社會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)(盧淑華),第三章.ppt

第三講,概率論,概率論的產(chǎn)生和發(fā)展,概率論產(chǎn)生于十七世紀(jì)，本來(lái)是隨保險(xiǎn)事業(yè)的發(fā)展,而產(chǎn)生的，但是來(lái)自于賭博者的請(qǐng)求，卻是數(shù)學(xué)家們思考 概率論中問(wèn)題的源泉。,早在1654年，有一個(gè)賭徒梅累向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家帕斯卡提,出一個(gè)使他苦惱了很久的問(wèn)題：“兩個(gè)賭徒相約賭若干 局，誰(shuí)先贏 m局就算贏，全部賭本就歸誰(shuí)。但是當(dāng)其中 一個(gè)人贏了 a (am)局，另一個(gè)人贏了 b(bm)局的時(shí)候，,賭博中止。問(wèn)：賭本應(yīng)該如何分法才合理？”后者曾在 1642年發(fā)明了世界上第一臺(tái)機(jī)械加法計(jì)算機(jī)。,三年后，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數(shù)學(xué),家惠更斯企圖自己解決這一問(wèn)題，結(jié)果寫(xiě)成了論機(jī)會(huì)游 戲的計(jì)算一書(shū)，這就是最早的概率論著作。,近幾十年來(lái)，隨著科技的蓬勃發(fā)展，概率論大量應(yīng)用到國(guó) 民經(jīng)濟(jì)、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)及各學(xué)科領(lǐng)域。許多興起的應(yīng)用數(shù) 學(xué)，如信息論、對(duì)策論、排隊(duì)論、控制論等，都是以概率 論作為基礎(chǔ)的。,第一節(jié),基礎(chǔ)概率, ,一、隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)試驗(yàn) 隨機(jī)現(xiàn)象非確定性現(xiàn)象 隨機(jī)試驗(yàn)：對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察 隨機(jī)試驗(yàn)須符合的條件： 1、可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行 2、試驗(yàn)的所有結(jié)果是事先已知的，并且不止一個(gè) 3、每次試驗(yàn)只能出現(xiàn)可能結(jié)果的一種，且不能預(yù)先判 斷是哪一種 如：擲硬幣 二、概率的概念,隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量表示。 三種情況： 1、不可能事件 概率 P（）=0 2、必然事件S 概率 P（S）=1 3、必然與不可能之間E 概率 0 P（E） 1,三、概率的計(jì)算方法,1、頻率法, ,頻數(shù)與頻率 隨機(jī)事件E出現(xiàn)的次數(shù)n頻數(shù),頻率, ,n與實(shí)驗(yàn)次數(shù)N的比值 頻率的三種狀況：,2）, ,定值。,頻率是一個(gè)近似值，概率是一個(gè)理論值、唯一的精 確值，比頻率完美。,f s 1,n N,3） f 0 概率是實(shí)驗(yàn)或觀察次數(shù)N趨于無(wú)窮時(shí)，相應(yīng)頻率的穩(wěn),1）0 f E 1,n N,N N ,PE lim f E lim,2、古典法, ,1）樣本點(diǎn)Ei ：隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的每一種結(jié)果 2）樣本空間S：樣本點(diǎn)的總和 3）隨機(jī)事件A：基本事件的集合，它是S的子 集 4）古典概型的條件 樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn) 每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同,5）計(jì)算,m n,PA ,A中包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù) 樣本點(diǎn)總數(shù),例：5人中 3男 2女，隨機(jī)抽有一女 的概率, ,男生代碼 E1 E2 E3 女生代碼 F1 F2 樣本空間5個(gè) n=5, ,隨機(jī)事件樣本點(diǎn)：m=2 再例：100人中，5人超過(guò)70歲，任抽一 人，是古稀老人的概率？,2 5,PA ,四、概率的運(yùn)算, ,（一）條件之間的關(guān)系 1、包含與相等 A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，則B包含A AB 如果存在反向包含關(guān)系則 A=B,例：A=人；B=男人；C=女人；A與B？