《哈密頓力學(xué)》PPT課件.ppt

4 哈密頓動(dòng)力學(xué),1 正則方程 2 守恒原理 3 泊松括號(hào)和泊松定理 4 劉維定理 5 哈密頓原理 6 正則變換 7 哈密頓雅可比原理,拉格朗日動(dòng)力學(xué),哈密頓動(dòng)力學(xué),從量綱來(lái)分析：,能量時(shí)間,=作用量,1. 哈密頓正則方程,完整、保守的系統(tǒng)，動(dòng)力學(xué)方程為拉格朗日方程,是廣義坐標(biāo)的二階微分方程，可改寫為,廣義動(dòng)量定義為,2s個(gè)一階微分方程作為系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程,用廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量來(lái)代替廣義坐標(biāo)和廣義速度,一、正則方程,從廣義動(dòng)量的定義,解出廣義速度,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，但形式由廣義坐標(biāo)的選取來(lái)確定,哈密頓正則方程,二、特性函數(shù),三、勒讓德變換,兩個(gè)自變量的函數(shù),四個(gè)變量之間的兩個(gè)方程，其中的2個(gè)是獨(dú)立的,以u(píng)，y為獨(dú)立變量，則,構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù),因此,舊獨(dú)立變量,舊獨(dú)立變量,新獨(dú)立變量,不要的原獨(dú)立變量=,新函數(shù),新獨(dú)立變量,=新的不獨(dú)立變量,原不獨(dú)立變量= -,新函數(shù),新獨(dú)立變量,舊函數(shù),保留的獨(dú)立變量,=,=保留的不獨(dú)立變量,比較,將 f 換成 g 后,第一式：u 與 x 對(duì)易,第二式：加負(fù)號(hào),這種由一組獨(dú)立變量(x,y)變?yōu)榱硪唤M獨(dú)立變量(u,y)的變換成為勒讓德變換,勒讓德變換指出：獨(dú)立變量改變，相應(yīng)的函數(shù)本身隨之改變，這樣不獨(dú)立變量仍可以用獨(dú)立變量的偏導(dǎo)數(shù)表示,由勒讓德變換給出正則方程：,拉格朗日變量：,哈密頓變量：,新函數(shù),新的獨(dú)立變量,不要的原獨(dú)立變量,舊函數(shù),根據(jù)前面我們得到的勒讓德變換有：,這些勒讓德變換只是數(shù)學(xué)內(nèi)容，考慮拉格朗日方程，,則有,哈密頓量 H=Ep+Ek,動(dòng)量定義,牛頓第二定律,p 廣義動(dòng)量 x廣義位移,即：,哈密頓正則方程：,一維彈簧振子的運(yùn)動(dòng),哈密頓變量：,哈密頓正則方程,哈密頓函數(shù)：,拉格朗日變量：,哈密頓變量：,對(duì)比,可得,考慮拉格朗日方程，,因此有：,2. 守恒原理,一、能量積分,哈密頓量：,對(duì)時(shí)間求微商：,考慮正則方程,也就是說(shuō)，哈密頓函數(shù)H中不顯含時(shí)間t，,則有,表示一積分常數(shù),廣義能量守恒,由拉格朗日動(dòng)力學(xué)可知,穩(wěn)定約束：,體系機(jī)械能守恒,不穩(wěn)定約束：,廣義能量守恒,二、循環(huán)積分，可遺坐標(biāo),若哈密頓函數(shù)H 中不顯含某一廣義坐標(biāo),則由正則方程，立即有,也就是,這就是哈密頓動(dòng)力學(xué)中的廣義動(dòng)量守恒原理,拉格朗日動(dòng)力學(xué)：拉格朗日函數(shù)中不顯含某一廣義坐標(biāo),哈密頓動(dòng)力學(xué)：哈密頓函數(shù)中不顯含某一廣義坐標(biāo),廣義動(dòng)量守恒原理的條件：,這兩個(gè)條件實(shí)際上是等價(jià)的,即在L和H中，若其一不含廣義坐標(biāo) 則另一必定也不含有,可遺坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量 守恒,不含于L或H 的廣義坐標(biāo) 稱為可遺坐標(biāo),若體系某一廣義動(dòng)量守恒，給問(wèn)題的求解帶來(lái)方便，這在拉格朗日動(dòng)力學(xué)和哈密頓動(dòng)力學(xué)中是相同的，但在哈密頓動(dòng)力學(xué)中更適合于處理可遺坐標(biāo)；,拉格朗日函數(shù)中雖然可以含有可遺坐標(biāo) ，但是可以含有相應(yīng)的廣義速度 ，問(wèn)題仍然是s個(gè)自由度；,而哈密頓函數(shù)中，不僅不含有可遺坐標(biāo) ，而相應(yīng)的廣義動(dòng)量 是個(gè)常數(shù)，因此這一自由度相當(dāng)于已經(jīng)解出，只要求解其他自由度即可。