【高考輔導(dǎo)資料】2007年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

2007年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（重慶理）已知函數(shù)(x0)在x = 1處取得極值，其中a,b,c為常數(shù)。（1）試確定a,b的值；（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對任意x0，不等式恒成立，求c的取值范圍。解：（I）由題意知，因此，從而又對求導(dǎo)得由題意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得當(dāng)時(shí)，此時(shí)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)為增函數(shù)因此的單調(diào)遞減區(qū)間為，而的單調(diào)遞增區(qū)間為（III）由（II）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值，要使（）恒成立，只需即，從而，解得或所以的取值范圍為（浙江理）設(shè)，對任意實(shí)數(shù)，記（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）求證：（）當(dāng)時(shí)，對任意正實(shí)數(shù)成立；（）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對任意正實(shí)數(shù)成立本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力滿分15分（I）解：由，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是（II）證明：（i）方法一：令，則，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)的最小值是故當(dāng)時(shí)，對任意正實(shí)數(shù)成立方法二：對任意固定的，令，則，由，得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值因此當(dāng)時(shí)，對任意正實(shí)數(shù)成立（ii）方法一：由（i）得，對任意正實(shí)數(shù)成立即存在正實(shí)數(shù)，使得對任意正實(shí)數(shù)成立下面證明的唯一性：當(dāng)，時(shí)，由（i）得，再取，得，所以，即時(shí)，不滿足對任意都成立故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對任意正實(shí)數(shù)成立方法二：對任意，因?yàn)殛P(guān)于的最大值是，所以要使對任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是：，即，又因?yàn)?，不等式成立的充分必要條件是，所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對任意正實(shí)數(shù)成立（天津理）已知函數(shù)，其中（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值本小題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法滿分12分（）解：當(dāng)時(shí)，又，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即（）解：由于，以下分兩種情況討論（1）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)函數(shù)在處取得極小值，且，函數(shù)在處取得極大值，且（2）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)函數(shù)在處取得極大值，且函數(shù)在處取得極小值，且（四川理）設(shè)函數(shù).()當(dāng)x=6時(shí),求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);()對任意的實(shí)數(shù)x,證明()是否存在,使得an恒成立?若存在,試證明你的結(jié)論并求出a的值;若不存在,請說明理由.本題考察函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)、二項(xiàng)式定理、組合數(shù)計(jì)算公式等內(nèi)容和數(shù)學(xué)思想方法?？疾榫C合推理論證與分析解決問題的能力及創(chuàng)新意識(shí)。（）解：展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，這項(xiàng)是（）證法一：因證法二：因而故只需對和進(jìn)行比較。令，有由，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在處有極小值故當(dāng)時(shí)，從而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（）對，且有又因，故，從而有成立，即存在，使得恒成立。（陜西理）設(shè)函數(shù)f(x)=其中a為實(shí)數(shù).()若f(x)的定義域?yàn)镽,求a的取值范圍;()當(dāng)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，求f(x)的單減區(qū)間.解：（）的定義域?yàn)?，恒成立，即?dāng)時(shí)的定義域?yàn)椋ǎ?，令，得由，得或，又，時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由得，即當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為（山東理）設(shè)函數(shù)，其中（）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（）證明對任意的正整數(shù)，不等式都成立解(I) 函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則在上遞增，在上遞減，.當(dāng)時(shí)，在上恒成立.即當(dāng)時(shí),函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增。（II）分以下幾種情形討論：（1）由（I）知當(dāng)時(shí)函數(shù)無極值點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)。（3）當(dāng)時(shí)，解得兩個(gè)不同解，.當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上有唯一的極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在都大于0 ，在上小于0 ，此時(shí)有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).綜上可知，時(shí)，在上有唯一的極小值點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，函數(shù)在上無極值點(diǎn)。（III） 當(dāng)時(shí)，令則在上恒正，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒有.即當(dāng)時(shí)，有，對任意正整數(shù)，取得【試題分析】函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明方法。(I)通過判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定函數(shù)的單調(diào)性是是和定義域共同作用的結(jié)果；（II）需要分類討論，由（I）可知分類的標(biāo)準(zhǔn)為（III）構(gòu)造新函數(shù)為證明不等式“服務(wù)”，構(gòu)造函數(shù)的依據(jù)是不等式關(guān)系中隱含的易于判斷的函數(shù)關(guān)系。用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題一直是各省市高考及各地市高考模擬試題的重點(diǎn)，究其原因，應(yīng)該有三條：這里是知識(shí)的交匯處，這里是導(dǎo)數(shù)的主陣地，這里是思維的制高點(diǎn).此類問題的一般步驟都能掌握，但重要的是求導(dǎo)后的細(xì)節(jié)問題-參數(shù)的取值范圍是否影響了函數(shù)的單調(diào)性？因而需要進(jìn)行分類討論判斷：當(dāng)參數(shù)給出了明確的取值范圍后，應(yīng)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)迅速判斷或。