高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)-不等式(教師版)

- 1 - 不等式 第 1 課時(shí) 不等式的概念和性質(zhì) 1、實(shí)數(shù)的大小比較法則： 設(shè) a， b R，則 ab ； a b ； 定理 2（同向傳遞性） ab， bc 定理 3 ab a c b c 推論 ab， cd 定理 4 ab， c0 ab， ， cd0 推論 2 ab 0 nn (n N 且 n1) 定理 5 ab 0 na (n N 且 n1) 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 實(shí)數(shù)的性質(zhì) 不等式的性質(zhì) 均值不等式 不等式的證明 解不等式 不等式的應(yīng)用 比較法 綜合法 分析法 反證法 換元法 放縮法 判別式法 一元一次不等式 (組 ) 一元二次不等式 分式、高次不等式 含絕對(duì)值不等式 函數(shù)性質(zhì)的討論 方程根的分布 最值問(wèn)題 實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 取值范圍問(wèn)題 - 2 - 1： 不等式 1 的解集是 _. 答案： x|23 x 3 且 x 1,x0。 解析 ： ：22 3 10 2 3 或 20 2 3 1 3, , 1 1 , 0 0 , 3223x 。 2. 設(shè) f(x) 1 g(x) 2中 x 0， x1比較 f(x)與 g(x)的大小 . 解： 當(dāng) 0 x 1 或 x34時(shí)， f(x) g(x)； 當(dāng) 1 x34時(shí)， f(x) g(x)； 當(dāng) x34時(shí)， f(x) g(x). 3. 函數(shù) )( 足： 1 )1(f 2， 2 )1(f 4，求 )2(f 的取值范圍 解：由 f (x) f ( 1) a b， f (1) a b， f ( 2) 4a 2b a21f (1) f( 1)， b21f (1) f( 1) 則 f( 2) 2f (1) f ( 1) f (1) f ( 1) 3f ( 1) f (1) 由條件 1f( 1)2， 2f (1)4 可得 31 23f( 1) f(1)32 4 得 f ( 2)的取值范圍是 5f ( 2)10. 4. 已知函數(shù) f (x) b，當(dāng) p、 q 滿足 p q 1 時(shí)，試證明： x) y)f (于任意實(shí)數(shù) x、 y 都成立的充要條件是 op1. 證明 ： x) y) f ( pq(x y)2 p(1 p)(x y)2 充分性：當(dāng) 0p1時(shí)， 2)(1( 0 從而 )()()( 必要性：當(dāng) )()()( 時(shí)，則有 2)(1( 0，又 2)( 0，從而 )1( 0，即 0p1綜上所述，原命題成立 變式訓(xùn)練 4： 已知 a b c， a b c 0，方程 c 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 (1)證明：211； (2)若 1，求 (3)求 | 解： (1) a b c， a b c 0， 3a a b c， a b a b， a 0， 1 1 121 - 3 - (2)（方法 1） a b c 0 c 0 有一根為 1， 不妨設(shè) 1，則由 1222121 ,0)1( 22 )03(0212 1， 3222121 法 2) 2121 ,由222221221222121 )( 1122 ,022 ,0,121 121222121 3)(21212 212122 a )由 (2)知， 1)1()(11 22 2222221 21 4)1(41 2 1)1(43 2 3,02221 等式的性質(zhì)是證明不等式與解不等式的重要而又基本的依據(jù)，必須要正確、熟練地掌握，要弄清每一性質(zhì)的條件和結(jié)論注意條件的放寬和加強(qiáng)，條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系 2使用 “作差 ”比較，其變形之一是將差式因式分解，然后根據(jù)各個(gè)因式的符號(hào)判斷差式的符號(hào)；變形之二是將差式變成非負(fù)數(shù)（或非正數(shù)）之和，然后判斷差式的符號(hào) 3關(guān)于數(shù) (式 )比較大小 ，應(yīng)該將 “相等 ”與 “不等 ”分開(kāi)加以說(shuō)明，不要籠統(tǒng)地寫成“AB(或 BA)” 第 2 課時(shí) 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 1 a0， b0 時(shí)，稱 為 a， b 的算術(shù)平均數(shù)；稱 為 a， b 的幾何平均數(shù) 2 定理 1 如果 a、 b R，那么 2且僅當(dāng) 時(shí) 取 “ ”號(hào)） 3 定理 2 如果 a、 b R ，那么2 （當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取 “ ”號(hào)）即兩個(gè)數(shù)的算術(shù)基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 歸納小結(jié) - 4 - 平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 4 已知 x、 y R ， x y P， S. 