2018版高中數(shù)學第一章全稱量詞與存在量詞1.4.1全稱量詞1.4.2存在量詞學案新人教A版.doc

1.4.1全稱量詞 1.4.2存在量詞學習目標1.理解全稱量詞與存在量詞的含義.2.理解并掌握全稱命題和特稱命題的概念.3.能判定全稱命題和特稱命題的真假并掌握其判斷方法.知識點一全稱量詞、全稱命題思考觀察下面的兩個語句，思考下列問題：P：m5；Q：對所有的mR，m5.(1) 上面的兩個語句是命題嗎？二者之間有什么關系？(2)常見的全稱量詞有哪些？(至少寫出五個).答案(1)語句P無法判斷真假，不是命題；語句Q在語句P的基礎上增加了“所有的”，可以判斷真假，是命題.語句P是命題Q中的一部分.(2)常見的全稱量詞有：“任意一個”“一切”“每一個”“任給”“所有的”“凡是”等.梳理(1)概念短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.(2)表示將含有變量x的語句用p(x)，q(x)，r(x)，表示，變量x的取值范圍用M表示.那么，全稱命題“對M中任意一個x，有p(x)成立”可用符號簡記為xM，p(x)，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”.(3)全稱命題的真假判定要判定全稱命題是真命題，需要對集合M中每個元素x，證明p(x)成立，但要判定全稱命題是假命題，只需舉出一個x0M，使得p(x0)不成立即可.知識點二存在量詞、特稱命題思考觀察下面的兩個語句，思考下列問題：P：m5；Q：存在一個m0Z，m05. (1)上面的兩個語句是命題嗎？二者之間有什么關系？(2)常見的存在量詞有哪些？(至少寫出五個)答案(1)語句P無法判斷真假，不是命題；語句Q在語句P的基礎上增加了“存在一個”，可以判斷真假，是命題.語句P是命題Q中的一部分.(2)常見的存在量詞有：“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“對某個”“有的”等.梳理(1)概念短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示.含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.(2)表示特稱命題“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符號簡記為x0M，p(x0)，讀作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.(3)特稱命題真假判定要判定一個特稱命題是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)成立即可，否則這一特稱命題就是假命題.類型一全稱命題與特稱命題的判斷命題角度1全稱命題與特稱命題的不同表述例1設p(x)：2x是偶數(shù)，試用不同的表述方式寫出下列命題：(1)全稱命題：xN，p(x)；(2)特稱命題：x0N，p(x0).解(1)全稱命題：對所有的自然數(shù)x，2x是偶數(shù)；對一切的自然數(shù)x，2x是偶數(shù)；對每一個自然數(shù)x，2x是偶數(shù)；任選一個自然數(shù)x，2x是偶數(shù)；凡自然數(shù)x，都有2x是偶數(shù).(2)特稱命題：存在一個自然數(shù)x0，使得2x0是偶數(shù)；至少有一個自然數(shù)x0，使得2x0是偶數(shù)；對有些自然數(shù)x0，使得2x0是偶數(shù)；對某個自然數(shù)x0，使得2x0是偶數(shù)；有一個自然數(shù)x0，使得2x0是偶數(shù).反思與感悟全稱命題或特稱命題的表述形式雖然很多，但是具體到一個問題時最為恰當?shù)膮s只有一個，解題時注意理解.跟蹤訓練1“有些整數(shù)是自然數(shù)”這一命題為_命題.(填“全稱”或“特稱”)答案特稱解析依據(jù)特稱命題的構(gòu)成易得.命題角度2全稱命題與特稱命題的識別例2判斷下列命題是全稱命題，還是特稱命題：(1)凸多邊形的外角和等于360；(2)有的向量方向不定；(3)對任意角，都有sin2cos21.解(1)可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和等于360”，故為全稱命題.(2)含有存在量詞“有的”，故是特稱命題.(3)含有全稱量詞“任意”，故是全稱命題.反思與感悟判斷一個命題是全稱命題還是特稱命題的關鍵是看量詞.