2017年河南省商丘市高考數(shù)學二模試卷（理科）含答案解析

2017 年河南省商丘市高考數(shù)學二模試卷（理科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的 1已知集合 A=x N|1 x 集合 A 中至少有 3 個元素，則（ ） A k k k k i 為虛數(shù)單位，若 （ a， b R）與（ 2 i） 2 互為共軛復數(shù)，則 a b=（ ） A 1 B 1 C 7 D 7 3已知 f（ x） =x，命題 p： x （ 0， ）， f（ x） 0，則（ ） A p 是假命題 ， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 B p 是假命題， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 C P 是真命題， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 D p 是真命題， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 4在等差數(shù)列 ， a8+0，則 2a 值為（ ） A 6 B 8 C 12 D 13 5我國南宋時期的著名數(shù)學家秦九韶在他的著作數(shù)學九章中提出了秦九韶算法來計算多項式的值，在執(zhí)行如圖算法的程序框圖時，若輸入的 n=5， x=2，則輸出 V 的值為（ ） A 15 B 31 C 63 D 127 6一塊硬質(zhì)材料的三視圖如圖所示，正視圖和俯視圖都是邊長為 10正方形，將該木料切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑最接近（ ） A 3 4 5 6若不等式組 表示的區(qū)域 ，不等式（ x ） 2+示的區(qū)域為，向 區(qū)域均勻隨機撒 360 顆芝麻，則落在區(qū)域 中芝麻數(shù)約為（ ） A 114 B 10 C 150 D 50 8若等邊 邊長為 3，平面內(nèi)一點 M 滿足 = + ，則 的值為（ ） A B 2 C D 2 9高考結束后高三的 8 名同學準備拼車去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各兩名，分乘甲、乙兩輛汽車，每車限坐 4 名同學（乘同一輛車的 4 名同學不考慮位置，）其中一班兩位同學是孿生姐妹，需乘同一輛車，則乘坐甲車的 4名同學中恰有 2 名同學是來自同一班的乘坐方式共有（ ） A 18 種 B 24 種 C 48 種 D 36 種 10已知雙曲線 =1（ a 0， b 0），過其左焦點 F 作 x 軸的垂線，交雙曲線于 A， B 兩點，若雙曲線的右頂點在以 直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ） A（ 1， ） B（ 1， 2） C（ ， + ） D（ 2， + ） 11如圖，將繪有函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0， ）的部分圖象的紙片沿 x 軸折成直二面角，若 間的空間距離為 2 ，則 f（ 1） =（ ） A 2 B 2 C D 12已知函數(shù) f（ x） = ，若 F（ x） =ff（ x） +1+m 有兩個零點 x1， x1取值范圍是（ ） A 4 2+ ） B（ ， + ） C（ ， 4 2D（ ， ） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） . 13設 a= （ 二項式（ a ） 6 的展開式中含 的系數(shù)為 14已知拋物線 C： x 與點 M（ 0， 2），過 C 的焦點，且斜率為 k 的直線與C 交于 A， B 兩點，若 =0，則 k= 15已知函數(shù) f（ x） =bx+c（ a 0）有兩個零點 1， 2，數(shù)列 足 =，設 an=若 ， 2，則數(shù)列 通項公式 16已知 f（ x） =3x+2+m（ m 0），在區(qū)間 0， 2上存在三個不同的實數(shù) a，b， c，使得以 f（ a）， f（ b）， f（ c）為邊長的三角形是直角三角形，則 m 的取值范圍是 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分解答寫出文字說明、證明過程或演算過程 17在 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，已知 b（ 1+=c（ 2 （ ）求證： a， c， b 成等差數(shù)列； （ ）若 C= ， 面積為 4 ，求 c 18甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪 70 元，每單抽成 4 元；乙公司無底薪， 40 