個實數(shù) m，使得 f（ m）， f（ 1）、 f（ m+2）成等差數(shù)列， 可得 f（ m） +f（ 2+m） =2f（ 1） =2（ a+4）， 即有 f（ x）的圖象關(guān)于點（ 1， a+4）對稱， 由 f（ x）的導數(shù)為 f（ x） =3x， f（ x） =6，由 f（ x） =0，可得 x= ， 由 f（ +x） +f（ x）為常數(shù)， 可得 =1，解得 a= 1， 即有 f（ x） = ， f（ x） = 3x， 設(shè)切點為（ t， ）， 可得切線的斜 率為 3t= ， 化為 23=0， 設(shè) g（ t） =23， g（ t） =66t， 當 0 t 1 時， g（ t） 0， g（ t）遞減；當 t 1 或 t 0 時， g（ t） 0， g（ t）遞增 可得 g（ t）在 t=0 處取得極大值，且為 1 0；在 t=1 處取得極小值，且為 0 可知 23=0 有兩解， 即過坐標原點作曲線 y=f（ x）的切線可以作 2 條 故選： B 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13設(shè) x、 y 滿足約束條件 ，則 z=|x|+|y|的最大值是 2 【考點】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由約束條件作出可行域，當 x 0， y 0 時， z=|x|+|y|=x+y，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解是坐標代入目標函數(shù)得z=|x|+|y|的最大值，由對稱性可得 z=|x|+|y|的最大值 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 由圖可知，當 x 0， y 0 時， z=|x|+|y|=x+y，過 A 時 z 有最大值為 2， 則由對稱性可知， z=|x|+|y|的最大值是 2 故答案為： 2 14近來雞蛋價格起伏較大，假設(shè)第一周、第二周雞蛋價格分別為 a 元 /斤、 b 元/斤，家庭主婦甲和乙買雞蛋的方式不同：家庭主婦甲每周買 3 斤雞蛋，家庭主婦乙每周買 10 元錢的雞蛋，試比較誰的購買方式更優(yōu)惠（兩次平均價格低視為實惠） 乙 （在橫線上填甲或乙即可） 【考點】 函數(shù)模型的選擇與應用 【分析】 甲 2 次購買的數(shù)量相同，平均單價為兩次單價和的一半；乙購買產(chǎn)品的平均單價 =2 次總價 2 次的總數(shù)量 【解答】 解：甲購買產(chǎn)品的平均單價為： = ， 乙購買產(chǎn)品的平均單價為： = ， = 0， 又 兩次購買的單價不同， a b， 0， 乙的購買方式的平均單價較小 故答案為乙 15圖 1 是隨機抽取的 15 戶居民月均用水量（單位： t）的莖葉圖，月均用水量依次記為 A 15，圖 2 是統(tǒng)計莖葉圖中月均用水量在一定范圍內(nèi)的頻數(shù)的一個程序框圖，那么輸出的結(jié)果 n= 8 【考點】 程序框圖 【分析】 算法的功能是計算 15 戶居民在月均用水量中，大于 戶數(shù)，根據(jù)莖葉圖可得月均用水量的戶數(shù)，求出 n 的值 【解答】 解：由程序框圖知：算法的功能是計算 15 戶居民在月均用水量中，大于 戶數(shù)， 由莖葉圖得，在 15 戶居民用水中中，大于 戶數(shù)有 8 戶， 輸出 n 的 值為 8 故答案為： 8 16在 ， 20， ， ，若點 D、 E 都在邊 ，且 0，則 = 【考點】 三角形中的幾何計算 【分析】 根據(jù)條件便可由正弦定理分別得到， = = ，而 而 得： 的值 【解答】 解：如圖，由正弦定理得， = = 得： = 故答案為 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分） 17已知數(shù)列 前 n 項和為 對任意正整數(shù) n，都有 3 成立 （ 1）求數(shù)列 通項公式； （ 2）設(shè) bn=數(shù)列 的前 n 項和 【考點】 數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和 【分析】 （ 1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列 等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項公式得答案； （ 2）把數(shù)列 通項公式代入 bn=得 由裂項相消法求數(shù)列 的前 n 項和 【解答】 解：（ 1）在 3 中，取 n=1 得 ， 且 3=2+3， 兩式相減得 3 3， =3 又 0， 數(shù)列 以 3 為公比的等比數(shù)列， 3n 1=3n； （ 2） bn=n， = ， 數(shù)列 的前 n 項和 1 ） +（ ） +（ ） + +（ ）=1 18如圖，在正四棱錐 P ， ， ， E 是棱 中點，過平面分別與棱 于 M、 N 兩點 （ 1）若 的值； （ 2）求直線 平面 成角的正弦值的取值范圍 【 考點】 直線與平面所成的角 【分析】 （ ）連接 于點 O，以 O 為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A（ 0， ， 0）， B （ ， 0， 0）， C（ 0， ， 0）， D（ ，0， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（ 0， ， 1）由 面， （ ）根據(jù)正四棱錐 P 對稱性可知，當 N 時， P 到面 距離最大，此時直線 平面 角最大， P 到面 距離最小，此時直線 平面 角最小利用向量分別求出求解直線 平面成角的正弦值 【解 答】 解：（ ）連接 于點 O，以 O 為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A（ 0， ， 0）， B （ ， 0， 0）， C（ 0， ， 0）， D（， 0， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（ 0， ， 1） ， ， ， ， ， 面， （ ）根據(jù)正四棱錐 P 對稱性可知，當 N 時， P 到面 距離最大，此時直線 平面 角最大， ， P 到面 距離最小，此時直線 平面 角最小 由（ ）知當 N 時， = ， ， 設(shè)面 法向量為 ， 由 ， 取 設(shè)直線 平面 成角為 ， |= ， 當 M 在 B 時，因為 面 以過 面與面 交線 是面 法向量， 由 ，可取 |= 直線 平面 成角的正弦值的取值范圍為 ， 19空氣質(zhì)量問題，全民關(guān)注，有需求就有研究，某科研團隊根據(jù)工地常用高壓水槍除塵原理，制造了霧霾神器霧炮，雖然霧炮不能徹底解決問題，但是能在一定程度上起到防霾、降塵的作用，經(jīng)過測試得 到霧炮降塵率的頻率分布直方圖： 若降塵率達到 18%以上，則認定霧炮除塵有效 （ 1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計霧炮除塵有效的概率； （ 2）現(xiàn)把 A 市規(guī)劃成三個區(qū)域，每個區(qū)域投放 3 臺霧炮進行除塵（霧炮之間工作互不影響），若在一個區(qū)域內(nèi)的 3 臺霧炮降塵率都低于 18%，則需對該區(qū)域后期追加投入 20 萬元繼續(xù)進行治理，求后期投入費用的分布列和期望 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列 【分析】 （ 1）估計霧炮除塵有效的概率 P= 5 （ 2）由（ 1）可 得：在一個區(qū)域內(nèi)的 3 臺霧炮降塵率都低于 18%，則需對該區(qū)域后期追加投入 20 萬元繼續(xù)進行治理， 因此在一個區(qū)域內(nèi)需對該區(qū)域后期追加投入 20 萬元繼續(xù)進行治理的概率P= = 后期投入?yún)^(qū)域 X B 后期投入費用 =20X（萬元）利用P（ =20k） =P（ X=k） = 即可得出 【解答】 解：（ 1）估計霧炮除塵有效的概率 P= 5 （ 2）由（ 1）可得：在一個區(qū)域內(nèi)的 3 臺霧炮降塵率都低于 18%，則需對該區(qū)域后期追加投入 20 萬元繼續(xù)進行治理， 因此在一個區(qū)域內(nèi)需對 該區(qū)域后期追加投入 20 萬元繼續(xù)進行治理的概率P= = 后期投入?yún)^(qū)域 X B 后期投入費用 =20X（萬元） P（ =20k） =P（ X=k） = 的分布列為： 0 20 40 60 P + +40 +60 =元） 20在平面直角坐標系 ，橢圓 E： + =1（ a b 0）過點（ ， 1），且與直線 x+2y 4=0 相切 （ 1）求橢圓 E 的方程； （ 2）若橢圓 E 與 x 軸交于 M、 N 兩點，橢圓 E 內(nèi)部的動點 P 使 | |等比數(shù)列，求 的取值范圍 【考點】 直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標準方程 【分析】 （ 1）由橢圓 E： + =1（ a b 0）與直線 x+2y 4=0 相切，聯(lián)立， 由 =0，可得 ，由橢圓 E： + =1（ a b 0）過點（ ， 1）， ，由 得 2）設(shè) P（ m， n），由 |=|（ m2+2=m2=， =22，由 n 的范圍求得其范圍， 【解答】 解：（ 1） 橢圓 E： + =1（ a b 0）與直線 x+2y 4=0 相切，聯(lián)立 ， 整理 得（ ） 2 ， 由 =0，可得 橢圓 E： + =1（ a b 0）過點（ ， 1）， 由 得 ， 橢圓 E 的方程： （ 2）由（ 1）得 M（ 2， 0）、 2， 0），設(shè) P（ m， n） | | |等比數(shù)列， |=|（ m2+2= m2=， ， =22 P 在橢圓 E 內(nèi)部， 0 1， 即 的取值范圍為 2， 0） 21已知函數(shù) f（ x） =， a R （ 1）若 f（ x）的最小值為 0，求實數(shù) a 的值； （ 2）證明：當 a=2 時，不等式 f（ x） x 恒成立 【考點】 導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ 1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，對 a 分類分析，可知當 a 0 時， f（ x） 0，f（ x）在（ 0， + ）上是減函數(shù)， f（ x）的最小值不為 0；當 a 0 時，求出導函數(shù)的零點，可得原函數(shù)的單調(diào)性，求其最小值，由最小值為 0 進一步利用導數(shù)求得 a 值； （ 2）通過構(gòu)造函數(shù) h（ x） =2，問題轉(zhuǎn)化為證明 h（ x） 0恒成立，進 而再次構(gòu)造函數(shù)，二次求導，整理即得結(jié)論 【解答】 （ 1）解： f（ x） =， f（ x） = （ x 0） 當 a 0 時， f（ x） 0， f（ x）在（ 0， + ）上是減函數(shù)， f（ x）的最小值不為0； 當 a 0 時， f（ x） = = 當 x （ 0， ）時， f（ x） 0；當 x （ ， + ）時， f（ x） 0 f（ x）在（ 0， ）上為減函數(shù)，在（ ， + ）上為增函數(shù)， = ， 令 g（ a） = ，則 g（ a） = （ a 0） 當 a （ 0， 2）時， g（ a） 0；當 a （ 2， + ）時， g（ a） 0， g（ a）在（ 0， 2）上為增函數(shù)，在（ 2， + ）上為減函數(shù)，則 g（ a） g（ 2）=0 f（ x）的最小值為 0，實數(shù) a 的值為 2； （ 2）證明：當 a=2 時， f（ x） =2， x 1， 令 h（ x） =f（ x） +x=2， 則 h（ x） = = ， 記 q（ x） =2x2+x 2 x，則 q（ x） =4x+1+x 3） x， x 1， 0 x 1， 當 1