有下列命題： (1) 如果 S 是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng) x y 時(shí)， x y 有最小值 (2) 如果 P 是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng) x y 時(shí)， 最大值 1 設(shè) a、 b R ，試比較2 222 ，大小 解： a、 b R+， 12 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)等號(hào)成立 又4 2)2(222 42222 222 2222 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)等號(hào)成立 而 2是 2222 (當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取 “ ”號(hào) ) 說(shuō)明： 題中的 2222 分別叫做正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)，幾何平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，平方平均數(shù)也可取特殊值，得出它們的大小關(guān)系，然后再證明 , 三條邊，且 2 2 2 ,S a b c p a b b c a c ，則（ ） A 2 B 2p S p C D 2p S p 解： D解析：2 2 2 2 2 21( ) ( ) ( ) ( ) 0 ,2S p a b c a b b c a c a b b c a c S p ， 又 2 2 2 2 2 2 2 2 2| | , | | , | | , 2 , 2 , 2a b c b c a a c b a a b b c b b c c a a a c c b 2 2 2 2 ( ) , 2a b c a b b c a c S p 。 3. 已知 a, b 都是正數(shù)，并且 a b，求證： ：證： ( ( = ( + ( = = ( ( = (a + b)(a b)2( a, b 都是正數(shù) ， a + b, 0 典型例題 - 5 - 又 a b， (a b)2 0 (a + b)(a b)2( 0 即 ： . 甲、乙兩地相距 S（千米），汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度最大不得超過(guò) c（千米 /小時(shí)）已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（元）由可變部分與固定部分組成可變部分與速度 v（千米 /小時(shí)）的平方成正比，且比例系數(shù)為正常數(shù) b；固定部分為 a 元 (1) 試將全程運(yùn)輸成本 Y(元 )表示成速度 V(千米 /小時(shí) )的函數(shù) . (2) 為使全程運(yùn)輸成本最省，汽車應(yīng)以多大速度行駛？ 解 : (1) 依題意得，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為程運(yùn)輸成本為 y as(故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?y s(bv)v (0,c) (2) s、 a、 b、 v R+，故 s(2s 當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí) vc即 v程運(yùn)輸成本最小 若bac，則當(dāng) v (0， c)時(shí)， y s( s(c v)(a c v0，且 a故有 a a s(s(且僅當(dāng) v c 時(shí)取等號(hào)，即 v c 時(shí)全程運(yùn)輸成本最小 1在應(yīng)用兩個(gè)定理時(shí)，必須熟悉它們的常用變形，同時(shí)注意它們成 立的條件 2在使用 “和為常數(shù)、積有最大值 ”和 “積為常數(shù)、和有最小值 ”這兩個(gè)結(jié)論時(shí)，必須注意三點(diǎn)：“一正 ”變量為正數(shù)， “二定 ”和或積為定值， “三相等 ”等號(hào)應(yīng)能取到，簡(jiǎn)記為 “一正二定三相等 ” 第 3 課時(shí) 不等式證明（一） 1比較法是證明不等式的一個(gè)最基本的方法，分比差、比商兩種形式 (1)作差比較法，它的依據(jù)是： 它的基本步驟：作差 變形 判斷，差的變形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等 (2) 作商比較法，它的依據(jù)是：若 a 0， b 0，則 小結(jié)歸納 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 歸納小結(jié) - 6 - 商 變形 判斷商與 1 的大小它在證明冪、指數(shù)不等式中經(jīng)常用到 2 綜合法：綜合法證題的指導(dǎo)思想是 “由因?qū)Ч?”，即從已知條件或基本不等式出發(fā)，利用不等式的性質(zhì)，推出要證明的結(jié)論 3 分析法：分析法證題的指導(dǎo)思想是 “由果索因 ”，即從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠確定這些充分條件都已具備，那么就可以判定所要證的不等式成立 1. 已知 0,0 求證：證法 1：)( ab ()()(33 ab )(2)(22 ab ( 0， 0， 0)( 2 0)( 證法 2：)()()( 33 11)( 2 ab 故原命題成立，證畢 2. 已知 a、 b R+，求證： )(22)1)( 典型例題 - 7 - 證明： ，因此要證明原不等式成立，則只要證 )(21 由于 )(21 0)22()22( 22 所以 )(21 從而原不等式成立 變式訓(xùn)練 1： 已知 a、 b、 c R，求證： 34222 證明：左邊右邊 34222 )812416444(41 222 0)1(4)2(3)2(41 222 34222 3. 