光纖光學(xué)光纖傳輸?shù)幕纠碚?ppt

光纖傳輸?shù)幕纠碚?返回主目錄,光纖結(jié)構(gòu),光纖如何導(dǎo)光？ 如何分析光纖傳輸？ 幾何光學(xué)法 麥克斯韋波動(dòng)方程法,根據(jù)全反射原理， 存在一個(gè)臨界角c。 當(dāng)c時(shí)，相應(yīng)的光線將在交界面折射進(jìn)入包層并逐漸消失，如光線3。 由此可見(jiàn)，只有在半錐角為c的圓錐內(nèi)入射的光束才能在光纖中傳播。,Acceptance angle: (接受角),定義臨界角c的正弦為數(shù)值孔徑(Numerical Aperture, NA)。根據(jù)定義和斯奈爾定律 NA=n0sinc=n1cosc ， n1sinc =n2sin90 (1.2) n0=1，由式（2.2）經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算得到,式中=(n1-n2)/n1為纖芯與包層相對(duì)折射率差。 NA表示光纖接收和傳輸光的能力。 ？NA越大越好，or 越小越好？ NA(或c)越大，光纖接收光的能力越強(qiáng)，從光源到光纖的耦合效率越高。 對(duì)于無(wú)損耗光纖，在c內(nèi)的入射光都能在光纖中傳輸。 NA越大， 纖芯對(duì)光能量的束縛越強(qiáng)，光纖抗彎曲性能越好; 但NA越大，經(jīng)光纖傳輸后產(chǎn)生的信號(hào)畸變?cè)酱?，因而限制了信息傳輸容量?所以要根據(jù)實(shí)際使用場(chǎng)合，選擇適當(dāng)?shù)腘A。,(1.3),我要提問(wèn)！,時(shí)間延遲 根據(jù)圖1.4，入射角為的光線在長(zhǎng)度為L(zhǎng)(ox)的光纖中傳輸，所經(jīng)歷的路程為l(oy)， 在不大的條件下，其傳播時(shí)間即時(shí)間延遲為,式中c為真空中的光速。由式(2.4)得到最大入射角(=c)和最小入射角(=0)的光線之間時(shí)間延遲差近似為,(1.4),(5.5),這種時(shí)間延遲差在時(shí)域產(chǎn)生脈沖展寬，或稱為信號(hào)畸變。 由此可見(jiàn)，突變型多模光纖的信號(hào)畸變是由于不同入射角的光線經(jīng)光纖傳輸后，其時(shí)間延遲不同而產(chǎn)生的。,式中，n1和n2分別為纖芯中心和包層的折射率， r和a分別為徑向坐標(biāo)和纖芯半徑，=(n1-n2)/n1為相對(duì)折射率差，g為折射率分布指數(shù) g， (r/a)0的極限條件下，式(2.6)表示突變型多模光纖的折射率分布 g=2，n(r)按平方律(拋物線)變化，表示常規(guī)漸變型多模光纖的折射率分布。具有這種分布的光纖，不同入射角的光線會(huì)聚在中心軸線的一點(diǎn)上，因而脈沖展寬減小,2. 漸變型多模光纖 漸變型多模光纖具有能減小脈沖展寬、增加帶寬的優(yōu)點(diǎn)。 漸變型光纖折射率分布的普遍公式為,由于漸變型多模光纖折射率分布是徑向坐標(biāo)r的函數(shù)，纖芯各點(diǎn)數(shù)值孔徑不同. 局部數(shù)值孔徑NA(r)和最大數(shù)值孔徑NAmax,漸變折射率光纖的纖芯可以看作是一組層與層之間有細(xì)微的折射率變化的薄層, 其中在中心軸線處的層具有的折射率為n1，在包層邊界的折射率為n2。這也是制造商如何來(lái)制造光纖的方法。,圖 1.5 漸變型多模光纖的光線傳播原理,射線方程的解,式中，為特定光線的位置矢量， s為從某一固定參考點(diǎn)起的光線長(zhǎng)度。選用圓柱坐標(biāo)(r, ，z)，把漸變型多模光纖的子午面(r - z)示于圖1.5。 如式(1.6)所示，一般光纖相對(duì)折射率差都很小，光線和中心軸線z的夾角也很小，即sin。由于折射率分布具有圓對(duì)稱性和沿軸線的均勻性，n與和z無(wú)關(guān)。在這些條件下， 式(1.7)可簡(jiǎn)化為,(1.8),射線方程的解 用幾何光學(xué)方法分析漸變型多模光纖要求解射線方程， 射線方程一般形式為,(1.7),解這個(gè)二階微分方程， 得到光線的軌跡為 r(z)=C1sin(Az)+C2 cos(Az) (1.10) 式中，A= ， C1和C2是待定常數(shù)，由邊界條件確定。 