任意矩陣的行列式的定義和性質(zhì).doc

精品論文推薦任意矩陣的行列式的定義和性質(zhì)陳必紅1（1. 深圳大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，廣東省深圳市 郵編 518060）摘要：行列式對于線性代數(shù)的理論和計算都起到了重要作用。而現(xiàn)有的行列式是定義在方陣上的，非方陣的矩陣并沒有好的行列式的定義。本文給出了一個一般矩陣的行列式的定義。在這個定義中，任何矩陣都 有針對行的行列式（簡稱為行式）和針對列的行列式（簡稱為列式）這兩種行列式。當(dāng)矩陣為方陣時，這 兩個行列式相等，就是現(xiàn)在定義的矩陣的行列式。如果矩陣行數(shù)大于列數(shù)，矩陣的行式定義為 0，這時如 果矩陣為列滿秩的，矩陣的列式就是位置最高的不為 0 的最高階子式的值，否則矩陣的列式為 0。一個矩 陣如果行數(shù)小于列數(shù)，則它的行式和列式分別是它轉(zhuǎn)置后的列式和行式。 關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；行列式；線性方程組；中圖分類號：o151.22文獻(xiàn)標(biāo)識碼：文章編號：definition and feature of determinant of a matrixchen bihong1(1. college of mathematics of shenzhen university, shen-zhen, guangdong 518060) abstract：determinant is important in theory and calculation of linear algebra. now used determinant is defined on square matrix, and a matrix which is not square matrix has not good definition of determinant. this paper gives a generalized definition of determinant of any matrix. in the definition, any matrix has row determinant and column determinant. when the matrix is square, its two determinants are same which also equal to determinantnow used. if the matrixs row number is larger than its column number, its row determinant is defined as 0, and on this time, if the rank of matrix is equal its column number, its column determinant has value of highest no-zero largest order determinant, otherwise the column determinant is 0. if a matrixs row number is less than its row number, its row determinant and column determinant are column determinant and row determinant of its transpose.0引言筆者在長期的線性代數(shù)的教學(xué)中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生有這種錯誤，就是當(dāng)判定一個向量組是 否線性無關(guān)的時候，會將此向量組按列拼成矩陣后，聲稱這個矩陣的行列式不為 0，所以線 性無關(guān)，雖然答案有可能恰好正確，但是那個矩陣不是方陣，按現(xiàn)在的觀點根本就不存在行 列式。行列式的概念在歷史上是在十七世紀(jì)由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和首次提出的3。