單以內(nèi)（含 40 單）的部分每單抽成 5 元，超出 40 單的 部分每單抽成 7 元，假設同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機抽取一名送餐員，并分別記錄其 100 天的送餐單數(shù)，得到如表頻數(shù)表： 甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 20 40 20 10 10 乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 10 20 20 40 10 （ ）現(xiàn)從甲公司記錄的 100 天中隨機抽取兩天，求這兩天送餐單數(shù)都大于 40的概率； （ ）若將頻率視為概率，回 答下列問題： （ i）記乙公司送餐員日工資為 X（單位：元），求 X 的分布列和數(shù)學期望； （ 明擬到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學的統(tǒng)計學知識為他作出選擇，并說明理由 19如圖，在三棱柱 ， D， E 分別是 中點， 0，C=2， ， （ ）證明： 平面 （ ）求二面角 A 平面角的正弦值 20已知橢圓 E： + =1（ a b 0）的左焦點 拋物線 4x 的焦點重合，橢圓 E 的離心率為 ，過點 M （ m， 0）（ m ）作斜率不為 0 的直線l，交橢圓 E 于 A， B 兩點，點 P（ ， 0），且 為定值 （ ）求橢圓 E 的方程； （ ）求 積的最大值 21已知函數(shù) f（ x） =2a R （ ）若函數(shù) y=f（ x）存在與直線 2x y=0 垂直的切線，求實數(shù) a 的取值范圍； （ ）設 g（ x） =f（ x） + ，若 g（ x）有極大值點 證： a 選修 4標系與參數(shù)方程選講 22在直角坐標系 ，直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），在以原點 O 為極點， x 軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓 C 的方程為 =6 （ ）寫出直線 l 的普通方程和圓 C 的直角坐標方程； （ ）設點 P（ 4， 3），直線 l 與圓 C 相交于 A， B 兩點，求 + 的值 選修 4等式選講 23已知函數(shù) f（ x） =|x 2|+|2x+1| （ ）解不等式 f（ x） 5； （ ）若關于 x 的方程 =a 的解集為空集，求實數(shù) a 的取值范圍 2017 年河南省商丘市高考數(shù)學二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四 個選項中，只有一個是符合題目要求的 1已知集合 A=x N|1 x 集合 A 中至少有 3 個元素，則（ ） A k k k k 考點】 元素與集合關系的判斷 【分析】 首先確定集合 A，由此得到 4，由此求得 k 的取值范圍 【解答】 解： 集合 A=x N|1 x 集合 A 中至少有 3 個元素， A=2， 3， 4， ， 4， k 故選： C 2 i 為虛數(shù)單位，若 （ a， b R）與（ 2 i） 2 互為共軛復數(shù)，則 a b=（ ） A 1 B 1 C 7 D 7 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)相等的條件求得 a， b 的值，則答案可求 【解答】 解： = ，（ 2 i） 2=4 4i 1=3 4i， 又 （ a， b R）與（ 2 i） 2 互為共軛復數(shù)， b=3， a= 4， 則 a b= 7 故選： D 3已知 f（ x） =x，命題 p： x （ 0， ）， f（ x） 0，則（ ） A p 是假命題， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 B p 是假命題， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 C P 是真命題， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 D p 是真命題， p： x （ 0， ）， f（ x） 0 【考點】 命題的否定 【分析】 直接利用特稱命題 否定是全稱命題寫出結果 【解答】 解： f（ x） =x， x （ 0， ）， f（ x） =1 0， f（ x）是（ 0， ）上是減函數(shù)， f（ 0） =0， f（ x） 0， 命題 p： x （ 0， ）， f（ x） 0 是真命題， p： x （ 0， ）， f（ x） 0， 故選： C 4在等差數(shù)列 ， a8+0，則 2a 值為（ ） A 6 B 8 C 12 D 13 【考點】 等差數(shù)列的通項公式 【分析】 