設(shè)光線以0從特定點(diǎn)(z=0, r=ri)入射到光纖，并在任意點(diǎn)(z, r)以*從光纖射出。 由方程(1.10)及其微分得到,(1.9),把式(1.6)和g=2代入式(1.8)得到,由圖1.5的入射光得到dr/dz=tanii0/n(r)0/n(0)， 把這個(gè)近似關(guān)系代入式 (1.11) 得到,由出射光線得到dr/dz=tan*/n(r)，由這個(gè)近似關(guān)系和對(duì)式(2.10)微分得到,*=-An(r)risin(Az)+0 cos(Az) (1.12b) 取n(r)n(0)，由式(2.12)得到光線軌跡的普遍公式為,r *,=,cos(Az) -An(0) sin(Az) cos(Az),r1,這個(gè)公式是自聚焦透鏡的理論依據(jù)。,(1.13),由此可見(jiàn)，漸變型多模光纖的光線軌跡是傳輸距離z的正弦函數(shù)，對(duì)于確定的光纖，其幅度的大小取決于入射角0， 其周期=2/A=2a/ ， 取決于光纖的結(jié)構(gòu)參數(shù)(a, )， 而與入射角0無(wú)關(guān)。, 自聚焦效應(yīng) 為觀察方便，把光線入射點(diǎn)移到中心軸線(z=0, ri=0)，由式(1.12)和式(1.13)得到,(1.14a),這說(shuō)明不同入射角相應(yīng)的光線， 雖然經(jīng)歷的路程不同，但是最終都會(huì)聚在P點(diǎn)上，見(jiàn)圖1.5和圖1.2(b)， 這種現(xiàn)象稱為自聚焦(Self-Focusing)效應(yīng)。,漸變型多模光纖具有自聚焦效應(yīng)，不僅不同入射角相應(yīng)的光線會(huì)聚在同一點(diǎn)上，而且這些光線的時(shí)間延遲也近似相等。,1.2.2 光纖傳輸?shù)牟▌?dòng)理論,波動(dòng)理論是一種比幾何光學(xué)方法更為嚴(yán)格的分析方法，其嚴(yán)格性在于： (1)從光波的本質(zhì)特性電磁波出發(fā)，通過(guò)求解電磁波所遵從的麥克斯韋方程，導(dǎo)出電磁場(chǎng)的場(chǎng)分布,具有理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性； (2) 未作任何前提近似，因此適用于各種折射率分布的單模和多模光波導(dǎo)。,Maxwell方程組 求解思路 模式的概念 光纖模場(chǎng)求解,MAXWELLS EQUATIONS B = 0 D = E = B/t H = J +D/t From the first line, the normal components of D and B are continuous across a dielectric interface From the second line, the tangential components of E and H are continuous across a dielectric interface,分析思路,麥克斯韋方程組,波動(dòng)方程 （亥姆赫茲方程）,特征方程,本征解,傳輸特性分析,分離變量,電矢量與磁矢量分離: 可得到只與電場(chǎng)強(qiáng)度E(x,y,z,t)有關(guān)的方程式及只與磁場(chǎng)強(qiáng)度H(x,y,z,t)有關(guān)的方程式； 時(shí)、空坐標(biāo)分離: 亥姆霍茲方程，是關(guān)于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式； 空間坐標(biāo)縱、橫分離：波導(dǎo)場(chǎng)方程，是關(guān)于E(x,y)和H(x,y)的方程式； 邊界條件：在兩種介質(zhì)交界面上電磁場(chǎng)矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要連續(xù)。