由于某些全稱命題的量詞可能省略，所以要根據(jù)命題表達的意義判斷，同時要會用相應的量詞符號正確表達命題.跟蹤訓練2判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并用符號“”或“”表示下列命題.(1)自然數(shù)的平方大于或等于零；(2)圓x2y21上存在一個點到直線yx1的距離等于圓的半徑；(3)有的函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)；(4)對于數(shù)列，總存在正整數(shù)n0，使得與1之差的絕對值小于0.01.解(1)是全稱命題，表示為xN，x20.(2)是特稱命題，表示為(x0，y0)(x，y)|x2y21，滿足1. (3)是特稱命題，f(x)函數(shù)，f(x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù).(4)是特稱命題，n0N*，|1|0.01，其中.類型二全稱命題與特稱命題的真假的判斷例3判斷下列命題的真假.(1)在平面直角坐標系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x，y)都對應一點P；(2)存在一個函數(shù)，既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)；(3)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)來表示；(4)存在一個實數(shù)x0，使得等式xx080成立；(5)xR，x23x20；(6)x0R，x3x020.解(1)真命題.(2)真命題，如函數(shù)f(x)0，既是偶函數(shù)又是奇函數(shù).(3)假命題，如邊長為1的正方形，其對角線的長度為，就不能用正有理數(shù)表示.(4)假命題，方程x2x80的判別式310，故方程無實數(shù)解.(5)假命題，只有x2或x1時，等式x23x20才成立.(6)真命題，x02或x01，都能使等式x3x020成立.反思與感悟要判定全稱命題“xM，p(x)”是真命題，需要對集合M中每個元素x，證明p(x)都成立；如果在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0)不成立，那么這個全稱命題就是假命題.要判定特稱命題“x0M，p(x0)”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么這個特稱命題就是假命題.跟蹤訓練3判斷下列命題的真假：(1)有一些奇函數(shù)的圖象過原點；(2)x0R，2xx010，不存在x0R，使2xx01x；(2)命題p(x)：x25x60；(3)命題p(x)：sin xcos x.解(1)x1x，10(此式恒成立)，xR.(2)x25x60，(x2)(x3)0，x3或xcos x，2kx2k(kZ).反思與感悟已知含量詞的命題真假求參數(shù)的取值范圍，實質(zhì)上是對命題意義的考查.解決此類問題，一定要辨清參數(shù)，恰當選取主元，合理確定解題思路.解決此類問題的關鍵是根據(jù)含量詞命題的真假轉(zhuǎn)化為相關數(shù)學知識，利用函數(shù)、方程、不等式等知識求解參數(shù)的取值范圍，解題過程中要注意變量取值范圍的限制.跟蹤訓練4若方程x2ax10，x22ax20，x2ax40中至少有一個方程有實根，求a的取值范圍.解由方程x2ax10無實根，可知a240，即a24，即2a2，由方程x22ax20無實根，可知a220，即a22，即a，由方程x2ax40無實根，可知a2160，即a216，即4a4，當a22，即a時，三個方程均無實根.當a或a時，三個方程中至少有一個方程有實根.故a的取值范圍為(，).1.下列命題中，不是全稱命題的是()A.任何一個實數(shù)乘以0都等于0B.自然數(shù)都是正整數(shù)C.每一個向量都有大小D.一定存在沒有最大值的二次函數(shù)答案D解析D選項是特稱命題.2.命題p：xN，x3x2；命題q：a(0，1)(1，)，函數(shù)f(x)loga(x1)的圖象過點(2，0)，則()A.p假q真 B.p真q假C.p假q假 D.p真q真答案A解析x3x2，x2(x1)0，x0或0x1，故命題p為假命題，易知命題q為真命題，故選A.3.