基于偏微分方程的圖像處理方法.ppt

,基于偏微分方程的圖像處理方法,電子與信息工程學院 張芳 ,背景介紹 基于偏微分方程的圖像濾波方法 基于偏微分方程的圖像復原方法 基于偏微分方程的圖像骨架線提取方法 基于偏微分方程的圖像增強方法 基于偏微分方程的其它圖像處理方法,匯報提綱,數(shù)字圖像,像素的灰度值,引 言,基于偏微分方程的圖像處理方法 ( Partial Differential Equations, 簡稱PDE ),定義 圖像u 連續(xù)信號 圖像處理操作F 偏微分算子 原始圖像I 初始條件 結果圖像u 方程的解,應用 圖像濾波、圖像修復、對比度增強、提取骨架線、 二值化、邊緣檢測、圖像分割等。,一、背景介紹,從高斯平滑算子導出的偏微分方程,偏微分方程 濾波模型的導出,從最優(yōu)化的問題出發(fā)，即變分方法導出的偏微分方程,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,從高斯平滑算子導出的偏微分方程 熱傳導方程( Witkin ),不足：各向同性擴散方程。 在各個方向上同等擴散，濾波的同時破壞圖像內(nèi)容， 即圖像邊緣。,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,從最優(yōu)化的問題出發(fā)，即變分方法導出的偏微分方程 變分圖像去噪方法通過引入能量函數(shù)，將圖像去噪問題轉(zhuǎn)化成泛函求極值問題，即變分問題。變分法是研究泛函求極值問題的方法，它的主要步驟為： 第一步，從物理問題上建立泛函及其約束條件； 第二步，通過泛函變分，求得歐拉拉格朗日方程； 第三步，在邊界條件下求解，即求解微分方程。,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,建立泛函及約束條件,變分，求歐拉/拉格朗日方程,求解微分方程,從最優(yōu)化的問題出發(fā)，即變分方法導出的偏微分方程,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,偏微分方程的去噪原理,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,控制平滑量 在圖像特征多的區(qū)域應該盡可能地少平滑,改進,控制平滑方向 穿越圖像特征方向的擴散量小,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,常用的偏微分方程去噪模型 由線性模型到非線性模型的發(fā)展,熱傳導方程（線性）,Perona和Malik,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,控制平滑量 在圖像特征多的區(qū)域應該盡可能地少平滑,改進,控制平滑方向 穿越圖像特征方向的擴散量小,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,常用的偏微分方程去噪模型 由各向同性模型到各向異性模型的發(fā)展,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,偏微分方程的數(shù)值解法 對連續(xù)的微分方程進行離散差分求解,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,耦合偏微分方程,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,耦合偏微分方程,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,偏微分方程的圖像處理方法的優(yōu)點,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,此結果選自： 張亶，陳剛，基于偏微分方程的圖像處理， 北京：高等教育出版社，2004,圖像復原，就是利用使獲得的圖像產(chǎn)生退化的先驗知識，建立退化圖像數(shù)學模型，然后沿著圖像退化的逆過程加以重建和復原，以獲得“清晰和干凈”的圖像。,三、基于偏微分方程的圖像復原方法,假設函數(shù)u表示原始圖像，這是未知的，是我們想找到的。用函數(shù)I表示描述與u相同場景的觀測圖像，它是退化的，已知的。二者之間的關系可簡單表示為： I=Ku+n 其中K是影響圖像失真的因子， n是加性噪聲。圖像恢復問題就是從已知圖像I，得到恢復圖像u。,偏微分方程圖像復原方法的主要思想： 利用圖像的已知信息來填充待修復區(qū)域內(nèi)的已經(jīng)丟失的或破損的信息，從而得到完整的圖像。而要填充未知區(qū)域的信息，就需要把待修復區(qū)域邊界上的信息擴散到區(qū)域中去。這個過程可以借助偏微分方程的擴散來實現(xiàn)。,三、基于偏微分方程的圖像復原方法,偏微分方程圖像復原方法的主要思路： 根據(jù)圖像修復的準則，建立數(shù)學模型，把圖像修復問題抽象成為求解一個最優(yōu)估計的問題，用Euler公式就得到一個偏微分方程。,三、基于偏微分方程的圖像復原方法,基于熱傳導方程的圖像修復方法：,D為待修復區(qū)域。,三、基于偏微分方程的圖像復原方法,同時完成濾波和修復任務：,三、基于偏微分方程的圖像復原方法,同時完成濾波和修復任務,三、基于偏微分方程的圖像復原方法,同時完成濾波和修復任務,四、基于偏微分方程的骨架線提取方法,傳統(tǒng)算法流程 偏微分方程算法流程,求梯度,PDE演化,求奇點,基于偏微分方程的骨架線提取原理 偏微分方程骨架提取方法借助GVF(Gradient Vector Flow)思想，引入梯度場的概念，將圖像邊界看做封閉的，圖像內(nèi)部為一能量場，場的梯度在內(nèi)外力的作用下在場內(nèi)變化運動，當場的梯度達到最小時，其最小值處即為圖像骨架。,四、基于偏微分方程的骨架線提取方法,求梯度,PDE演化,求奇點,GVF能量方程 初始條件 求方程的能量E最小化即為求圖像的兩個特征分量場的梯度模值的分別最小化，因此，整個算法主要思想即為尋找圖像梯度模值最小的區(qū)域。,四、基于偏微分方程的骨架線提取方法,根據(jù)變分原理，解Euler方程，得到： 根據(jù)梯度下降流得到偏微分方程： u和v的解通過迭代方程的離散數(shù)值解來完成。,四、基于偏微分方程的骨架線提取方法,結合簡單圖形進行分析,圖1 原圖,四、基于偏微分方程的骨架線提取方法,圖2 初始梯度場,圖3 調(diào)整后的梯度場,應用結果,四、基于偏微分方程的骨架線提取方法,直方圖均衡化增強,原始圖像,五、基于偏微分方程的圖像增強方法,基于偏微分方程的直方圖均衡化增強 ( Sapiro ) 其中 A代表面積（對于離散圖像而言，它代表像素數(shù)目） 當演化方程達到穩(wěn)定時，對于任意 且 ，有 即圖像的直方圖趨于均衡分布。,五、基于偏微分方程的圖像增強方法,(a)