而行列式在線性代數(shù)的理論和算法中有著重要的作用1，可以判定方程組是否有唯一解6，方陣是否有逆5，向量組是否線性無關(guān)7，等等。 本文試圖針對一個一般的矩陣定義行列式，也是希望這個定義導(dǎo)致了一些現(xiàn)有的行列式的某些判別準(zhǔn)則能夠推廣到一般的矩陣中去。 用本文的對行列式的定義，也是希望對線性代數(shù)的某些概念進(jìn)行更為嚴(yán)格的定義，得到更為一致的結(jié)論，使得學(xué)生學(xué)起來容易。作者簡介：陳必紅，男，1955 年生，清華大學(xué)博士，主要研究方向是觀測過程理論，信息論基礎(chǔ)理論. e-mail:.41一般定義本文討論實數(shù)矩陣，但是所得結(jié)論同樣用于任何數(shù)的矩陣。任何一個m行n列的矩陣a，它可以分塊為n個列向量組成，a=(1,2,.,n)，也可以分塊1 t t 為m個行向量組成，即 a = 2 ，或a=( , ,.,)t. # 1 2m t m 定義 1. 任給矩陣a=(1,2,.,n)，設(shè)a的秩r(a)=r0，a的列向量組中的極大無關(guān)組有可能不止一個，這時可對 a 的不同的極大無關(guān)組進(jìn)行排序。 設(shè) a = ( , , ) 及1i1i2ira = ( , , ) 是a的兩個不同的極大無關(guān)組，則，如果i j1則認(rèn)為a1在a2的右邊， 否則如果i1=j1，就考察a1和a2的第二個向量的下標(biāo)i2和j2， 同樣，數(shù)字小的，相應(yīng)的向量被認(rèn)為是在左邊，否則如果相等，則再比較第三個向量的下標(biāo)， 這樣依此類推，就可以確定a1和a2誰在左邊。如果a的列向量組中有一極大無關(guān)組處于所有 其它的極大無關(guān)組的左邊，或者它是a的唯一的一個極大無關(guān)組，則稱此極大無關(guān)組為a的 列主要組。同樣的辦法可以定義a的行向量組的行主要組。a的列主要組中的列稱為a的主要 列，a的非主要列稱為a的次要列，a的行主要組中的行稱為a的主要行，其它行稱為a的次 要行。a中的同時處于主要列和主要行中的元素按原來的相對位置，可以拼成一個r階方陣， 稱為a的主子陣。主子陣的行列式值，稱為a的主子行列式值。易知主子行列式值一定不為0。注意主子行列式值并不是本文要定義的a的行列式，而是一個中間的概念。這樣，不難知道，對任意矩陣 a，對其進(jìn)行行初等變換不改變 a 的主要列的位置，對 a 進(jìn)行列初等變換不改變 a 的主要行的位置。對 a 作若干次列初等變換，可以使 a 的次要列 都成為 0 列，對 a 作若干次行初等變換，可以使 a 的次要行都成為 0 行。定義主要行和主要列的好處有許多，其中的一條就是唯一性，因此在將來給考生出考試 題的時候，要求考生寫出一個矩陣的主要列所在位置，答案是唯一的。否則，如果要求考生 給出一個列向量組的極大無關(guān)組，答案不唯一，不好寫標(biāo)準(zhǔn)答案，教師改題的工作量也增加。 筆者作為線性代數(shù)的教師，當(dāng)然也是希望自己越懶越好，越省事越好。次要列未見得不能夠和其它的列組成極大無關(guān)組，只不過包括了次要列的極大無關(guān)組，肯定不在最左邊或者最上面而已。 簡而言之，一個矩陣的主子行列式就是它的最靠左上角的具有最大階數(shù)的不為零的子式，主子行列式中牽涉到的列為主要列，牽涉到的行為主要行。 有了主要行和主要列的概念，可以輕松將有關(guān)線性方程組中有關(guān)解的定理重述如下。 定理 1 給定n元未知向量x=(x1,x2,xn)t的非齊次線性方程組ax=b, 其增廣矩陣為(a,b),設(shè)它的秩為r=r(a,b)，則(a,b)有r個主要行。將(a,b)的次要行都刪去，得到的縮減了的增廣矩陣(a,b), 其對應(yīng)的去掉了一些方程的方程組ax=b, 與原方程組同解。ax=b有解的充分必要條件是b為(a,b)的次要列，在ax=b有解條件下有唯一解的充分必要條件是a的列都是主要列。當(dāng)b=o時，b當(dāng)然是(a,b)次要列，這時方程組ax=o為齊次方程組，當(dāng)然肯定有解，而ax=o有 非零解的充分必要條件是a中存在有次要列，且ax=o的非零解的基礎(chǔ)解系中的解向量的個數(shù) 就是a的次要列的個數(shù)。