學(xué)科教育論文-函數(shù)概念的發(fā)展與比較.doc

學(xué)科教育論文-函數(shù)概念的發(fā)展與比較摘要：函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)重要概念之一，從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，是從函數(shù)概念的系統(tǒng)學(xué)習(xí)開(kāi)始的。本文從自17世紀(jì)下半葉到現(xiàn)在300年來(lái)函數(shù)概念的縱向歷史研究，以及中西方幾種不同課程觀下函數(shù)概念的橫向比較入手，對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)方面提出一些觀點(diǎn)與看法。關(guān)鍵詞：函數(shù)函數(shù)概念數(shù)學(xué)教學(xué)函數(shù)概念是全部數(shù)學(xué)概念中最重要的概念之一，縱觀300年來(lái)函數(shù)概念的發(fā)展，眾多數(shù)學(xué)家從集合、代數(shù)、直至對(duì)應(yīng)、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想，從而推動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展。但正是由于函數(shù)概念的抽象性與層次性，學(xué)生往往不習(xí)慣用集合、對(duì)應(yīng)的觀點(diǎn)去解釋函數(shù)關(guān)系，缺乏用函數(shù)思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。本文擬通過(guò)對(duì)函數(shù)概念的發(fā)展與比較的研究，對(duì)函數(shù)概念的教學(xué)進(jìn)行一些探索。1、函數(shù)概念的縱向發(fā)展11早期函數(shù)概念幾何觀念下的函數(shù)十七世紀(jì)伽俐略(GGalileo，意，15641642)在兩門(mén)新科學(xué)一書(shū)中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關(guān)系這一概念，用文字和比例的語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾(Descartes，法，15961650)在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但由于當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時(shí)候，數(shù)學(xué)家還沒(méi)有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來(lái)研究的。12十八世紀(jì)函數(shù)概念代數(shù)觀念下的函數(shù)1718年約翰貝努利(BernoulliJohann，瑞，16671748)才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為，其在函數(shù)概念中所說(shuō)的任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子。18世紀(jì)中葉歐拉(LEuler，瑞，17071783)就給出了非常形象的，一直沿用至今的函數(shù)符號(hào)。歐拉給出的定義是：一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式。他把約翰貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運(yùn)算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及變量的無(wú)理數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫(huà)出曲線的函數(shù)），不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。13十九世紀(jì)函數(shù)概念對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)1822年傅里葉(Fourier，法，17681830)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個(gè)式子表示，或用多個(gè)式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個(gè)式子表示的爭(zhēng)論，把對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)又推進(jìn)了一個(gè)新的層次。1823年柯西(Cauchy，法，17891857)從定義變量開(kāi)始給出了函數(shù)的定義，同時(shí)指出，雖然無(wú)窮級(jí)數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種有效方法，但是對(duì)函數(shù)來(lái)說(shuō)不一定要有解析表達(dá)式，不過(guò)他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個(gè)解析式來(lái)表示，這是一個(gè)很大的局限，突破這一局限的是杰出數(shù)學(xué)家狄利克雷。1837年狄利克雷(Dirichlet，德，18051859)認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無(wú)關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)?！钡依死椎暮瘮?shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，簡(jiǎn)明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無(wú)條件地接受。至此，我們已可以說(shuō)，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說(shuō)的經(jīng)典函數(shù)定義。等到康托爾(Cantor，德，18451918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，18801960)用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過(guò)集合概念，把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對(duì)象（點(diǎn)、線、面、體、向量、矩陣等）。