（浙江專用）高考數(shù)學(xué)第三章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第五節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)教案（含解析）.docx

第五節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)1五種常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)特征性質(zhì)yxyx2yx3yxyx1圖象定義域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增(，0)減，(0，)增增增(，0)和(0，)減公共點(diǎn)(1,1)2二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)頂點(diǎn)式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零點(diǎn)式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)f(x)ax2bxca0a0圖象定義域R值域單調(diào)性在上遞減，在上遞增在上遞增，在上遞減奇偶性b0時(shí)為偶函數(shù)，b0時(shí)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)圖象特點(diǎn)對稱軸：x；頂點(diǎn)：小題體驗(yàn)1已知冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則f(2)()AB4C D解析：選C設(shè)f(x)x，圖象過點(diǎn)，f(4)4，解得，f(2)2.2函數(shù)f(x)(m2m1)xm是冪函數(shù)，且在x(0，)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為_解析：f(x)(m2m1)xm是冪函數(shù)，m2m11，解得m1或m2.又f(x)在(0，)上為增函數(shù)，m2.答案：23已知f(x)4x2mx5在2，)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)4x2mx5的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以2，即m16.答案：(，161對于函數(shù)yax2bxc，要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a0，當(dāng)題目條件中未說明a0時(shí)，就要討論a0和a0兩種情況2冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)小題糾偏1已知函數(shù)f(x)ax2x5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是_答案：2給出下列命題：函數(shù)y2x是冪函數(shù)；如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)；當(dāng)n0時(shí)，冪函數(shù)yxn是定義域上的減函數(shù)；二次函數(shù)yax2bxc，xm，n的最值一定是.其中正確的是_(填序號)答案：題組練透1已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(9,3)，則f(2)f(1)()A3B1C.1 D1解析：選C設(shè)冪函數(shù)f(x)x，則f(9)93，即，所以f(x)x，所以f(2)f(1)1.2當(dāng)x(0，)時(shí)，冪函數(shù)y(m2m1)x5m3為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A2 B1C1或2 Dm解析：選B因?yàn)楹瘮?shù)y(m2m1)x5m3既是冪函數(shù)又是(0，)上的減函數(shù)，所以解得m1.3冪函數(shù)yxm22m3(mZ)的圖象如圖所示，則m的值為()A1 B0C1 D2解析：選C從圖象上看，由于圖象不過原點(diǎn)，且在第一象限下降，故m22m30，即1m3；又從圖象看，函數(shù)是偶函數(shù)，故m22m3為負(fù)偶數(shù)，將m0,1,2分別代入，可知當(dāng)m1時(shí)，m22m34，滿足要求4若(a1)(32a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：易知函數(shù)yx的定義域?yàn)?，)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以解得1a.答案：謹(jǐn)記通法冪函數(shù)的指數(shù)與圖象特征的關(guān)系(1)冪函數(shù)的形式是yx(R)，其中只有一個(gè)參數(shù)，因此只需一個(gè)條件即可確定其解析式(2)若冪函數(shù)yx(R)是偶函數(shù)，則必為偶數(shù)當(dāng)是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷(3)若冪函數(shù)yx在(0，)上單調(diào)遞增，則0，若在(0，)上單調(diào)遞減，則0.典例引領(lǐng)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式解：法一：(利用二次函數(shù)的一般式)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由題意得解得故所求二次函數(shù)為f(x)4x24x7.法二：(利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式)設(shè)f(x)a(xm)2n.f(2)f(1)，拋物線對稱軸為x.m，又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，n8，yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.法三：(利用兩根式)由已知f(x)10的兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8，即8.解得a4或a0(舍去)，故所求函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.由題悟法求二次函數(shù)解析式的方法即時(shí)應(yīng)用已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解：f(2x)f(2x)對xR恒成立，f(x)的對稱軸為x2.又f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，f(x)0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)a(x1)(x3)(a0)又f(x)的圖象過點(diǎn)(4,3)，3a3，a1.所求f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.