下面就可以定義任何一個矩陣的行列式了。定義 2 任給矩陣a，定義a的針對列的行列式，簡稱為a的列式為：如果a存在次要列，則它的列式為 0，否則，如果a的所有列都是主要列，則定義a的列式的值為主子行列式的值。將這樣定義的a的列式記為detc(a), 或|a|c，但是因為a的列式很重要，所以也將a的列 式稱為a的行列式，簡記為det(a)或者|a|。同理，定義a的針對行的行列式，簡稱為a的行式 為：如果a存在次要行，則它的行式為 0，否則，如果a的所有行都是主要行，則定義a的行 式為主子行列式的值。將這樣定義的a的行式記為detr(a), 或|a|r。根據(jù)定義不難知道，當(dāng) a 是方陣時，a 的行式和列式是相等的，都等于 a 的行列式的 值。2性質(zhì)和一些定理定義一般矩陣 a 的行列式，并非在線性代數(shù)的理論上有何突破，但是，有可能有助于 建立一致的說法，以便于線性代數(shù)的教學(xué)。下面可以將一些線性代數(shù)的定理，用新定義的行 列式重述。定義 3 4對任意矩陣a與b，如果ab=i, i是單位矩陣，則稱a是b的左逆矩陣，并記b的 左逆矩陣為bl, b是a的右逆矩陣, 并記a的右逆矩陣為ar。當(dāng)然，我們知道如果 a 與 b 都是方陣，則左逆矩陣與右逆矩陣相同。定理 2 2 矩陣a有左逆的充分必要條件，是detc(a)0, 有右逆的充分必要條件，是detr(a)0。這在形式上類似于方陣的有關(guān)定理。定理 3 矩陣 a 的列向量組線性無關(guān)的充分必要條件，是 detc(a)0。a 的行向量組線性 無關(guān)的充分必要條件，是 detr(a)0。也可以敘述為，矩陣 a 的列向量組線性相關(guān)的充分必要條件，是 detc(a)=0, 而其行向量組線性相關(guān)的充分必要條件，是 detr(a)=0。有了這個定理，則今后學(xué)生們要判斷一組向量的線性相關(guān)性，只需要將它們按列排成矩 陣后計算其列式即可。這樣的計算具有一致性，就不象現(xiàn)在這樣，一會兒方陣要用行列式， 一會兒又要用行初等變換。定理 4 齊次線性方程組ax=o有非零解的充分必要條件，是detc(a)=0。同樣可以說成ax=o只有零解的充分必要條件，是detc(a)0。如果非齊次線性方程組ax=b有解，則它有唯 一解的充分必要條件，是detc(a)0。當(dāng)ax=b有唯一解時，此唯一解可表示為x=alb。在這種情況下用矩陣 a 的列式來判斷線性方程組的各種情況，類似于系數(shù)矩陣是方陣的情況。 上面這三個定理都極為類似于方陣的行列式的相應(yīng)定理，因此學(xué)生們應(yīng)當(dāng)是好記的。性質(zhì) 1 對任意矩陣 a，調(diào)換它的兩個主要列，則它的列式反號，調(diào)換它的兩個主要行，則它的行式反號，將一個主要列乘上一個數(shù)加到另一個主要列，或?qū)⒁粋€主要行乘上一個數(shù) 加到另一個主要行，不改變 a 的行式和列式。將一個數(shù) k 乘上一個主要列或者主要行的所 有元素，導(dǎo)致 a 的行式和列式都擴(kuò)大了 k 倍。除了這個性質(zhì)外，從前面的定理可以知道，行列式是否為 0 是矩陣 a 的重要性質(zhì)。因 此有如下定理。定理 5 對任意矩陣 a，對它作初等變換，不改變它的行式和列式的是否為 0 的性質(zhì)。3結(jié)語可以看出，在定義了任意的一個矩陣 a 的行式和列式之后，原有的方陣的行列式的一些性質(zhì)和結(jié)論，就可以非常類似地進(jìn)行推廣。本文作了這樣的定義之后，首先還是有利于學(xué)生們的學(xué)習(xí)，但是，也有可能對于進(jìn)一步發(fā)展線性代數(shù)的理論有幫助作用。參考文獻(xiàn)(references)1 沈永歡，梁在中，許履瑚，蔡倩倩. 實用數(shù)學(xué)手冊m. 科學(xué)出版社，2001：95 頁.shen y.h, liang z.z, xu l.h, cai q.q. pragmatic mathematics handbookm. science publishinghouse, 2001: p95. 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