, ,2、事件和 A與B至少有一個(gè)發(fā)生才構(gòu)成事件C則為和 A+B,例：A=香港人；B=澳門(mén)人；C=港澳人士；A+B？, ,3、事件積 A與B同時(shí)發(fā)生構(gòu)成事件C則為事件積 AB,例：A=品德好；B=能力強(qiáng)；C=德才兼?zhèn)?；AB？,（一）條件乊間的關(guān)系（續(xù)）,AB= , 4、互不相容 A發(fā)生則導(dǎo)致B不發(fā)生 例：某人來(lái)自的省份。,5、對(duì)立事件,A與B為互不相容事件，且在一次實(shí)驗(yàn)或觀察中必有 其一發(fā)生。,A+B=S,AB= 例：性別,6、相互獨(dú)立：二者無(wú)關(guān)系,例：兩個(gè)婦女同時(shí)生孩子，生男生女是否有關(guān)？,PA1 A2 An PA1 PA2 PAn ,（二）概率的運(yùn)算, ,n i 1,1、加法 1）條件：A、B互不相容時(shí)：A+B（事件和）為A的概率B的概率之和。 PA B PA PB 推論：n個(gè)事件 2）A與B不滿足互不相容時(shí)： PA B PA PB PAB 推論三個(gè)事件： PA B C PA PB PC PAB PAC PBC PABC n個(gè)事件：,例：,1、湖南某地外出打工：100戶中，每戶一人廣州打工：30 戶；深圳打工：20戶；上海打工：20戶；任抽一戶，南,下打工的概率？,2、某班學(xué)生30人，父親大學(xué)文化8人，母親大學(xué)文化6人， 父母均為大學(xué)文化的3人，任抽一人，父輩至少一人大學(xué),文化的概率？,課內(nèi)練習(xí)：,對(duì)某班女生調(diào)查：不吃早餐的50%，不吃中餐的20%，兩餐,都不吃的10%，求下列事件概率：,1、只不吃早餐的 2、中、早至少一餐不吃 3、中、早只有,一餐不吃 4、中、早兩餐都吃,2、乘法, ,簡(jiǎn)化式：A、B相互獨(dú)立 PAB PA PB PA1 A2 An PA1 PA2 PAn 一般式：A與B不滿足相互獨(dú)立 當(dāng)一事件已發(fā)生條件下另一事件發(fā)生的概率條件概 率 PB A - A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的概率 PAB PA PB A 或 PAB PB PA B,A1 PAn A1 A2 An ,推論： PA1 A2 An PA1 PA2,例題1,某城市中，有60%的家庭訂閱日?qǐng)?bào)，有80% 的家庭有電視機(jī)，假定這兩個(gè)事件是獨(dú)立 的，隨機(jī)抽出一個(gè)家庭，發(fā)現(xiàn)既訂日?qǐng)?bào)又 有電視機(jī)的概率？,答案,A=該家庭訂一份日?qǐng)?bào) B=該家庭有電視機(jī) P(A)=0.60 P(B)=0.80 P(AB)=0.60*0.80=0.48,例題2,對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行3次射擊，第一、二、三、 次射擊命中的概率分別是：0.3,0.4,0.6，求 在這三次射擊中恰有一次命中的概率。,答案, ,Ai=第i次射擊命中 A=恰有一次命中 P（A） =0.3*0.6*0.4+0.7*0.4*0.4+0.7*0.6*0. 6 =0.436,例：,1、某廠一天兩班生產(chǎn)350件產(chǎn)品，一班生 產(chǎn)200件，次品9件；二班生產(chǎn)150件， 次品4件。隨機(jī)抽一件，是次品，問(wèn)：是,一班生產(chǎn)的概率？解答,2、居民樓20戶，無(wú)子女家庭2戶，訪問(wèn)兩,戶均為無(wú)子女家庭的概率？,練習(xí)：據(jù)統(tǒng)計(jì)，能活到60歲的概率為0.8； 活到70歲的概率為0.4, 問(wèn)現(xiàn)年60歲的人 活到70歲的概率？,例一答案：,第一種方法：,A=抽選的一件產(chǎn)品是一班生產(chǎn)的 B=抽選的一件產(chǎn)品是次品 已知B發(fā)生，p(A/B)=9/13,第二種方法：,P(A/B)=p(AB)/p(B)=9/350 13/350 =9/13 AB=抽選的一件產(chǎn)品是一班生產(chǎn)的次品,PB PAi PB Ai ,其中 PB PAi PB Ai ,五、全概率不逆概率公式, ,1、全概公式 A1 、A2 An為完備事件組，即： 1） A1 、A2 An互不相容 2） A1 +A2 +An=S 對(duì)任一事件B都有 n i 1 2、逆概率公式（貝葉斯公式） 在B發(fā)生的情況下，追溯導(dǎo)致B發(fā)生的各種原因Ai概率,PAi PB Ai PB,PAi B ,n i 1, ,全概例： 有三個(gè)工作人員被指定復(fù)制某種表格。某一人 復(fù)制了這種表格的40%，第二人復(fù)制了35%， 第三人復(fù)制了23%，第一人的錯(cuò)誤率為0.04， 第二人的錯(cuò)誤率為0.06，第三人的錯(cuò)誤率為 0.03。隨機(jī)抽一份表格，這份表格有錯(cuò)誤的概 率為多少？ 逆概例： 接上例。