由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式求解 【解答】 解：在等差數(shù)列 ， a8+0， （ d） +4d=5（ d） =60， d=12， 2a （ d）（ d） =d=12 故選： C 5我國南宋時期的著名數(shù)學家秦九韶在他的著作數(shù)學九章中提出了秦九韶算法來計算多項式的值，在執(zhí)行如圖算法的程序框圖時，若輸入的 n=5， x=2，則輸出 V 的值為（ ） A 15 B 31 C 63 D 127 【考點】 程序框圖 【分析】 根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量 v 的值，模擬程序的運行過程，可得答案 【解答】 解： 輸入的 x=2， n=5， 故 v=1， i=4， v=1 2+1=3 i=3， v=3 2+1=7 i=2， v=7 2+1=15 i=1， v=15 2+1=31 i=0， v=31 2+1=63 i= 1，跳出循環(huán)，輸出 v 的值為 63， 故選： C 6一塊硬質(zhì)材料的三視圖如圖所示，正視圖和 俯視圖都是邊長為 10正方形，將該木料切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑最接近（ ） A 3 4 5 6考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由題意，該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑 r 【解答】 解：由題意，該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑 r， 則 10 r+10 r=10 r=10 5 3 故選： A 7若不等式組 表示的區(qū)域 ，不等式（ x ） 2+示的區(qū)域為，向 區(qū)域均勻隨機撒 360 顆芝麻，則落在區(qū)域 中芝麻數(shù)約為（ ） A 114 B 10 C 150 D 50 【考點】 幾何概型；簡單線性規(guī)劃 【分析】 作出兩平面區(qū)域，計算兩區(qū)域的公共面積，得出芝麻落在區(qū)域 內(nèi)的概率 【解答】 解：作出平面區(qū)域 如圖：則區(qū)域 的面積為 S = 區(qū)域 表示以 D（ ）為圓心，以 為半徑的圓， 則區(qū)域 和 的公共面積為 S= + = 芝麻落入?yún)^(qū)域 的概率為 = 落在區(qū)域 中芝麻數(shù)約為 360 =30+20 114 故選 A 8若等邊 邊長為 3，平面內(nèi)一點 M 滿足 = + ，則 的值為（ ） A B 2 C D 2 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 如圖所示，建立直角坐標系利用向量坐標運算性質(zhì)、數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出 【解答】 解：如圖所示，建立直角坐標系： B（ 0， ）， A（ ， 0）， C（ ， 0） =（ ， ）， =（ 3， 0） = + =（ 2， ） =（ ， ）， =（ 1， ）， =（ ， ） 則 = = 2 故選： B 9高考結束后高三的 8 名同學準備拼車去旅游，其中 一班、二班、三班、四班每班各兩名，分乘甲、乙兩輛汽車，每車限坐 4 名同學（乘同一輛車的 4 名同學不考慮位置，）其中一班兩位同學是孿生姐妹，需乘同一輛車，則乘坐甲車的 4名同學中恰有 2 名同學是來自同一班的乘坐方式共有（ ） A 18 種 B 24 種 C 48 種 D 36 種 【考點】 排列、組合的實際應用 【分析】 分類討論，第一類，同一班的 2 名同學在甲車上；第二類，同一班的 2名同學不在甲車上，再利用組合知識，問題得以解決 【解答】 解：由題意，第一類，同一班的 2 名同學在甲車上，甲車上剩下兩個要來自不同的班級，從三個班 級中選兩個為 ，然后分別從選擇的班級中再選擇一個學生為 ，故有 3 4=12 種 第二類，同一班的 2 名同學不在甲車上，則從剩下的 3 個班級中選擇一個班級的兩名同學在甲車上，為 ，然后再從剩下的兩個班級中分別選擇一人為，這時共有 3 4=12 種， 根據(jù)分類計數(shù)原理得，共有 12+12=24 種不同的乘車方式， 故選： B 10已知雙曲線 =1（ a 0， b 0），過其左焦點 F 作 x 軸的垂線，交雙曲線于 A， B 兩點，若雙曲線的右頂點在以 直徑的圓外，則雙曲線離心率的取 值范圍是（ ） A（ 1， ） B（ 1， 2） C（ ， + ） D（ 2， + ） 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 由右頂點 M 在以 直徑的圓的外，得 | |將其轉(zhuǎn)化為關于 a、 b、 c 的式子，再結合平方關系和離心率的公式，化簡整理得 e 2 0，解之即可得到此雙曲線的離心率 