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文檔簡介
,基于偏微分方程的圖像處理方法,電子與信息工程學院 張芳 ,背景介紹 基于偏微分方程的圖像濾波方法 基于偏微分方程的圖像復原方法 基于偏微分方程的圖像骨架線提取方法 基于偏微分方程的圖像增強方法 基于偏微分方程的其它圖像處理方法,匯報提綱,數字圖像,像素的灰度值,引 言,基于偏微分方程的圖像處理方法 ( Partial Differential Equations, 簡稱PDE ),定義 圖像u 連續(xù)信號 圖像處理操作F 偏微分算子 原始圖像I 初始條件 結果圖像u 方程的解,應用 圖像濾波、圖像修復、對比度增強、提取骨架線、 二值化、邊緣檢測、圖像分割等。,一、背景介紹,從高斯平滑算子導出的偏微分方程,偏微分方程 濾波模型的導出,從最優(yōu)化的問題出發(fā),即變分方法導出的偏微分方程,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,從高斯平滑算子導出的偏微分方程 熱傳導方程( Witkin ),不足:各向同性擴散方程。 在各個方向上同等擴散,濾波的同時破壞圖像內容, 即圖像邊緣。,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,從最優(yōu)化的問題出發(fā),即變分方法導出的偏微分方程 變分圖像去噪方法通過引入能量函數,將圖像去噪問題轉化成泛函求極值問題,即變分問題。變分法是研究泛函求極值問題的方法,它的主要步驟為: 第一步,從物理問題上建立泛函及其約束條件; 第二步,通過泛函變分,求得歐拉拉格朗日方程; 第三步,在邊界條件下求解,即求解微分方程。,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,建立泛函及約束條件,變分,求歐拉/拉格朗日方程,求解微分方程,從最優(yōu)化的問題出發(fā),即變分方法導出的偏微分方程,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,偏微分方程的去噪原理,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,控制平滑量 在圖像特征多的區(qū)域應該盡可能地少平滑,改進,控制平滑方向 穿越圖像特征方向的擴散量小,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,常用的偏微分方程去噪模型 由線性模型到非線性模型的發(fā)展,熱傳導方程(線性),Perona和Malik,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,控制平滑量 在圖像特征多的區(qū)域應該盡可能地少平滑,改進,控制平滑方向 穿越圖像特征方向的擴散量小,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,常用的偏微分方程去噪模型 由各向同性模型到各向異性模型的發(fā)展,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,偏微分方程的數值解法 對連續(xù)的微分方程進行離散差分求解,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,耦合偏微分方程,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,耦合偏微分方程,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,偏微分方程的圖像處理方法的優(yōu)點,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,二、基于偏微分方程的圖像濾波方法,此結果選自: 張亶,陳剛,基于偏微分方程的圖像處理, 北京:高等教育出版社,2004,圖像復原,就是利用使獲得的圖像產生退化的先驗知識,建立退化圖像數學模型,然后沿著圖像退化的逆過程加以重建和復原,以獲得“清晰和干凈”的圖像。,三、基于偏微分方程的圖像復原方法,假設函數u表示原始圖像,這是未知的,是我們想找到的。用函數I表示描述與u相同場景的觀測圖像,它是退化的,已知的。二者之間的關系可簡單表示為: I=Ku+n 其中K是影響圖像失真的因子, n是加性噪聲。圖像恢復問題就是從已知圖像I,得到恢復圖像u。,偏微分方程圖像復原方法的主要思想: 利用圖像的已知信息來填充待修復區(qū)域內的已經丟失的或破損的信息,從而得到完整的圖像。而要填充未知區(qū)域的信息,就需要把待修復區(qū)域邊界上的信息擴散到區(qū)域中去。這個過程可以借助偏微分方程的擴散來實現。,三、基于偏微分方程的圖像復原方法,偏微分方程圖像復原方法的主要思路: 根據圖像修復的準則,建立數學模型,把圖像修復問題抽象成為求解一個最優(yōu)估計的問題,用Euler公式就得到一個偏微分方程。,三、基于偏微分方程的圖像復原方法,基于熱傳導方程的圖像修復方法:,D為待修復區(qū)域。,三、基于偏微分方程的圖像復原方法,同時完成濾波和修復任務:,三、基于偏微分方程的圖像復原方法,同時完成濾波和修復任務,三、基于偏微分方程的圖像復原方法,同時完成濾波和修復任務,四、基于偏微分方程的骨架線提取方法,傳統(tǒng)算法流程 偏微分方程算法流程,求梯度,PDE演化,求奇點,基于偏微分方程的骨架線提取原理 偏微分方程骨架提取方法借助GVF(Gradient Vector Flow)思想,引入梯度場的概念,將圖像邊界看做封閉的,圖像內部為一能量場,場的梯度在內外力的作用下在場內變化運動,當場的梯度達到最小時,其最小值處即為圖像骨架。,四、基于偏微分方程的骨架線提取方法,求梯度,PDE演化,求奇點,GVF能量方程 初始條件 求方程的能量E最小化即為求圖像的兩個特征分量場的梯度模值的分別最小化,因此,整個算法主要思想即為尋找圖像梯度模值最小的區(qū)域。,四、基于偏微分方程的骨架線提取方法,根據變分原理,解Euler方程,得到: 根據梯度下降流得到偏微分方程: u和v的解通過迭代方程的離散數值解來完成。,四、基于偏微分方程的骨架線提取方法,結合簡單圖形進行分析,圖1 原圖,四、基于偏微分方程的骨架線提取方法,圖2 初始梯度場,圖3 調整后的梯度場,應用結果,四、基于偏微分方程的骨架線提取方法,直方圖均衡化增強,原始圖像,五、基于偏微分方程的圖像增強方法,基于偏微分方程的直方圖均衡化增強 ( Sapiro ) 其中 A代表面積(對于離散圖像而言,它代表像素數目) 當演化方程達到穩(wěn)定時,對于任意 且 ,有 即圖像的直方圖趨于均衡分布。,五、基于偏微分方程的圖像增強方法,(a)
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