自動控制理論第版夏德鈐翁貽方第七章非線性系統(tǒng)的分析.ppt

第七章 非線性系統(tǒng)的分析,系統(tǒng)的非線性程度比較嚴(yán)重，無法用小范圍線性化方法化為線性系統(tǒng)，稱為非線性系統(tǒng)。有兩種情況 （1）系統(tǒng)中存在非線性元件；（2）為了某種控制目的，人為引進(jìn)的非線性。 一 、非線性系統(tǒng)的特點 1、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應(yīng)的性質(zhì)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而和系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應(yīng)的性質(zhì)不僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。,7.1 基本概念,2、線性系統(tǒng)只有兩種基本運(yùn)動形式：發(fā)散（不穩(wěn)定）和收斂（穩(wěn)定）。 非線性系統(tǒng)除了發(fā)散和收斂兩種運(yùn)動形式外，即使無外界作用，也可能會發(fā)生自持振蕩。 3、在正弦輸入下，線性系統(tǒng)的輸出是同頻率正弦信號。 非線性系統(tǒng)在正弦輸入下，輸出是周期和輸入相同、含有高次諧波的非正弦信號。 4、線性系統(tǒng)分析可用迭加原理，在典型輸入信號下系統(tǒng)分析的結(jié)果也適用于其它情況。 非線性系統(tǒng)不能應(yīng)用迭加原理，沒有一種通用的方法來處理各種非線性問題。,對非線性系統(tǒng)分析研究的重點是：（1）系統(tǒng)是否穩(wěn)定；（2）有無自持振蕩；（3）若存在自持振蕩，確定自持振蕩的頻率和振幅；（4）研究消除或減弱自持振蕩的方法。,二、典型非線性系統(tǒng)及對系統(tǒng)性能的影響 1、死區(qū)非線性,常見于測量、放大元件中。死區(qū)非線性特性導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，且用提高增量的方法也無法消除。,2、飽和非線性,常見于放大器中，在大信號作用下，放大倍數(shù)小，因而降低了穩(wěn)態(tài)精度。,3、間隙非線性,常見于齒輪傳動機(jī)構(gòu)、鐵磁元件的磁滯現(xiàn)象?？墒瓜到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大，也使系統(tǒng)的動態(tài)特性變差。,4、繼電器特性,繼電器特性中包含了死區(qū)、回環(huán)和飽和特性，因此對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、暫態(tài)性能和穩(wěn)定性都有不利影響。,相平面法是一種時域分析方法。設(shè)非線性系統(tǒng)框圖如圖所示，其中N表示非線性環(huán)節(jié)，G(S)是線性部分的傳遞函數(shù)。,三、非線性系統(tǒng)的分析方法 1、相平面法 時域方法 2、描述函數(shù)法 頻域方法,7.2 非線性系統(tǒng)的相平面分析方法,用相平面法分析非線性系統(tǒng)，線性部分傳遞函數(shù)G(S)必須是二階。,一、線性二階系統(tǒng)奇點的類型 線性二階系統(tǒng)的齊次微分方程為： 相平面圖是在 平面中，繪制 隨時間t 變化的軌跡，稱為相軌跡。相軌跡的起點是 。 奇點是指 的點。根據(jù)奇點附近相軌跡的特征，奇點 有不同名稱，據(jù)此可判斷系統(tǒng)運(yùn)動的性質(zhì)。,1、無阻尼運(yùn)動 二階系統(tǒng)的極點分布和相平面圖如下 無阻尼運(yùn)動時，二階系統(tǒng)的相平面圖是一族同心橢圓，每個橢圓代表一個簡諧運(yùn)動。這樣的奇點稱為中心點。,2、欠阻尼運(yùn)動 系統(tǒng)的自由運(yùn)動是衰減振蕩。相軌跡是對數(shù)螺旋線，收斂于原點。奇點稱為穩(wěn)定焦點。,3、過阻尼運(yùn)動 系統(tǒng)的自由運(yùn)動是非周期地趨向于原點。相軌跡是趨于原點的拋物線，原點是奇點，稱為穩(wěn)定節(jié)點。,4、 系統(tǒng)的自由運(yùn)動是發(fā)散振蕩。相軌跡是以原點出發(fā)的螺旋線，原點處的奇點稱為不穩(wěn)定焦點。