,麥克斯韋方程組,波動(dòng)方程,？,電矢量與磁矢量分離: 可得到只與電場(chǎng)強(qiáng)度E(x,y,z,t)有關(guān)的方程式及只與磁場(chǎng)強(qiáng)度H(x,y,z,t)有關(guān)的方程式；,時(shí)、空坐標(biāo)分離：亥姆霍茲方程，是關(guān)于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式,單色波：,矢量的Helmholtz方程,空間坐標(biāo)縱、橫分離：得到關(guān)于E(x,y)和H(x,y)的方程式；,用縱向場(chǎng)表示橫向場(chǎng),波動(dòng)光學(xué)方法的最基本方程。它是一個(gè)典型的本征方程。當(dāng)給定波導(dǎo)的邊界條件時(shí)，求解波導(dǎo)場(chǎng)方程可得本征解及相應(yīng)的本征值。通常將本征解定義為“模式”。,模式的概念,從而光場(chǎng)可表示為分離的形式：,式中 為相移常數(shù)，也稱為傳播常數(shù)； 和 都是復(fù)矢量，有幅度、相位和方向，表示了 和 沿光纖橫截面的分布，稱為模式場(chǎng)。,特征解模式,根據(jù)偏微分方程理論，對(duì)于給定的邊界條件，簡(jiǎn)化的麥克斯韋方程組有無(wú)窮多個(gè)離散的特征解，并可進(jìn)行排序。每一個(gè)特征解為：,一個(gè)特征解為一個(gè)模式，光纖中總的光場(chǎng)分布則是這些模式的線性組合：,一系列模式可以看成是一個(gè)光波導(dǎo)的場(chǎng)分布的空間譜。,模式的基本特性,穩(wěn)定性：一個(gè)模式沿縱向傳輸時(shí)，其場(chǎng)分布形式不變，即沿z方向有穩(wěn)定的分布。 有序性：模式是波動(dòng)方程的一系列特征解，是離散的、可以排序的。排序方法有兩種：一種是以傳播常數(shù) 的大小排序， 越大，序號(hào)越??；另一種是以兩個(gè)自變量 排序，所以有兩列序號(hào)。 疊加性：光波導(dǎo)中總的場(chǎng)分布是這些模式的線性疊加。 正交性：一個(gè)正規(guī)光波導(dǎo)的不同模式之間滿足正交關(guān)系。,模式的基本特征,每一個(gè)模式對(duì)應(yīng)于沿光波導(dǎo)軸向傳播的一種電磁波； 每一個(gè)模式對(duì)應(yīng)于某一本征值并滿足全部邊界條件； 模式具有確定的相速群速和橫場(chǎng)分布。 模式是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表征。給定的波導(dǎo)中能夠存在的模式及其性質(zhì)是已確定了的，外界激勵(lì)源只能激勵(lì)起光波導(dǎo)中允許存在的模式而不會(huì)改變模式的固有性質(zhì)。,數(shù)學(xué)表達(dá)式： 物理意義： 光波導(dǎo)中所有模式（導(dǎo)模、漏摸、輻射摸）相互正交，模式獨(dú)立載運(yùn)光能量，光波場(chǎng)總功率等于各個(gè)模式攜帶功率的迭加； 光波導(dǎo)實(shí)際場(chǎng)分布可以表示為各個(gè)模式本征函數(shù)的迭加。,模式正交歸一性,模式命名,根據(jù)場(chǎng)的縱向分量Ez和Hz的存在與否，可將模式命名為： (1)橫電磁模(TEM)： Ez0，Hz0； (2)橫電模(TE)： Ez0，Hz0； (3)橫磁模(TM)： Ez0，Hz0； (4)混雜模(HE或EH)：Ez0，Hz0。,階躍折射率光纖中的場(chǎng)解,數(shù)學(xué)模型 圓柱坐標(biāo)系中的波導(dǎo)場(chǎng)方程 邊界條件 本征解與本征值方程 本征值與模式分析,數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)模型：階躍折射率分布光纖是一種理想的數(shù)學(xué)模型，即認(rèn)為光纖是一種無(wú)限大直圓柱系統(tǒng)，芯區(qū)半徑a，折射率為n1；包層沿徑向無(wú)限延伸，折射率為n2。