參數(shù)取某些特定值時(shí)，可直觀作出判斷，單列為一類；不能作出直觀判斷的，再分為一類，用通法解決.另外要注意由求得的根不一定就是極值點(diǎn)，需要判斷在該點(diǎn)兩側(cè)的異號(hào)性后才能稱為 “極值點(diǎn)”.（全國卷二理）已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：解：（1）的導(dǎo)數(shù)曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即（2）如果有一條切線過點(diǎn)，則存在，使若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根記，則當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：000增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則即（全國卷一理）設(shè)函數(shù)（）證明：的導(dǎo)數(shù)；（）若對所有都有，求的取值范圍解：（）的導(dǎo)數(shù)由于，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）（）令，則，（）若，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，所以，時(shí)，即（）若，方程的正根為，此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)所以，時(shí)，即，與題設(shè)相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是設(shè)函數(shù)（I）若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于（江西理）如圖，函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，且在該點(diǎn)處切線的斜率為（1）求和的值；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的值解：（1）將，代入函數(shù)得，因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以，因此?）因?yàn)辄c(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為又因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，所以因?yàn)?，所以，從而得或即或（湖南理）如圖4，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)和居民區(qū)的公路，點(diǎn)所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點(diǎn)到平面的距離（km）沿山腳原有一段筆直的公路可供利用從點(diǎn)到山腳修路的造價(jià)為萬元/km，原有公路改建費(fèi)用為萬元/km當(dāng)山坡上公路長度為km（）時(shí)，其造價(jià)為萬元已知，（I）在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最??；（II） 對于（I）中得到的點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最小（III）在上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論AEDBHP解：（I）如圖，由三垂線定理逆定理知，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，設(shè)，則記總造價(jià)為萬元，據(jù)題設(shè)有當(dāng)，即時(shí)，總造價(jià)最小（II）設(shè)，總造價(jià)為萬元，根據(jù)題設(shè)有則，由，得當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)是增函數(shù)故當(dāng)，即（km）時(shí)總造價(jià)最小，且最小總造價(jià)為萬元（III）解法一：不存在這樣的點(diǎn)，事實(shí)上，在上任取不同的兩點(diǎn)，為使總造價(jià)最小，顯然不能位于 與之間故可設(shè)位于與之間，且=，總造價(jià)為萬元，則類似于（I）、（II）討論知，當(dāng)且僅當(dāng)，同時(shí)成立時(shí)，上述兩個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立，此時(shí)，取得最小值，點(diǎn)分別與點(diǎn)重合，所以不存在這樣的點(diǎn) ，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)解法二：同解法一得當(dāng)且僅當(dāng)且，即同時(shí)成立時(shí)，取得最小值，以上同解法一（湖北理）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力解：（）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為（）設(shè)，則故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，（廣東理）如圖6所示，等腰三角形ABC的底邊AB=，高CD=3，點(diǎn)E是線段BD上異于B、D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上，且EFAB，現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，使PEAE，記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACEF的體積。 （1）求V(x)的表達(dá)式； （2）當(dāng)x為何值時(shí)，V(x)取得最大值？ （3）當(dāng)V（x）取得最大值時(shí)，求異面直線AC與PF所成角的余弦值。（1）由折起的過程可知，PE平面ABC，V(x)=（）（2），所以時(shí)， ，V(x)單調(diào)遞增；時(shí) ，V(x)單調(diào)遞減；因此x=6時(shí)，V(x)取得最大值；（3）過F作MF/AC交AD與M,則，PM=，在PFM中， ，異面直線AC與PF所成角的余弦值為；（廣東理）已知函數(shù)，是方程f(x)=0的兩個(gè)根，是f(x)的導(dǎo)數(shù)；設(shè)，（n=1,2,） （1）求的值； （2）證明：對任意的正整數(shù)n，都有a；（3）記（n=1,2,），求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn。解析：（1），是方程f(x)=0的兩個(gè)根，； （2），=，有基本不等式可知（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），同，樣，（n=1,2,）， （3），而，即，同理，又（福建理）已知函數(shù)（）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若，且對于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；（）設(shè)函數(shù)，求證：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力滿分14分解：（）由得，所以由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是（）由可知是偶函數(shù)于是對任意成立等價(jià)于對任意成立由得當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上單調(diào)遞增故，符合題意當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)的變化情況如下表：單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由此可得，在上，依題意，又綜合，得，實(shí)數(shù)的取值范圍是（）， 由此得，故（北京理）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值解：（I）依題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程，解得，其定義域?yàn)椋↖I）記，則令，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以是的最大值因此，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為（安徽理）設(shè)a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x