已知 外接圓半徑 R 1，41a 、 b 、 c 是三角形的三邊，令 ，11 求證： 證明：Ra b B C 4221s i 又 R 1，41 1 11 211211211 111 但 的條件是 1 此時(shí)43 4. 設(shè)二次函數(shù) )0()( 2 方程 0)( 兩個(gè)根 1x 、 2x 滿足0 21 (1) 當(dāng) x (0， ，證明： 2) 40， a(x 與同號(hào)， c a(x a (x 是含有 “至少 ”， “至多 ”， “唯一 ”， “不存在 ”或其它否定詞的命題適宜用反證法 2在已知式子中，如果出現(xiàn)兩變量之和為正常數(shù)或變量的絕對(duì)值不大于一個(gè)正常數(shù)，可進(jìn)行三角變換，換元法證明不等式時(shí)，要注意換元的等價(jià)性 3放縮法證題中，放縮必須有目標(biāo)，放縮的途徑很多，如用均值不等式，增減項(xiàng)、放縮因式等 4含有字母的不等式，如果可以化成一邊為零，另一邊是關(guān)于某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，可用判別 式法證明不等式成立，但要注意根的范圍和題設(shè)條件的限制 第 5 課時(shí) 絕對(duì)值不等式的應(yīng)用 1、 有關(guān)絕對(duì)值不等式的主要性質(zhì)： | x | )0()0(0)0( | x |0 | |a| |b|ab| a | | b | | ， (b0) 特別： ， |a b| ， |a b| ， |a b| ， |a b| 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 歸納小結(jié) - 12 - 2、 最簡(jiǎn)絕對(duì)值不等式的解法 | f(x) |a ； | f(x) |a ； a| f(x) |b 對(duì)于類似 a | f(x) | b| g(x) | c 的不等式，則應(yīng)找出絕對(duì)值的零點(diǎn)，以此劃分區(qū)間進(jìn)行討論求解 1. 解不等式： | 3x 4| x 1 解 :x 當(dāng) a 4 時(shí)，求)( )()( xf 的最小值； 若不等式)( )()( xf 1 對(duì) x 1, 4恒成立，求 a 的取值范圍 解 : (1)a 4 時(shí)，最小值 15； (2)1)( )()( xf x 1， 4恒成立 等價(jià)變形后，只要 a(t 2， t 1， 2恒 成立 (t x ) 設(shè) h(t) a(t h (t) a(12當(dāng) 0 t a 時(shí)， h(t) 0， h(t)單調(diào)遞減； 當(dāng) t a 時(shí)， h(t) 0， h(t)單調(diào)遞增； 當(dāng) t a 時(shí)， h(t) 0， h( a )為極小值； 這樣對(duì)于 t 1， 2有 a 2 時(shí)， h(t)h(2) a(22a) 2 a 4 1a 2時(shí)， h(t)h a 2a a 2 1 a4 0 a 1 時(shí)， h(t)h(1) a(a 1) 無(wú)解 綜上知： a 1 4. 設(shè) a、 b R，已知二次函數(shù) f(x) c， g(x) a，當(dāng) x 1時(shí)， f(x) 典型例題 - 13 - 求證： g(1) ； 求證：當(dāng) x 1時(shí)， | g(x)|4. 證明 (1) x 1時(shí)， f(x) 2 g(1) c b a f (x) 2 (2) 當(dāng) x 1時(shí)， g(x) a c(1) a c c(1) a c c ab c 2 2 4 變式訓(xùn)練 4： (1) 已知： | a | 1， | b | 1，求證： |1| 1； (2)求實(shí)數(shù) 的取值范圍，使不等式 |ba 1| 1 對(duì)滿足 | a | 1， | b | 1 的一切實(shí)數(shù) a、 b 恒成立； (3) 已知 | a | 1，若 |1| 1，求 b 的取值范圍 . (1)證明 ： |1 |a b|2 1+ (1)(1). | a | 1， | b | 1， 1 0， 1 0. |1 |a b|2 0. |1 |a b|， | |1| ba | |1| ba 1. (2)解： |ba 1| 1 |1 |b|2 (1)(1) 0. 1， 1 0 對(duì)于任意滿足 | a | 1 的 a 恒成立 . 當(dāng) a 0 時(shí)， 1 0 成立； 當(dāng) a0時(shí)，要使 221 a | 1 的 a 恒成立，而21a 1， |1. 故 11. (3)|1| 1 (1)2 1 (a+b)2 (1+ a2+1 0 (1)(1) 0. |a| 1， 1. 1 0， 即 1 b 1. 1利用性質(zhì) |a| |b| a b |a| |b|時(shí)，應(yīng)注意等號(hào)成立的條件 2解含絕對(duì)值的不等 式的總體思想是：將含絕對(duì)值的不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式求解 歸納小結(jié) - 14 - 3絕對(duì)值是歷年高考的重點(diǎn)，而絕對(duì)值不等式更是?？汲Ｐ?，教學(xué)中，應(yīng)注意絕對(duì)值與函數(shù)問(wèn)題的結(jié)合 第 6 課時(shí) 含參數(shù)的不等式 含有參數(shù)的不等式可滲透到各類不等式中去，在解不等式時(shí)隨時(shí)可見(jiàn)含參數(shù)的不等式而這類含參數(shù)的不等式是我們教學(xué)和高考中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)解含參數(shù)的不等式往往需要分類討論求解，尋