,可見(jiàn)在哈密頓動(dòng)力學(xué)中可遺坐標(biāo)才是正真的可以忽略,想一想：為什么不討論L中不顯含 ，或H中不顯含 的問(wèn)題？,例1 質(zhì)量為M的楔子置于光滑的水平桌面上. 楔子底面也是光滑的, 斜面卻是粗糙的, 質(zhì)量為m, 半徑為R的圓柱體沿著楔子斜面無(wú)滑動(dòng)地滾下. 求解楔子和圓柱體的運(yùn)動(dòng).,解 楔子可在水平方向運(yùn)動(dòng). 取桌面上的固定點(diǎn)O為原點(diǎn), 把楔子的質(zhì)心(其實(shí)不一定要質(zhì)心，改為楔子的任一點(diǎn)也行)相對(duì)于O點(diǎn)的水平坐標(biāo)記作X.,圓柱體可在楔子的斜面上滾動(dòng). 把圓柱軸相對(duì)于楔子斜面上端并沿斜邊計(jì)算的坐標(biāo)記作q,把圓柱某根半徑與豎直向下之間的夾角記作, 無(wú)滑動(dòng)這個(gè)約束條件可寫為,這個(gè)運(yùn)動(dòng)約束可以積分為,故,這是一個(gè)完整約束, q 和 不獨(dú)立. 這個(gè)系統(tǒng)有兩個(gè)自由度,可以選 x 和 是兩個(gè)獨(dú)立的廣義坐標(biāo).,主動(dòng)力都是重力. 圓柱體的勢(shì)能,楔子的動(dòng)能為,圓柱的動(dòng)能包括質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能和繞,質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,所以,按定義, 廣義動(dòng)量,所以得到廣義速度,于是, 系統(tǒng)的哈密頓函數(shù),哈密頓函數(shù)不含有廣義坐標(biāo)X, 所以X是循環(huán)坐標(biāo), 相應(yīng)的廣義動(dòng)量守恒,此時(shí)對(duì) 的正則方程為:,所以,這是勻加速轉(zhuǎn)動(dòng), 積分一次,簡(jiǎn)單推導(dǎo), 可得,例2：寫出粒子在中心勢(shì)場(chǎng)V=-a/r中哈密頓函數(shù)和正則方程。,解：自由度是2，廣義坐標(biāo)r、。,廣義動(dòng)量：,中心勢(shì)場(chǎng)粒子的能量守恒，因此粒子的哈密頓函數(shù)為：,可以解得正則方程：,該題還可解得,粒子的徑向運(yùn)動(dòng)方程,角動(dòng)量守恒定律,例3 分別用笛卡兒坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)寫出一個(gè) 自由質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)場(chǎng)V( )中的哈密頓函數(shù)H。,解: 體系為質(zhì)點(diǎn)，自由度數(shù)s3。,（1）在笛卡兒坐標(biāo)系中，取x，y，z為廣義坐標(biāo)， 則拉格朗日函數(shù)L為,（2）在柱面坐標(biāo)系中,L = TV,（3）在球面坐標(biāo)系中,V=V（r，）,V（r，）,例4 求彈性雙原子分子的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)。設(shè)兩 原子之間相互作用的彈性力為 F = k（rr0）其中r為兩原子間距離，r0為兩原子處在平衡時(shí)的距離。,解: 為了求出拉格朗日函數(shù)，應(yīng)先求分子的動(dòng)能。,T = TcT ,兩原子相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能,質(zhì)心動(dòng)能,把兩原子相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能轉(zhuǎn)換為 m2 相對(duì)于 m1 的運(yùn)動(dòng)。,L = TV,例5 一質(zhì)量為m的自由質(zhì)點(diǎn)，受力 為位矢，,k為大于零的常數(shù)。求在直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。,解: 取x，y，z為廣義坐標(biāo)。動(dòng)能為,例6 應(yīng)用哈密頓正則方程求核外電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。設(shè)電子 的電量為e，原子核帶電為Ze，Z為原子序數(shù)。, 是循環(huán)坐標(biāo):,p = C,可見(jiàn)電子的運(yùn)動(dòng)與 無(wú)關(guān)，可令 ，則 。,在拉格朗日動(dòng)力學(xué)中, 從拉格朗日函數(shù)可以直接寫出動(dòng)力學(xué)方程即拉格朗日方程. 