光纖材料為線性、無(wú)損、各向同性的電介質(zhì)。,圖 2.6 光纖中的圓柱坐標(biāo),六個(gè)場(chǎng)分量：Er，E，Ez，Hr，H，Hz。 但并不是相互獨(dú)立的，橫向分量由兩個(gè)縱向分量唯一確定。,式中，E和H分別為電場(chǎng)和磁場(chǎng)在直角坐標(biāo)中的任一分量， c為光速。選用圓柱坐標(biāo)(r，z)，使z軸與光纖中心軸線一致， 如圖2.6所示。 將式(2.18)在圓柱坐標(biāo)中展開(kāi)，得到電場(chǎng)的z分量Ez 的波動(dòng)方程為,(2.18a),(2.18b),(2.19),1. 波動(dòng)方程和電磁場(chǎng)表達(dá)式 設(shè)光纖沒(méi)有損耗，折射率n變化很小，在光纖中傳播的是角頻率為的單色光，電磁場(chǎng)與時(shí)間t的關(guān)系為exp(jt)，則標(biāo)量波動(dòng)方程(Helmholtz方程)為,磁場(chǎng)分量Hz的方程和式(2.19)完全相同，不再列出。 解方程(2.19)，求出Ez 和Hz，再通過(guò)麥克斯韋方程組求出其他電磁場(chǎng)分量，就得到任意位置的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。 變量分離法： 把Ez(r, , z)分解為Ez(r)、Ez()和Ez(z)。從物理概念出發(fā)，可直接寫出Ez()和Ez(z)的形式。設(shè)光沿光纖軸向(z軸)傳輸，其傳輸常數(shù)為，則Ez(z)應(yīng)為exp(-jz)。 由于光纖的圓對(duì)稱性，Ez()應(yīng)為方位角的周期函數(shù)， 設(shè)為exp( jv)，v為整數(shù)。 現(xiàn)在Ez(r)為未知函數(shù)，利用這些表達(dá)式， 電場(chǎng)z分量可以寫成 Ez(r, z)=Ez(r)ej(v-z) (2.20) 把式(2.20)代入式(2.19)得到,式中，k=2/=2f /c=/c，和f為光的波長(zhǎng)和頻率。 這樣就把分析光纖中的電磁場(chǎng)分布，歸結(jié)為求解貝塞爾(Bessel)方程(2.21)。貝塞爾(Bessel)方程有不同的解，取什么解要根據(jù)物理意義來(lái)確定。 設(shè)纖芯(0ra)折射率n(r)=n1，包層(ra)折射率n(r)=n2，實(shí)際上突變型多模光纖和常規(guī)單模光纖都滿足這個(gè)條件。 為求解方程(2.21)，引入無(wú)量綱參數(shù)u, w和V。,(2.21),因?yàn)楣饽芰恳诶w芯(0ra)中傳輸， 在r=0處，電磁場(chǎng)應(yīng)為有限實(shí)數(shù)；在包層(ra)，光能量沿徑向r迅速衰減，當(dāng)r時(shí)， 電磁場(chǎng)應(yīng)消逝為零。 根據(jù)這些特點(diǎn)，式(2.23a)的解應(yīng)取v階貝塞爾函數(shù)Jv(ur/a)，而式(2.23b)的解則應(yīng)取v階修正的貝塞爾函數(shù)Kv(wr/a)。,圖2.7 （a)貝賽爾函數(shù)；（b)修正的貝賽爾函數(shù),Jv(u),1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6,4 3 2 1 0,2 4 6 8 10 u,v=1,v=0,v=2,(a),(b),v=1,1 2 3 4 5 w,kv(w),因此，在纖芯和包層的電場(chǎng)Ez(r, , z)和磁場(chǎng)Hz(r, , z)表達(dá)式為 Ez1(r, , z) (0ra),Hz1(r, , z)=,Ez2(r, , z),Hz2(r, , z),(0ra),(ra),(ra),(2.24a),(2.24b),(2.24c),(2.24d),式中，腳標(biāo)1和2分別表示纖芯和包層的電磁場(chǎng)分量，A和B為待定常數(shù)，由激勵(lì)條件確定。Jv(u)和Kv(w)如圖2.7所示，Jv(u)類似振幅衰減的正弦曲線，Kv(w)類似衰減的指數(shù)曲線。 