鎖定考向高考對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進(jìn)行單獨(dú)考查的頻率較低常與一元二次方程、一元二次不等式等知識交匯命題是高考的熱點(diǎn)，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用常見的命題角度有：(1)二次函數(shù)的單調(diào)性問題；(2)二次函數(shù)的最值問題；(3)二次函數(shù)中恒成立問題 題點(diǎn)全練角度一：二次函數(shù)的單調(diào)性問題1已知函數(shù)f(x)ax2(a3)x1在區(qū)間1，)上是遞減的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A3,0)B(，3C2,0 D3,0解析：選D當(dāng)a0時(shí)，f(x)3x1在1，)上遞減，滿足題意當(dāng)a0時(shí)，f(x)的對稱軸為x，由f(x)在1，)上遞減知解得3a0.綜上，a的取值范圍是3,0角度二：二次函數(shù)的最值問題2若函數(shù)f(x)ax22ax1在1,2上有最大值4，則a的值為_解析：f(x)a(x1)21a.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，最大值為f(2)8a14，解得a；當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，最大值為f(1)1a4，解得a3.綜上可知，a的值為或3.答案：或3角度三：二次函數(shù)中恒成立問題3已知函數(shù)f(x)x2x1，在區(qū)間1,1上，不等式f(x)2xm恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：f(x)2xm等價(jià)于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1,1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上單調(diào)遞減，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，1)答案：(，1)通法在握1二次函數(shù)最值問題的3種類型及解題思路(1)類型：對稱軸、區(qū)間都是給定的；對稱軸動(dòng)、區(qū)間固定；對稱軸定、區(qū)間變動(dòng)(2)思路：抓“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對稱軸2由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的2大思路及1個(gè)關(guān)鍵(1)思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)(2)關(guān)鍵：兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否可分離這兩個(gè)思路的依據(jù)是：af(x)af(x)max，af(x)af(x)min.演練沖關(guān)1若二次函數(shù)ykx24x2在區(qū)間1,2上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A2，) B(2，)C(，0) D(，2)解析：選A二次函數(shù)ykx24x2的對稱軸為x，當(dāng)k0時(shí)，要使函數(shù)ykx24x2在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，只需1，解得k2.當(dāng)k0時(shí)，0，此時(shí)拋物線的對稱軸在區(qū)間1,2的左側(cè)，該函數(shù)ykx24x2在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，不符合要求綜上可得，實(shí)數(shù)k的取值范圍為2，)2已知yf(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)(x1)2，若當(dāng)x時(shí)，nf(x)m恒成立，則mn的最小值為()A. BC.D1解析：選D設(shè)x0，則x0，有f(x)(x1)2(x1)2.又f(x)f(x)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)(x1)2，該函數(shù)在上的最大值為1，最小值為0，依題意，nf(x)m恒成立，則n0，m1，即mn1，故mn的最小值為1.3設(shè)函數(shù)f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函數(shù)f(x)的最小值解：f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函數(shù)圖象的對稱軸為x1.當(dāng)t11，即t0時(shí)，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上為減函數(shù)，所以最小值為f(t1)t21；當(dāng)t1t1，即0t1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(2)所示，在對稱軸x1處取得最小值，最小值為f(1)1；當(dāng)t1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上為增函數(shù)，所以最小值為f(t)t22t2.綜上可知，f(x)min一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快1冪函數(shù)yf(x)經(jīng)過點(diǎn)(3，)，則f(x)是()A偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)B偶函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)C奇函數(shù)，且在(0，)上是減函數(shù)D非奇非偶函數(shù)，且在(0，)上是增函數(shù)解析：選D設(shè)冪函數(shù)的解析式為yx，將(3，)代入解析式得3，解得，所以yx.故選D.2(2018麗水調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a0，xR)，對任意實(shí)數(shù)t都有f(2t)f(2t)成立，在函數(shù)值f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一個(gè)不可能是()Af(1)Bf(1)Cf(2) Df(5)解析：選B由f(2t)f(2t)知函數(shù)yf(x)的圖象對稱軸為x2.當(dāng)a0時(shí)，易知f(5)f(1)f(1)f(2)；當(dāng)a0時(shí)，f(5)f(1)f(1)f(2)，故最小的不可能是f(1)3(2018金華模擬)已知冪函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則它的單調(diào)遞增區(qū)間為()A(0，) B0，)C(，0) D(，)解析：選C設(shè)冪函數(shù)f(x)x，f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，2，解得2，則f(x)x2，且x0，yx2在(，0)上遞減，在(0，)上遞增，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)4定義：如果在函數(shù)yf(x)定義域內(nèi)的給定區(qū)間a，b上存在x0(ax0b)，滿足f(x0)，則稱函數(shù)yf(x)是a，b上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)，如yx4是1,1上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)現(xiàn)有函數(shù)f(x)x2mx1是1,1上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x2mx1是1,1上的平均值函數(shù)，設(shè)x0為均值點(diǎn)，所以mf(x0)，即關(guān)于x0的方程xmx01m在(1,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根，解方程得x01或x0m1.