在哈密頓動(dòng)力學(xué)中, 必須從拉格朗日函數(shù)轉(zhuǎn)到哈密頓函數(shù), 才可寫出動(dòng)力學(xué)方程即哈密頓正則方程,從哈密頓正則方程消去廣義動(dòng)量的結(jié)果其實(shí)不過(guò)是從另一條路徑達(dá)到拉格朗日方程, 所以哈密頓動(dòng)力學(xué)不如拉格朗日動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)便.,哈密頓動(dòng)力學(xué)的優(yōu)點(diǎn)之一是便于量子化.另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)在變量的變換中比較自由：拉格朗日動(dòng)力學(xué)采用的變量廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量并不對(duì)等, 只能對(duì)廣義坐標(biāo)進(jìn)行變換, 而廣義速度也隨之而變. 哈密頓動(dòng)力學(xué)采用的變量坐標(biāo)和動(dòng)量是完全對(duì)等的,不僅可以對(duì)廣義坐標(biāo)進(jìn)行變換,而且可以坐標(biāo)和動(dòng)量一起變換, 這個(gè)到下面正則變換時(shí)進(jìn)一步分析.,3. 泊松括號(hào)和泊松定理,哈密頓正則方程,對(duì)于循環(huán)坐標(biāo),不顯含時(shí)間t，則有,稱為運(yùn)動(dòng)積分,當(dāng)體系運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果函數(shù) 則稱其為正則方程的一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分,若 都是正則方程的運(yùn)動(dòng)積分，則這些積分的任意函數(shù) 任然是正則方程的積分,若找到了2s個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)積分,則由,可以解出,即為正則方程的解。,如果函數(shù) 是正則變量q, p 和時(shí)間的函數(shù),則它對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為,其中, H叫做泊松括號(hào).,一、泊松括號(hào)的定義,如果函數(shù) 在運(yùn)動(dòng)中保持為常數(shù),則,如果函數(shù) 也是正則變量和時(shí)間的函數(shù),泊松括號(hào),定義為,二、泊松括號(hào)的性質(zhì),雅可比恒等式,例1 計(jì)算泊松括號(hào)Ly,Lz,Lz,Lx和Lx,Ly; Lx,L2,Ly,L2 和Lz,L2. 這里L(fēng)是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量.,解: 這里廣義坐標(biāo)q1=x,q2=y, q3=z; 廣義動(dòng)量p1=px,p2=py, p3=pz;,先計(jì)算泊松括號(hào)Ly,Lz,即,同理,同理,三、泊松定理,如果函數(shù), 都是相空間中的運(yùn)動(dòng)積分, 則它們的組合, 也是相空間中的運(yùn)動(dòng)積分.,證明：,顯然,也是運(yùn)動(dòng)常數(shù). 還可以通過(guò)類似的關(guān)系得到更多的運(yùn)動(dòng)常數(shù).,（1）利用泊松括號(hào)表示正則方程：,即正則方程可以表示為：,克朗內(nèi)克符號(hào),（2）利用泊松括號(hào)表示正則變量：,是一組正則變量,四、量子力學(xué)中的泊松括號(hào),在經(jīng)典力學(xué)中, 兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定的值并不成為問(wèn)題. 可是, 在量子力學(xué)中這卻是個(gè)問(wèn)題. 力學(xué)量在量子力學(xué)中是用算符或矩陣表示的, 兩個(gè)算符或矩陣的乘積一般是與這兩個(gè)算符或矩陣的先后次序有關(guān)的.兩個(gè)力學(xué)量X和Y是否可以同時(shí)具有確定的值就看它們的量子泊松括號(hào),是否為零.,如果兩個(gè)力學(xué)量的經(jīng)典泊松括號(hào)為零, 則它們的量子松括號(hào)也為零, 在量個(gè)力學(xué)中它們是可以同時(shí)確定的. 比如, 任意兩個(gè)廣義坐標(biāo)可以同時(shí)確定, 任意兩個(gè)廣義動(dòng)量也可以同時(shí)確定, 一個(gè)廣義坐標(biāo)和對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量不能同時(shí)確定,一個(gè)廣義坐標(biāo)和非對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量可以同時(shí)確定. 