e 的取值范圍 【解答】 解：由于雙曲線 =1（ a 0， b 0），則直線 程為： x= c， 因此，設 A（ c， B（ c， =1，解之得 ，得 | ， 雙曲線的右頂點 M（ a， 0）在以 直徑的圓外， | |即 a+c ， 將 b2=化簡整理，得 2a2+0 兩邊都除以 理得 e 2 0， e 1， 解之得 1 e 2 故選： B 11如圖，將繪有函數(shù) f（ x） =2x+）（ 0， ）的部分圖象的紙片沿 x 軸折成直二面角，若 間的空間距離為 2 ，則 f（ 1） =（ ） A 2 B 2 C D 【考點】 點、線、面間的距離計算；由 y=x+）的部分圖象確定其解析式 【分析】 根據(jù)圖 象過點（ 0， 1），結合 的范圍求得 的值，再根據(jù) A、 B 兩點之間的距離，求得 T 的值，可得 的值，從而求得函數(shù)的解析式，從而求得 f（ 1）的值 【解答】 解：由函數(shù)的圖象可得 2，可得 ，再根據(jù) ，可得 = 再根據(jù) A、 B 兩點之間的距離為 =2 ，求得 T=4， 再根據(jù) T= =4，求得 = f（ x） =2x+ ）， f（ 1） =2 + ） = ， 故選： D 12已知函數(shù) f（ x） = ，若 F（ x） =ff（ x） +1+m 有兩個零點 x1， x1取值 范圍是（ ） A 4 2+ ） B（ ， + ） C（ ， 4 2D（ ， ） 【考點】 分段函數(shù)的應用 【分析】 由題意可知：當 x 1 時， f（ x） +1 1， ff（ x） +1=f（ x） +1），當 x 1， f（ x） =1 ， ff（ x） +1=f（ x） +1）， ff（ x） +1=f（ x）+1） +m=0，則 2 2t）， t ，設 g（ t） =2 2t）， t ，求導，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間，即可求得 取值范圍 【解答】 解：當 x 1 時， f（ x） =0， f（ x） +1 1， ff（ x） +1=f（ x） +1）， 當 x 1， f（ x） =1 ， f（ x） +1 ， ff（ x） +1=f（ x） +1）， 綜上可知： Ff（ x） +1=f（ x） +1） +m=0， 則 f（ x） +1=e m， f（ x） =e m 1，有兩個根 不妨設 當 x 1 是， e m 1，當 x 1 時， 1 =e m 1， 令 t=e m 1 ，則 t， x2=1 =t， 2t， 2 2t）， t ， 設 g（ t） =2 2t）， t ， 求導 g（ t） = 2 t （ ， + ）， g（ t） 0，函數(shù) g（ t）單調(diào)遞減， g（ t） g（ ） = ， g（ x）的值域為（ ， ）， 值范圍為（ ， ）， 故選： D 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） . 13設 a= （ 二項式（ a ） 6 的展開式中含 的系數(shù)為 12 【考點】 二項式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)微積分基本定理首先求出 a 的值，然后再根據(jù)二項式的通 項公式求出 r 的值，問題得以解決 【解答】 解：由于 a= （ | = 1 1= 2， （ 2 ） 6=（ 2 + ） 6 的通項公式為 =2r， 令 3 r=2，求得 r=1，故含 的系數(shù)為 22 故答案為： 12 14已知拋物線 C： x 與點 M（ 0， 2），過 C 的焦點，且斜率為 k 的直線與C 交于 A， B 兩點，若 =0，則 k= 8 【考點】 直線與拋物線的位置關系 【分析】 設直線 方程，代入拋物線方程，利用韋達定理及 向量數(shù)量積的坐標運算（ 2）（ 2） =0，即可求得 k 的值 【解答】 解：拋物線 C： x 的焦點為 F（ 1， 0）， 直線 方程為 y=k（ x 1），設 A（ B（ 聯(lián)立方程組 ，整理得： 2） x+， 則 x1+=2+ y1+y2=k（ x1+ 2k= ， 1）（ 1） =k2 x1+1= 4， =0，（ 2）（ 2） =0，即 2（ y1+4=0，解得：k=8 故答案為： 1 15已知函數(shù) f（ x） =bx+c（ a 0）有兩個零點 1， 2，數(shù)列 足 =，設 an=若 ， 2，則數(shù)列 通項公式 2n 2（ n N*） 【考點】 數(shù)列與函數(shù)的綜合 【分析】 由題意可得 f（ x） =a（ x 1）（ x 2），求出導數(shù)，可得 = ，求得 =22用等比數(shù)列的通項公式即可得到所求 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =bx+c（ a 0）有兩 個零點 1， 2， 可得 f（ x） =a（ x 1）（ x 2）， f（ x） =a（ 2x 3）， 則 = ， 由 ， 2， 則 =22 即有 an=1= 2n 1=2n 2 故答案為： 2n 2（ n N*） 16已知 f（ x） =3x+2+m（ m 0），在區(qū)間 0， 2上存在三個不同的實數(shù) a，b， c，使得以 f（ a）， f（ b）， f（ c）為邊長的三角形是直角三角形，則 m 的取值范圍是 0 m 3+4 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單 調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 利用導數(shù)求得 f（ x） =3x+3+m（ m 0），在區(qū)間 0， 2上的最小值、最大值，由題意構造不等式解得范圍 【解答】 解： f（ x） =3x+3+m，求導 f（ x） =33 由 f（ x） =0 得到 x=1或者 x= 1， 又 x 在 0， 2內(nèi)， 函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 0， 1）單調(diào)遞減，在區(qū)間（ 1， 2）單調(diào)遞增， 則 f（ x） f（ 1） =m+1， f（ x） f（ 2） =m+5， f（ 0） =m+3 在區(qū)間 0， 2上存在三個不同的實數(shù) a， b， c，使得以 f（ a）， f（ b）， f（ c）為邊長的三角形是構成直角三角形， （ m+1） 2+（ m+1） 2 （ m+5） 2，即 6m 23 0，解得 3 4 m 3+4 又已知 m 0， 0 m 3+4 故答案為： 0 m 3+4 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分解答寫出文字說明、證明過程或演算過程 17在 ，角 A， B， C 的對邊分別為 a， b， c，已知 b（ 1+=c（ 2 （ ）求證： a， c， b 成等差數(shù)列； （ ）若 C= ， 面積為 4 ，求 c 【考點】 正弦定理 【分析】 （ ） 由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知可得 而可求 a+b=2c，即 a， c， b 成等差數(shù)列； （ ）由已知利用三角形面積公式可求 6，進而利用余弦定理可得： a+b）2 3合 a+b=2c，即可解得 c 的值 【解答】 （本題滿分為 12 分） 解：（ ） b（ 1+=c（ 2 由 正 弦 定 理 可 得 ： 可得： a+b=2c，即 a， c， b 成等差數(shù)列； （ ） C= ， 面積為 4 = 6， 由余弦定理可得： c2=a2+2a2+ a+b） 2 3 a+b=2c， 可得： 3 16，解得： c=4 18甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪 70 元，每單抽成 4 元；乙公司無底薪， 40 單以內(nèi)（含 40 單）的部分每單抽成 5 元，超出 40 單的部分每單抽成 7 元，假設同一公司送餐員一天的送餐單 數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機抽取一名送餐員，并分別記錄其 100 天的送餐單數(shù)，得到如表頻數(shù)表： 甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 20 40 20 10 10 乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 10 20 20 40 10 （ ）現(xiàn)從甲公司記錄的 100 天中隨機抽取兩天，求這兩天送餐單數(shù)都大于 40的概率； （ ）若將頻率視為概率，回答下列問題： （ i）記乙公司送餐員日工資為 X（單 位：元），求 X 的分布列和數(shù)學期望； （ 明擬到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學的統(tǒng)計學知識為他作出選擇，并說明理由 【考點】 離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列 【分析】 （ ） 記 “抽取的兩天送餐單數(shù)都大于 40”為事件 M，可得 P（ M） = （ ）（ ）設乙公司送餐員送餐單數(shù)為 a，可得當 a=38 時， X=38 5=190，以此類推可得：當 a=39 時，當 a=40 時， X 的值當 a=41 時， X=40 5+1 7，同理可得：當 a=42 時， X=214所以 X 的所有可能取值為 190， 1195， 200， 207，214可得 X 的分布列及其數(shù)學期望 （ ）依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為 38 9 0 12 