所以必有1m11，即0m2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,2)答案：(0,2)5若函數(shù)f(x)x22x1在區(qū)間a，a2上的最小值為4，則實(shí)數(shù)a的取值集合為_解析：函數(shù)f(x)x22x1(x1)2的圖象的對稱軸為直線x1，且f(x)在區(qū)間a，a2上的最小值為4，當(dāng)a1時(shí)，f(a)(a1)24，a1(舍去)或a3；當(dāng)a21，即a1時(shí)，f(a2)(a1)24，a1(舍去)或a3；當(dāng)a1a2，即1a1時(shí)，f(1)04.故a的取值集合為3,3答案：3,3二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo)1已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)f(x)(m1)xn的圖象上，設(shè)af，bf(ln )，cf，則a，b，c的大小關(guān)系為()Acab BabcCbca Dbac解析：選A根據(jù)題意，m11，m2，2n8，n3，f(x)x3.f(x)x3是定義在R上的增函數(shù)，又001ln ，cab.2設(shè)abc0，二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是()解析：選D由A、C、D知，f(0)c0.abc0，ab0，對稱軸x0，知A、C錯(cuò)誤，D符合要求由B知f(0)c0，ab0，x0，B錯(cuò)誤故選D.3(2018諸暨月考)已知冪函數(shù)f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，則n的值為()A3 B1C2 D1或2解析：選B冪函數(shù)f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，解得n1.4若a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是()AabcBcabCbca Dbac解析：選Dyx(x0)是增函數(shù)，ab.yx是減函數(shù)，ac，bac.5若函數(shù)yx23x4的定義域?yàn)?，m，值域?yàn)?，則m的取值范圍是()A0,4B.C. D.解析：選D二次函數(shù)圖象的對稱軸為x，且f，f(3)f(0)4，由圖得m.6(2018寧波模擬)已知函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)，對于任意實(shí)數(shù)a，總存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)xm，m1時(shí)，使得f(x)0恒成立，則b的取值范圍為_解析：設(shè)f(x)x2axb0，有兩根x1，x2，4ba2，x1x2a，x1x2b，對于任意實(shí)數(shù)a，總存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)xm，m1時(shí)，使得f(x)0恒成立，(x1x2)21恒成立，a214b，b，故b的取值范圍為.答案：7已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則ab_.解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)x0時(shí)，x0，所以f(x)x2x，f(x)ax2bx，而f(x)f(x)，即x2xax2bx，所以a1，b1，故ab0.答案：08已知對于任意的x(，1)(5，)，都有x22(a2)xa0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：4(a2)24a4a220a164(a1)(a4)(1)若0，即1a4時(shí)，x22(a2)xa0在R上恒成立，符合題意；(2)若0，即a1或a4時(shí)，方程x22(a2)xa0的解為xa2，顯然當(dāng)a1時(shí)，不符合題意，當(dāng)a4時(shí)，符合題意；(3)當(dāng)0，即a1或a4時(shí)，因?yàn)閤22(a2)xa0在(，1)(5，)上恒成立，所以解得3a5，又a1或a4，所以4a5.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,5答案：(1,59(2018杭州五校聯(lián)盟)已知值域?yàn)?，)的二次函數(shù)滿足f(1x)f(1x)，且方程f(x)0的兩個(gè)實(shí)根x1，x2滿足|x1x2|2.(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)函數(shù)g(x)f(x)kx在區(qū)間1,2內(nèi)的最大值為f(2)，最小值為f(1)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解：(1)f(1x)f(1x)，可得f(x)的圖象關(guān)于x1對稱，設(shè)f(x)a(x1)2hax22axah，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，)，可得h1，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x22，x1x21，|x1x2| 2，解得ah1，f(x)x22x.(2)由題意得函數(shù)g(x)在區(qū)間1,2遞增，又g(x)f(x)kxx2(k2)x2，1，即k0，綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為(，010(2017紹興期中)已知函數(shù)f(x)x22bxc，設(shè)函數(shù)g(x)|f(x)|在區(qū)間1,1上的最大值為M.(1)若b2，試求出M；(2)若Mk對任意的b，c恒成立，試求k的最大值解：(1)當(dāng)b2時(shí)，函數(shù)f(x)x22bxcx24xc(x2)24c，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上是增函數(shù)，則M是g(1)和g(1)中較大的一個(gè)，又g(1)|5c|，g(1)|3c|，則M(2)g(x)|f(x)|(xb)2b2c|，當(dāng)|b|1時(shí)，yg(x)在區(qū)間1,1上是單調(diào)函數(shù)，則Mmaxg(1)，g(1)，而g(1)|12bc|，g(1)|12bc|，則2M g(1)g(1)|f(1)f(1)|4|b|4，可知M 2.當(dāng)|b|1時(shí)，函數(shù)yg(x)的對稱軸xb位于區(qū)間1，1之內(nèi)，此時(shí)Mmaxg(1)，g(1)，g(b)，又g(b)|b2c|，a當(dāng)1b0時(shí)，有f(1)f(1)f(b)，則Mmaxg(b)，g(1)(g(b)g(1)|f(b)f(1)|(b1)2；b當(dāng)0b1時(shí)，有f(1)f(1)f(b)則Mmaxg(b)，g(1)(g(b)g(1)|f(b)f(1)|(