又比如, 角動(dòng)量的任意兩個(gè)分量不能同時(shí)確定, 但角動(dòng)量的一個(gè)分量和角動(dòng)量的平方可以同時(shí)確定.,4. 劉維定理,分析力學(xué)解決宏觀機(jī)械問(wèn)題的過(guò)程并不比牛頓力學(xué)簡(jiǎn)單, 但是對(duì)于大數(shù)目系統(tǒng), 往往牛頓力學(xué)無(wú)法求解,而運(yùn)用哈密頓正則方程卻容易的多.,哈密頓動(dòng)力學(xué)用廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量描述力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng). 對(duì)一個(gè)自由度問(wèn)題, 某一時(shí)刻的狀態(tài)用x和p值表示, 即xp平面上的一個(gè)點(diǎn)表示. 隨著時(shí)間推移, 狀態(tài)不斷變化, 它在xp平面上刻畫出一條曲線.,多自由度的情況也類似. 對(duì)于s個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng), 我們把廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量當(dāng)作直角坐標(biāo)而構(gòu)成2s維的空間叫作相空間. 該力學(xué)系統(tǒng)在某一時(shí)刻的狀況也可用相空間的一個(gè)點(diǎn)表示. 隨著時(shí)間的推移,相空間中的代表點(diǎn)給出的曲線形成相軌道, 換句話說(shuō), 相軌道給出力學(xué)系統(tǒng)隨時(shí)間的演變過(guò)程.,原則上, 給定力學(xué)系統(tǒng)的初始狀態(tài), 該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)就由動(dòng)力學(xué)方程完全確定, 即以相空間中某一點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)的相軌道，由動(dòng)力學(xué)方程所完全決定. 但是, 如果系統(tǒng)的自由度數(shù)比較大, 力學(xué)系統(tǒng)比較復(fù)雜, 我們不能斷定相空間中究竟哪一點(diǎn)準(zhǔn)確地代表系統(tǒng)的狀態(tài). 怎么辦?,替代的辦法：我們只能考慮各種可能的代表點(diǎn), 其中每一點(diǎn)都代表系統(tǒng)的一種可能狀態(tài). 實(shí)質(zhì)上, 這是考慮處于給定約束條件下許許多多性質(zhì)完全相同的力學(xué)系統(tǒng), 這些性質(zhì)完全相同的力學(xué)系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)系綜; 相空間中每一個(gè)代表點(diǎn)對(duì)應(yīng)于系綜中某一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài), 代表點(diǎn)的相軌道對(duì)應(yīng)于該系統(tǒng)的演變, 各種可能的代表點(diǎn)則對(duì)應(yīng)于系綜中所有力學(xué)系統(tǒng)的狀況, 各種可能的相軌道則對(duì)應(yīng)于系綜的演變. 這就是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的起點(diǎn).,劉維定理: 保守力學(xué)體系在相空間中代表點(diǎn)的密度, 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持不變.,物理含義: 同一力學(xué)體系在不同的初始狀態(tài)所構(gòu)成的不同代表點(diǎn),它們各自獨(dú)立地沿著正則方程所規(guī)定的軌道運(yùn)動(dòng).當(dāng)這些點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域隨時(shí)間運(yùn)動(dòng)到另外一個(gè)區(qū)域時(shí), 在新的區(qū)域, 代表點(diǎn)的密度,等于在出發(fā)區(qū)域中的密度.,設(shè)體積元為,其中代表點(diǎn)的數(shù)目為dN, 代表點(diǎn)的密度為, 則,一般密度隨時(shí)隨地不同, 所以從,知,劉維定理說(shuō)明在 體系中,劉維定理證明:,假定初始時(shí),體元位置為,經(jīng)歷時(shí)間dt, 這個(gè)固定體元中代表點(diǎn)的數(shù)目變化,另一方面也可以從代表點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中出入這個(gè)固定體元的邊界的數(shù)目來(lái)計(jì)算在時(shí)間dt中代表點(diǎn)的數(shù)目變化,先考慮通過(guò)一對(duì)曲面q, q + dq進(jìn)出d 代表點(diǎn)的增加. 