已知函數(shù)f(x)|2x1|，若命題“存在x1，x2a，b且x1f(x2)”為真命題，則下列結(jié)論一定成立的是()A.a0 B.a1答案B解析函數(shù)f(x)|2x1|的圖象如圖所示：由圖可知f(x)在(，0)上為減函數(shù)，在(0，)上為增函數(shù)，要滿足存在x1，x2a，b且x1f(x2)為真命題，則必有a0，故選B.4.特稱命題“x0R，|x0|20”是_命題.(填“真”或“假”)答案假解析不存在任何實數(shù)，使得|x|20，所以是假命題.5.若命題“x0R，xmx02m30”為假命題，則實數(shù)m的取值范圍是_.答案2，6解析由已知得“xR，x2mx2m30”為真命題，則m241(2m3)m28m120，解得2m6，即實數(shù)m的取值范圍是2，6.1.判斷全稱命題的關鍵：一是先判斷是不是命題；二是看是否含有全稱量詞.2判定全稱命題的真假的方法.定義法：對給定的集合的每一個元素x，p(x)都為真；代入法：在給定的集合內(nèi)找出一個x0，使p(x0)為假，則全稱命題為假.3.判定特稱命題真假的方法：代入法，在給定的集合中找到一個元素x0，使命題p(x0)為真，否則命題為假.40分鐘課時作業(yè)一、選擇題1.下列命題中為真命題的是()A.x0R，x13D.xQ，x2Z答案B2.已知命題p：對任意xR，總有2x0；q：“x1”是“x2”的充分不必要條件，則下列命題為真命題的是()A.pq B.(綈p)(綈q) C.(綈p)q D.p(綈q)答案D解析p為真命題，q為假命題，故綈p為假命題，綈q為真命題.從而pq為假，(綈p)(綈q)為假，(綈p)q為假，p(綈q)為真，故選D.3.已知命題“x0R，使2x(a1)x00”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(，1) B.(1，3)C.(3，) D.(3，1)答案B解析原命題的否定為xR，2x2(a1)x0，由題意知，原命題的否定為真命題，則(a1)2420，則2a12，則1a3.故選B.4.已知命題“x0R，xax04a0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為()A.16，0 B.(16，0) C.4，0 D.(4，0)答案A解析由題意可知“xR，x2ax4a0”為真命題，a216a0，解得16a0，故選A.5.下列四個命題：沒有一個無理數(shù)不是實數(shù)；空集是任何一個非空集合的真子集；113；命題q：x(0，)，tan xsin x，則下列是真命題的是()A.(綈p)q B.(綈p)(綈q) C.p(綈q) D.p(綈q)答案D解析當x1時，2131，所以p為真命題；當x(0，)時，tan xsin x0，所以q為真命題，所以p(綈q)是真命題，故選D.二、填空題7.已知命題p：xR，x22xa0.若p為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_.答案(，1)解析由題意得44a0，解得a0成立，符號表示為_.答案(1)xR，有x20(2)x0，y0R，使2x03y030成立解析由題意，可表示為(1)xR，有x20.(2)x0，y0R，使2x03y030成立.10.已知命題p：“x0，1，aex”，命題q：“x0R，x4x0a0”，若命題“pq”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_.答案e，4解析由命題“pq”是真命題，得命題p，q都是真命題. 因為x0，1，所以ex1，e，所以ae；x0R，x4x0a0，即方程x24xa0有實數(shù)根，所以424a0，解得a4，取交集得ae，4.三、解答題11.判斷下列命題是否為全稱命題或特稱命題，若是，用符號表示，并判斷其真假.(1)存在一條直線，其斜率不存在；(2)對所有的實數(shù)a，b，方程axb0都有惟一解；(3)存在實數(shù)x0，使得2.解(1)是特稱命題，用符號表示為“直線l，l的斜率不存在”，是真命題.(2)是全稱命題，用符號表示為“a，bR，方程axb0都有惟一解”，是假命題.(3)是特稱命題，用符號表示為“x0R，2”，是假命題.12.已知命題p：“x1，2，x2a0”，命題q：“x0R，x2ax02a0”，若命題“p且q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍.解由“p且q”是真命題，知p為真命題，q也為真命題.若p為真命題，則ax2對于x1，2恒成立，所以a1.若q為真命題，則關于x的