式(2.24)表明，光纖傳輸模式的電磁場(chǎng)分布和性質(zhì)取決于特征參數(shù)u、w和的值。 u和w決定纖芯和包層橫向(r)電磁場(chǎng)的分布，稱為橫向傳輸常數(shù)；決定縱向(z)電磁場(chǎng)分布和傳輸性質(zhì)，所以稱為(縱向)傳輸常數(shù)。,圓柱坐標(biāo)系下縱向分量與橫向分量的關(guān)系,2. 特征方程和傳輸模式 由式(2.24)確定光纖傳輸模式的電磁場(chǎng)分布和傳輸性質(zhì)， 必須求得u, w和的值。 由式(2.22)看到，在光纖基本參數(shù)n1、n2、a和k已知的條件下， u和w只和有關(guān)。利用邊界條件，導(dǎo)出滿足的特征方程， 就可以求得和u、w的值。 由式(2.24)確定電磁場(chǎng)的縱向分量Ez和Hz后，就可以通過(guò)麥克斯韋方程組導(dǎo)出電磁場(chǎng)橫向分量Er、Hr和E、H的表達(dá)式。 因?yàn)殡姶艌?chǎng)強(qiáng)度的切向分量在纖芯包層交界面連續(xù)，在r=a處應(yīng)該有 Ez1=Ez2 Hz1=Hz2 E1=E2 H1=H2 (2.25),由式(2.24)可知，Ez和Hz已自動(dòng)滿足邊界條件的要求。 由E和H的邊界條件導(dǎo)出滿足的特征方程為,這是一個(gè)超越方程，由這個(gè)方程和式(2.22)定義的特征參數(shù)V聯(lián)立，就可求得值。 但數(shù)值計(jì)算十分復(fù)雜，其結(jié)果示于圖2.8。 圖中縱坐標(biāo)的傳輸常數(shù)取值范圍為 n2kn1k (2.27),(2.26),橫坐標(biāo)的V稱為歸一化頻率， 根據(jù)式(2.22),(2.29),圖中每一條曲線表示一個(gè)傳輸模式的隨V的變化， 所以方程(2.26)又稱為色散方程。,圖 2.8 若干低階模式歸一化傳輸常數(shù)隨歸一化頻率變化的曲線,對(duì)于每個(gè)確定的v值，可以從特征方程(2.26)求出一系列值，每個(gè)值對(duì)應(yīng)一定的模式，具有特定的電磁場(chǎng)分布。,當(dāng)v=0時(shí)，電磁場(chǎng)可分為兩類。一類只有Ez、Er和H分量，Hz=Hr=0，E=0， 這類在傳輸方向無(wú)磁場(chǎng)的模式稱為橫磁模(波)，記為TM0。 另一類只有Hz、Hr和E分量，Ez=Er=0，H=0，這類在傳輸方向無(wú)電場(chǎng)的模式稱為橫電模(波)，記為TE0。 當(dāng)v0時(shí)，電磁場(chǎng)六個(gè)分量都存在，這些模式稱為混合模(波)。 混合模也有兩類， 一類EzHz，記為HEv，另一類HzEz，記為EHv。下標(biāo)v和都是整數(shù)。 第一個(gè)下標(biāo)v是貝塞爾函數(shù)的階數(shù)，稱為方位角模數(shù)，它表示在纖芯沿方位角繞一圈電場(chǎng)變化的周期數(shù)。 第二個(gè)下標(biāo)是貝塞爾函數(shù)的根按從小到大排列的序數(shù)， 稱為徑向模數(shù)。 ,波動(dòng)方程和特征方程的精確求解都非常繁雜，一般要進(jìn)行簡(jiǎn)化。 大多數(shù)通信光纖的纖芯與包層相對(duì)折射率差都很小(例如0.01)，因此有n1n2n和=nk的近似條件。這種光纖稱為弱導(dǎo)光纖，對(duì)于弱導(dǎo)光纖滿足的本征方程可以簡(jiǎn)化為,（2.30）,由此得到的混合模HEv+1和EHv-1(例如HE31和EH11)傳輸常數(shù)相近，電磁場(chǎng)可以線性疊加。 用直角坐標(biāo)代替圓柱坐標(biāo)，使電磁場(chǎng)由六個(gè)分量簡(jiǎn)化為四個(gè)分量，得到Ey、 Hx、 Ez、 Hz或與之正交的Ex、Hy、Ez、Hz。這些模式稱為線性偏振(Linearly Polarized)模，并記為L(zhǎng)Pv。 LP0即HE1，LP1由HE2和TE0、TM0組成，包含4重簡(jiǎn)并， LPv(v1)由HEv+1和EHv-1組成，包含4重簡(jiǎn)