,5、 系統(tǒng)的運(yùn)動是非周期發(fā)散運(yùn)動。相軌跡是由原點出發(fā)的發(fā)散型拋物線。原點處的奇點稱為不穩(wěn)定節(jié)點。,6、 是對稱于原點的實軸 系統(tǒng)的自由運(yùn)動是發(fā)散運(yùn)動，原點處的奇點稱為鞍點。 以上6種奇點，類似的奇點在非線性系統(tǒng)中也常見到。,二、非線性系統(tǒng)的相平面分析 借助Matlab等軟件工具可以方便地繪制非線性系統(tǒng)的相平面圖。 例1：有死區(qū)繼電器非線性的系統(tǒng)框圖如下,系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù) ，該二階系統(tǒng)的無 阻尼自然振蕩角頻率 ，阻尼比 ，根據(jù) 前面對奇點的分類，可知為穩(wěn)定焦點。,繼電器的輸入輸出關(guān)系為 在 平面，根據(jù)繼電器的 非線性特性，可分為三個區(qū)域， 設(shè)初始狀態(tài) ， ， 繪制相軌跡如圖所示，(設(shè)r=3) 根據(jù)系統(tǒng)的相軌跡，可對 系統(tǒng)的性能分析如下：,2、相軌跡最后沒有到達(dá)原 點，即 ，說明 系統(tǒng)在階躍信號輸入下，存在穩(wěn)態(tài)誤差，引起穩(wěn)態(tài)誤差的原因是死區(qū)繼電器特性。 系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)表明，系統(tǒng)是型系統(tǒng)，對階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)為0，可見死區(qū)繼電器非線性對穩(wěn)態(tài)精度的影響。,1、系統(tǒng)的相軌跡收斂于A點，是穩(wěn)定的，奇點為穩(wěn)定焦點。e是單調(diào)衰減的。,例2：非線性系統(tǒng)框圖如下,其中繼電器回環(huán)特性的參數(shù)M=0.2，a=0.2。 系統(tǒng)的線性部分是欠阻尼情況，奇點是穩(wěn)定焦點。非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出關(guān)系為,根據(jù)上述關(guān)系，可將 平面分為二個區(qū)域。分別繪制初始狀態(tài)分別為 和 的兩條相軌跡。,從圖知，無論從哪一組初始條件出發(fā)，相軌跡均收斂于極限環(huán)，這是一個穩(wěn)定的極限環(huán)，意味著系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。 一般不希望系統(tǒng)有自持振蕩。當(dāng)振蕩難以消除時，應(yīng)盡量將振蕩限制在一個較小的、可以接收的范圍內(nèi)。實際上，對于此系統(tǒng)，通過減少繼電器回環(huán)的寬度a，可減小振蕩。,7.3 描述函數(shù),描述函數(shù)是非線性特性的一種近似表示，是一種諧波線性化方法，忽略非線性環(huán)節(jié)輸出中的高次諧波，用基波分量表示其輸出。,式中,由于y的高次諧波幅值小于基波幅值，且系統(tǒng)的線性部分 都具有低通濾波性質(zhì)，可以假設(shè)只有基波分量起作用，而將高次諧波忽略不計。,一、描述函數(shù)的定義 設(shè)非線性特性為對稱型，則傅氏級數(shù)中的直流分量 y的基波為,描述函數(shù)N(X)表示了當(dāng)X為正弦信號時，輸出基波分量與X在幅值和相位上的關(guān)系。,二、典型非線性特性的描述函數(shù) 1、死區(qū)非線性的描述函數(shù),2、理想繼電器非線性的描述函數(shù),7.4 非線性系統(tǒng)的諧波平衡法分析,和相平面法不同，諧波平衡法對非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行諧波線性化處理，允許線性部分是任意階次。,如果滿足上式，表示 與 有交點，此時非線性系統(tǒng)將出現(xiàn)自持振蕩，這相當(dāng)于線性系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖 在復(fù)平面中穿過（1，j 0）點。,將非線性的負(fù)倒幅特性和線性部分的極坐標(biāo)圖繪制在一個復(fù)平面中，根據(jù)二者的相對位置可分析非線性系統(tǒng)的