把體元d表達(dá)式改寫為,在 dt 時(shí)間內(nèi)通過(guò)q進(jìn)入d的代表點(diǎn)必定位于一個(gè)柱體內(nèi), 柱體底為dA, 高為 , 為相空間中代表點(diǎn)垂直于曲面q的速度分量. 所以在dt 時(shí)間內(nèi)通過(guò)q進(jìn)入d的代表點(diǎn)數(shù)為,同理, 在dt 時(shí)間內(nèi)通過(guò)曲面q + dq離開d 代表點(diǎn)的數(shù)目為,兩者相減, 得通過(guò)曲面q 和q + dq進(jìn)入d 代表點(diǎn)的凈數(shù)目為,同理, 得通過(guò)曲面p 和p + dp進(jìn)入d 代表點(diǎn)的凈數(shù)目為,把上面兩式相加,并對(duì) 求和, 則得在 dt時(shí)間內(nèi)由于代表點(diǎn)的運(yùn)動(dòng), 穿過(guò)d 的邊界而進(jìn)入其中的代表點(diǎn)的凈數(shù)目,顯然,所以,利用正則方程, 得,證明完畢!,劉維定理是統(tǒng)計(jì)力學(xué)的基本的定理. 它是2s維的相空間中的定理, 在普通空間或 s 維的位形空間(把 s 個(gè)廣義坐標(biāo)作為直角坐標(biāo)構(gòu)成的空間)中并不存在類似的定理. 因此, 在統(tǒng)計(jì)力學(xué)討論系綜時(shí)需要運(yùn)用哈密頓動(dòng)力學(xué)而不用拉格朗日動(dòng)力學(xué).,劉維定理的另外表示,5. 哈密頓原理,力學(xué)原理,微分原理,牛頓動(dòng)力學(xué)方程,拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程,哈密頓動(dòng)力學(xué)方程,變分原理：積分形式,不涉及廣義坐標(biāo)的選取,有限自由度的力學(xué)體系,無(wú)限自由度的力學(xué)體系,非力學(xué)體系,動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,一、變分法初步,1、泛函,最速落徑問(wèn)題,質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道 自A點(diǎn)自由下滑到B點(diǎn)，所需時(shí)間最短的路徑怎樣？,總時(shí)間取決于軌道的形狀，即函數(shù)關(guān)系,而不是y的值,一個(gè)變數(shù)J 的值取決于函數(shù)關(guān)系 ，就叫作函數(shù) 的泛函，記做,2、變分問(wèn)題,考慮最速落徑問(wèn)題，選取適當(dāng)?shù)能壍?使質(zhì)點(diǎn)從A到B自由下滑的時(shí)間最短，這就是泛函,的極值問(wèn)題。,泛函的極值問(wèn)題叫做變分問(wèn)題,3、歐拉方程,設(shè)泛函J 只依賴于單個(gè)自變量x，單個(gè)函數(shù)y(x)及其導(dǎo)數(shù) ，即,函數(shù)F 對(duì)于x，y，y都是二次連續(xù)可導(dǎo)，所以y的二階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的,設(shè)函數(shù)關(guān)系y(x)稍有變動(dòng)，,稱為函數(shù)y(x)的變分,則泛函的值也隨之改變，其增量為,由于,這樣,在簡(jiǎn)單的變分問(wèn)題中，變分 在端點(diǎn)保持為零，即,于是變分為零的要求是,上式對(duì)任意 均成立，所以,就是泛函取極值的必要條件，叫做變分問(wèn)題的歐拉方程,若泛函J不顯含x，則歐拉方程有初積分,證明：,泛函取極值的必要條件，歐拉方程,拉格朗日方程，,二、哈密頓原理,也就是說(shuō)，拉格朗日方程是下列變分問(wèn)題的歐拉方程,力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程歸結(jié)為一個(gè)變分原理：,力學(xué)系統(tǒng)從時(shí)刻t1到時(shí)刻t2的一切可能運(yùn)動(dòng)之中，使作用量,取極值的運(yùn)動(dòng)才是實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng),哈密頓原理,位形空間：以s個(gè)廣義坐標(biāo)為直角坐標(biāo)的空間,位形空間中的一個(gè)點(diǎn)可以表示體系任一時(shí)刻的位形,隨著時(shí)間的推移，力學(xué)系統(tǒng)的位形方式演變，位形