高等數(shù)學(xué)第七章第四部分.ppt

,第四節(jié),一、點的軌跡，方程的概念,二、平面的點法式方程,平面及其方程,三、平面的一般方程,四、 兩平面的夾角,求到兩定點A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點的,化簡得,即,說明: 動點軌跡為線段 AB 的垂直平分面.,引例:,顯然在此平面上的點的坐標(biāo)都滿足此方程,不在此平面上的點的坐標(biāo)不滿足此方程.,解:設(shè)軌跡上的動點為,軌跡方程,一、點的軌跡，方程的概念,水桶的表面、臺燈的罩子面等,曲面的實例：,曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡,曲面方程的定義：,兩個基本問題 :,(1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,求曲面方程.,(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀,空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.,空間曲線的一般方程,特點：曲線上的點都滿足方程， 滿足方程的點都在曲線上， 不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程.,例如,方程組,表示圓柱面與平面的交線 C.,如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該,二、平面的點法式方程,法線向量的特征：,垂直于平面內(nèi)的任一向量,平面的法線向量,設(shè)一平面通過已知點,且垂直于非零,稱式為平面的點法式方程,求該平面的方程.,法向量.,向量,則有,故,平面的點法式方程,法向量,已知點,平面上的點都滿足方程,不在平面上的點都不滿足方程, 方程稱為平面的方程,平面稱為方程的圖形,解,所求平面方程為,化簡得,例2.求過三點,即,解: 取該平面 的法向量為,的平面 的方程.,利用點法式得平面 的方程,取法向量,化簡得,所求平面方程為,解,由點法式方程,平面的一般方程,法向量,三、平面的一般方程,任一三元一次方程的圖形總是一個平面。,平面通過 軸；,特殊情形, 當(dāng) D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示,通過原點的平面;, 當(dāng) A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 軸;, A x+C z+D = 0 表示,平行于 y 軸的平面;, A x+B y+D = 0 表示,平行于 z 軸的平面;,A = 0 ,D = 0時, B y + C z = 0, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D =0 表示,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,例3. 求通過 x 軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程.,解:,因平面通過 x 軸 , 從而平面過原點，且,設(shè)所求平面方程為,代入已知點,得,化簡,得所求平面方程,法向量垂直于x軸，,所以，平面方程為,設(shè)平面為,將三點坐標(biāo)代入得,解,將,代入所設(shè)方程得,平面的截距式方程,三、兩平面的夾角,設(shè)平面1的法向量為,平面2的法向量為,則兩平面夾角 的余弦為,兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.,按照兩向量夾角余弦公式有,特別有下列結(jié)論：,例5. 求兩平面,解:,的夾角.,例6. 一平面通過兩點,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 設(shè)所求平面的法向量為,即,的法向量,和,故,方程為,且,所求平面過 點，所以所求平面,為所求平面上的向量,因此有,約去C , 得,即,外一點,求,例7. 設(shè),解:設(shè)平面法向量為,在平面上取一點,是平面,到平面的距離d .,則P0 到平面的距離為,(點到平面的距離公式),到平面,的距離,點,內(nèi)容小結(jié),1.平面基本方程:,一般式,點法式,截距式,2.平面與平面之間的關(guān)系,平面,平面,垂直:,平行:,夾角公式:,點到平面距離公式,備用題,求過點,且垂直于二平面,和,的平面方程.,解: 已知二平面的法向量為,取