14現(xiàn)代函數(shù)概念集合論下的函數(shù)1914年豪斯道夫(FHausdorff)在集合論綱要中用“序偶”來(lái)定義函數(shù)。其優(yōu)點(diǎn)是避開(kāi)了意義不明確的“變量”、“對(duì)應(yīng)”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”。庫(kù)拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來(lái)定義“序偶”，即序偶(a，b)為集合a，b，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了。1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱為自變?cè)?，元素y稱為因變?cè)?。函?shù)概念的定義經(jīng)過(guò)三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，20世紀(jì)40年代，物理學(xué)研究的需要發(fā)現(xiàn)了一種叫做Dirac函數(shù)，它只在一點(diǎn)處不為零，而它在全直線上的積分卻等于1，這在原來(lái)的函數(shù)和積分的定義下是不可思議的，但由于廣義函數(shù)概念的引入，把函數(shù)、測(cè)度及以上所述的Dirac函數(shù)等概念統(tǒng)一了起來(lái)。因此，隨著以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展，函數(shù)的概念還會(huì)繼續(xù)擴(kuò)展。2、函數(shù)概念的橫向比較函數(shù)概念，作為世界各國(guó)學(xué)生必修的內(nèi)容，各國(guó)對(duì)其分配設(shè)置、處理方式不盡相同。下圖對(duì)中國(guó)與各個(gè)西方國(guó)家的函數(shù)概念作一橫向比較：函數(shù)概念引入學(xué)習(xí)深化的過(guò)程比較中國(guó)初三時(shí)引入函數(shù)概念，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的形式化定義，用“變量”來(lái)描述函數(shù)概念。高一時(shí)用“映射”來(lái)刻畫(huà)函數(shù)概念。法國(guó)四五年級(jí)學(xué)生認(rèn)識(shí)和使用小數(shù)集上定義的數(shù)值函數(shù)。七年級(jí)，用圖表表示情景，通過(guò)消費(fèi)、發(fā)展、環(huán)境等讓學(xué)生初步感受函數(shù)。八年級(jí)，能用圖、表或解析式等多種方式表示函數(shù)，但不給出嚴(yán)格定義。九、十年級(jí)，用表格、圖表處理一些其他領(lǐng)域的問(wèn)題，定義處理十分謹(jǐn)慎。高中時(shí)，大量增加函數(shù)內(nèi)容。日本小學(xué)四年級(jí)開(kāi)始接觸函數(shù)關(guān)系的初步概念，對(duì)兩個(gè)相依變化的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究并用圖表來(lái)表示，用式子簡(jiǎn)潔的表示數(shù)量關(guān)系。中學(xué)在數(shù)量關(guān)系領(lǐng)域把函數(shù)概念的學(xué)習(xí)劃分為三個(gè)階段，滲透函數(shù)思想。美國(guó)九年級(jí)以上的各類代數(shù)課本中，都首先定義“有序數(shù)對(duì)”、“關(guān)系”，再將函數(shù)定義為一種特殊的關(guān)系。德國(guó)初中由機(jī)器運(yùn)算寄存器的有關(guān)知識(shí)展開(kāi)所熟悉的簡(jiǎn)單算法，讓學(xué)生在編寫(xiě)簡(jiǎn)單程序的同時(shí)開(kāi)始學(xué)習(xí)變量、函數(shù)。英國(guó)由實(shí)際情景得到表達(dá)式，再得到數(shù)據(jù)，描點(diǎn)作出圖象，利用曲線解決實(shí)際問(wèn)題，在實(shí)際問(wèn)題的解決中引入函數(shù)概念。21函數(shù)概念引入方式上的差異我國(guó)教材函數(shù)概念引入方式為：實(shí)際例子（問(wèn)題）數(shù)學(xué)解答從過(guò)程中提煉出函數(shù)概念。這種方式更注重函數(shù)概念引入的系統(tǒng)性，從兩個(gè)階段入手，多層面，多角度地向?qū)W生介紹了以“變量”為基礎(chǔ)的函數(shù)古典定義以及以“集合”為基礎(chǔ)的現(xiàn)代函數(shù)定義，所呈現(xiàn)的函數(shù)概念結(jié)構(gòu)較系統(tǒng)和完整，有利于學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的熟練掌握，但學(xué)生對(duì)“對(duì)應(yīng)關(guān)系”往往缺乏充分的理解，并且函數(shù)概念引入時(shí)間較晚，定義方式理論性較強(qiáng)，比較抽象，不利于學(xué)生深入理解函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)，以及自身辨證思維能力的發(fā)展。西方各國(guó)函數(shù)概念的引入一般較早，函數(shù)概念引入方式為：實(shí)際例子（問(wèn)題）數(shù)學(xué)概念實(shí)際問(wèn)題。它更注重函數(shù)概念背景知識(shí)的鋪墊，重視函數(shù)思想和方法的掌握，淡化函數(shù)的形式化定義，大多沒(méi)有給出具體的函數(shù)概念，而是將實(shí)際應(yīng)用中的問(wèn)題與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相聯(lián)系，以問(wèn)題解決的形式讓學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容，應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)比較突出。22函數(shù)概念與信息技術(shù)結(jié)合程度上的差異我國(guó)函數(shù)概念教學(xué)中加強(qiáng)了函數(shù)與其他學(xué)科知識(shí)的聯(lián)系，并且結(jié)合各種現(xiàn)代教育技術(shù)初步培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)能力，逐步提高學(xué)生分析問(wèn)題，解決實(shí)際問(wèn)題的能力。但常常局限于用計(jì)算器進(jìn)行簡(jiǎn)單求解，用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)等內(nèi)容，沒(méi)有很好的引導(dǎo)學(xué)生利用互聯(lián)網(wǎng)資源自