某天，隨機(jī)抽出一份表格，發(fā)現(xiàn)有錯(cuò) 誤，辦公室主管想知道由第一、第二、第三個(gè) 工作人員所造成的概率是多少？,2） PK 1,第二節(jié) 概率分布、均值不方差, ,性質(zhì)：1）,分布列表明全部概率在各可能取值之間的分布規(guī)律，全面描敘離散隨機(jī)變量 的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,Pk 0,一、概率分布： 隨機(jī)現(xiàn)象一共有多少種結(jié)果，以及每種結(jié)果伴隨的概率。 1、離散型隨機(jī)變量及其概率分布分布列 概率分布：P X i Pi 例1：10人中，女性3人，抽3人，女性人數(shù)的概率分布。 例2：兩名孕婦，生女?huà)氲母怕史植肌? K 1,P x ,x ,Px1 x2 x dx, xdx 1,2、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布 概率密度函數(shù), ,2）, , 2 ,x 2,x 0, x x,概率密度： x lim,x 0,1）, ,任意兩點(diǎn)（X1，X2）之間的概率為： x2 x1 概率密度 x 存在以下性質(zhì)：,F x P x xdx,P x ,x ,3、分布函數(shù), ,1）定義：F（x）=P（ x） 意義：隨機(jī)變量從最遠(yuǎn)的起點(diǎn)（- ）到所研究的x點(diǎn)所有概率的總和。 2）對(duì)于離散型隨機(jī)變量，則：依據(jù)概率的加法定理：例, , ,頻率 頻率密度, xi , P xi x,F x P x ,3）對(duì)于連續(xù)性隨機(jī)變量，則：依據(jù)單微積分知識(shí)： x 4）分布函數(shù)與概率分布有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 5）幾個(gè)概念的比較：, , 2 ,x 2,x 0, x x, 概率 概率密度 x lim,向上累計(jì)頻率 f i 分布函數(shù),F x P x1 ,例：,家庭子女?dāng)?shù)：,x1 x2 x3 x4,x4,F(x)=？, P(=Xi),1 0.5,2 0.2,3 0.2,4 0.1,E x1 P1 x2 P2 xn Pn xi Pi,1）離散型 x ni xi,2）連續(xù)型E x x dx,二、數(shù)學(xué)期望（總平均值）：, ,1、數(shù)學(xué)期望的公式 n i 1 N 2、數(shù)學(xué)期望與平均值 ni P N 當(dāng)調(diào)查總數(shù)N等于總體個(gè)案時(shí)： 數(shù)學(xué)期望又可稱作總體均值 3、數(shù)學(xué)期望是各隨機(jī)變量取值分別乘以取值的概率， 因此，也稱作隨機(jī)變量的加權(quán)平均值。,例：,兩名學(xué)生拿名次比較：, ,求E(),甲 （名次） p 乙 （名次） p,1 0.2 1 0.3,2 0.5 2 0.3,3 0.3 3 0.4, E i , ,推廣n個(gè) ：,4、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)： 1）常數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于該常數(shù) EC C 2）隨機(jī)變量與常數(shù)之和的期望等于隨機(jī)變量期望與常 數(shù)之和 E C E C 3）E C C E 4）兩個(gè)隨機(jī)變量 E E E 推廣n個(gè)隨機(jī)變量： n i 1 5）兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的期望 E E E ,E12 n E1 E2 En ,方差：D ,三、方差不標(biāo)準(zhǔn)差,1、離散型隨機(jī)變量,2、連續(xù)型隨機(jī)變量, ,方差：D, E E 2 x E 2 Pi ii, ,x E 2 xdx,標(biāo)準(zhǔn)差 ： D 3、方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量的可能值密集在數(shù)學(xué) 期望周?chē)某潭?。方差值越小，密集程度越高；反之則方 差值較大。,P,C D, ,4、計(jì)算過(guò)程 利用公式求 E（）= 求 E（）2 求 E（）2 （ =xi） 2= 5、方差的性質(zhì) 常數(shù)的方差為0 D（+C）= D（） D（ ）=C2 （） 兩個(gè)獨(dú)立變量 D（+ ）= D（）+D（ ） 推廣n個(gè),例題,12名學(xué)生，3女，9男。任抽一人，如為女 生，則不放回，再抽一人，直到抽到男生 為止，求，抽到男生以前已抽出的女生人 數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。,答案,=抽出女生數(shù),P(=0)=9/12=0.75,P(=1)=3/12*9/11=0.2015,P(=2)=3/12*2/11*9/10=0.0409,P(=3