得甲公司送餐員日平均工資，與乙數(shù)學期望比較即可得出 【解答】 解：（ ） 記 “抽取的兩天送餐單數(shù)都大于 40”為事件 M， 則 P（ M） = = （ ）（ ）設乙公司送餐員送餐單數(shù)為 a， 則當 a=38 時， X=38 5=190， 當 a=39 時， X=39 5=195， 當 a=40 時， X=40 5=200， 當 a=41 時， X=40 5+1 7=207， 當 a=42 時， X=40 5+2 7=214 所以 X 的所有可能取值為 190， 195， 200， 207， 214故 X 的分布列為： X 190 195 200 207 214 P E（ X） =190 +195 +200 +207 +214 = （ ）依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為 38 9 0 1 2 所以甲公司送餐員日平均工資為 70+4 28 元 由 （ ）得乙公司送餐員日平均工資為 因為 228，故推薦小明去甲公司應聘 19如圖，在三棱柱 ， D， E 分別是 中點， 0，C=2， ， （ ）證明： 平面 （ ）求二面角 A 平面角的正弦值 【考點】 二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）先證 平面 證 可 （ 2）所求值即為平面 法向量與平面 法向量的夾角的 余弦值的絕對值的相反數(shù)，計算即可 【解答】 證明：（ ） 在三棱柱 ， D， E 分別是 中點， 0， C=2， E= ， ， ， ， 平面 平面 解：（ ）如圖，以 點 O 為坐標原點，以 在直線分別為x、 y、 z 軸建系 易知 0， 0， ）， B（ ， 0， 0）， C（ ， 0， 0）， A（ 0， ， 0）， D（ 0， ， ）， ， ， ）， 設平面 法向量為 =（ x， y， z）， 由 ，可取 設平面 法向量為 =（ x， y， z）， 由 ，可取 = 又 該二面角為鈍角， 二面角 平面角的余弦值為 20已知橢圓 E： + =1（ a b 0）的左焦點 拋物線 4x 的焦點重合，橢圓 E 的離心率為 ，過點 M （ m， 0）（ m ）作斜率不為 0 的直線l，交橢圓 E 于 A， B 兩點，點 P（ ， 0），且 為定值 （ ） 求橢圓 E 的方程； （ ）求 積的最大值 【考點】 直線與橢圓的位置關系；橢圓的標準方程 【分析】 （ ）由拋物線方程求出拋物線的焦點坐標，即橢圓左焦點坐標，結合橢圓離心率可得長半軸長，再由 b2=出短半軸，則橢圓 E 的標準方程可求； （ ）設 A（ B（ 直線 l 的方程為： x=ty+m，由 整理得（ ） 2=0 由 為定值，解得 m， | |y1 ，點 O 到直線 距離 d= ， 積 s=即可求得最值 【解答】 解：（ ）設 c， 0）， 拋物線 4x 的焦點坐標為（ 1， 0），且橢圓 E 的左焦點 F 與拋物線 4x 的焦點重合， c=1， 又橢圓 E 的離心率為 ，得 a= ，于是有 b2= 故橢圓 的標準方程為： （ ）設 A（ B（ 直線 l 的方程為： x=ty+m， 由 整理得（ ） 2=0 ， ， = = （ ） （ t ）（ y1+ += 要使 為定值，則 ，解得 m=1 或 m= （舍） 當 m=1 時， | | ， 點 O 到直線 距離 d= ， 積 s= = 當 t=0， 積的最大值為 ， 21已知函數(shù) f（ x） =2a R （ ）若函數(shù) y=f（ x）存在與直線 2x y=0 垂直的切線，求實數(shù) a 的取值范圍； （ ）設 g（ x） =f（ x） + ，若 g（ x）有極大值點 證： a 【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 （ ）求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為 x= 在（ 0， + ）上有解，求出a 的范圍即可； （ ）求出 g（ x）的解析式，通過討論 a 的范圍，問題轉(zhuǎn)化為證明 h（ x） = x+， x （ 0， 1），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可 【解答】 （ ）解：因為 f（ x） = 2a， x 0， 因為函數(shù) y=f（ x）存在與直線 2x y=0 垂直的切線， 所以 f（ x） = 在（ 0， + ）上有解， 即 2a= 在（ 0， + ）上有解， 也即 x= 在（ 0， + ）上有解， 所以 0，得 a ， 故所求實數(shù) a 的取值范圍是（ ， + ）； （ ）證明：因為 g（ x） =f（ x） + x2+2 因為 g（ x） = ， 當 1 a 1 時， g（ x）單調(diào)遞增無極值點，不符合題意， 當 a 1 或 a 1 時，令 g（ x） =0，設 2=0 的兩根為 因為 函數(shù) g（ x）的極大值點，所以 0 又 ， x1+a 0，所以 a