晶格振動(dòng)對(duì)晶體的許多性質(zhì)有影響.ppt

晶格振動(dòng)對(duì)晶體的許多性質(zhì)有影響，例如，固體的比熱、熱膨脹、熱導(dǎo)等直接與晶格的振動(dòng)有關(guān)。 設(shè)：原胞中只含有一個(gè)原子， 整個(gè)原子平面作同位相運(yùn)動(dòng)。 可以有三種振動(dòng)波，一個(gè)縱向振動(dòng)波，兩個(gè)橫向振動(dòng)波.,1.3 晶格振動(dòng),1.3.1 一維原子鏈的的振動(dòng) 1.3.2 晶體振動(dòng)的量子化 1.3.3 確定晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn),K或q,一、一維單原子晶格的線性振動(dòng),1.3.1 一維原子鏈的振動(dòng),條件： 每個(gè)原子都具有相同的質(zhì)量m； 晶格常數(shù)（平衡時(shí)原子間距）為a； 熱運(yùn)動(dòng)使原子離開(kāi)平衡位置x。,設(shè)：原子間的作用力是和位移成正比，但方向相反的彈性力； 兩個(gè)最近鄰原子間才有作用力-短程彈性力。,xn表示第n個(gè)原子離開(kāi)平衡位置的位移，第n個(gè)原子相對(duì)第n+1個(gè)原子間的位移是： a+ xn xn+1- a= xn xn+1 同理：第n個(gè)原子相對(duì)第n-1個(gè)原子間的位移是： xn xn-1,第n個(gè)原子受第n+1個(gè)原子的作用力 ： Fn，n+1= -ks(xn- xn+1) 第n個(gè)原子受第n-1個(gè)原子的作用力： Fn，,n-1= -ks(xn- xn-1) 則第n個(gè)原子所受原子的總力為： F= Fn，n+1 +Fn，,n-1 得：F=ks(xn+1+xn-1-2xn),1. 原子間的作用力服從虎克定律,第n個(gè)原子運(yùn)動(dòng)方程： md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn),2. 原子間的作用力服從牛頓定律,晶格中所有原子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)（或具有前進(jìn)波的形式）： xn=Aexpi(t-naq)、xn=Ae i(t-naq) 、xn=Acos(t-naq) A：振幅； ：角頻率； n：1，2，3，4N； aq：相鄰原子的位相差； naq：第n個(gè)原子振動(dòng)的位相差。 此式說(shuō)明所有原子以相同的頻率和相同的振幅振動(dòng)。,0 1 2 3 4,3. 原子振動(dòng)方程,如果第n個(gè)和n第個(gè)原子的位相之差： (qna-qna)=2s(s整數(shù))， 即 qn-qn=2s/a時(shí)， 原子因振動(dòng)而產(chǎn)生的位移相等，因此晶格中各個(gè)原子間的振動(dòng)相互間存在著固定的位相關(guān)系 。 結(jié)果：在晶格中存在著角頻率為的平面波-格波。,格波,格波：晶格中的所有原子以相同頻率振動(dòng)而形成的波，或某一個(gè)原子在平衡位置附近的振動(dòng)是以波的形式在晶體中傳播形成的波。 格波的特點(diǎn)： 晶格中原子的振動(dòng)； 相鄰原子間存在固定的位相。,n,2/q=,4. 色散關(guān)系（晶格的振動(dòng)譜）,色散關(guān)系：頻率和波矢的關(guān)系。,（1）色散關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式,將間諧振動(dòng)方程：xn=Ae i(t-naq)代入 牛頓方程： md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn) 得 ： 2=1-cos(qa)2ks/m 或 =2(ks/m)1/2|sin(qa/2)| 上式為一維簡(jiǎn)單晶格中格波的色散關(guān)系（ -q的關(guān)系)，也為頻譜關(guān)系。 -q的關(guān)系為周期函數(shù)。,根據(jù)函數(shù)的周期性，|qa/2|/2 即 |q| /a 在此范圍以外的一切q值，只是重復(fù)此范圍的q值所得頻率。該范圍的長(zhǎng)度正好是倒格矢的長(zhǎng)度(|-/a |+|/a|= 2/a) 。 q的正負(fù)號(hào)說(shuō)明： 正的q對(duì)應(yīng)在某方向前進(jìn)的波，負(fù)的q對(duì)應(yīng)于相反方向進(jìn)行的波。,色散關(guān)系為周期函數(shù)； 當(dāng)q=0時(shí)，=0 當(dāng)sin(qa/2)=1時(shí)，有最大值， 且max=2(ks/m)1/2,-2/a -/a 0 /a 2/a,max max,一維不喇菲格子振動(dòng)的頻譜,（2）頻譜圖,有： (q)= (q+2 /a) 說(shuō)明波矢空間具有平移對(duì)稱性,其周期為第一布里淵區(qū)邊長(zhǎng). 由布里淵區(qū)邊界 q= /a=2 / 得： / 2 = a 滿足形成駐波的條件 q= /a正好是布里淵區(qū)邊界，滿足布拉格反射條件，反射波與入射波疊加形成駐波。,入射波,反射波,一維單原子簡(jiǎn)諧振動(dòng)的波函數(shù)：xn=Aeit-qna 將波矢 ： q=2s/a+q（為任意整數(shù)）代入 得 xn=Aeit- (2s/a+q )na = Aei 2sn ei(t- q na) ei 2sn=1 xn=Aeit-qna= xn,(3) 分析討論,結(jié)論 如果q -q =2s/a （為任意整數(shù)）這兩種波矢對(duì)同一種原子所引起的振動(dòng)完全相同。 對(duì)應(yīng)某一確定振動(dòng)狀態(tài)，可以有無(wú)限多個(gè)波矢q，它們之間都相差2/a的整數(shù)倍。 為了保證xn的單值性，把q值限制在(-/a, /a), 其中a是該格子的晶胞常數(shù)，該范圍正好在第一布里淵區(qū)。,例如：波矢q =/2a原子的振動(dòng)同樣可以當(dāng)作波矢q =5/2a的原子的振動(dòng)（ q -q =2/a）。,紅線： q =5/2a, =4a/5 兩相鄰原子振動(dòng)的位相差是2+ /2。,綠線： q =/2a，=4a 兩相鄰原子振動(dòng)的位相差是/2。,格波與一般連續(xù)介質(zhì)波的比較 相同： 振動(dòng)方程形式類(lèi)似 區(qū)別： 1 連續(xù)介質(zhì)波中x表示空間任意一點(diǎn)，而格波只取呈周期性排列的格點(diǎn)的位置； 2 一個(gè)格波解表示所有原子同時(shí)做頻率為的振動(dòng)，不同原子間有位相差，相鄰原子間位相差為aq. 3 二者的重要區(qū)別在于波矢的涵義（ 原子以q 與q振動(dòng)一樣 ，同一振動(dòng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)多個(gè)波矢，或多個(gè)波矢為同一振動(dòng)狀態(tài)） 。,a,2a,2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2,m,M,運(yùn)動(dòng)方程： md2x2n+1/dt2=ks(x2n+2-2x2n+1+x2n) Md2x2n+2/dt2=ks(x2n+3+x2n+1-2x2n+2),1. 色散關(guān)系（晶格振動(dòng)譜）,雙原子（ Mm）一維晶格,、一維雙原子晶格的線性振動(dòng),方程的解是以角頻率為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)： x2n+1=Aeit-q(2n+1)a x2n=Beit-q2na x2n+2=Beit-q(2n+2)a x2n+3=Aeit-q(2n+2)a 由牛頓方程與簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程得： -m2A=ks(e iqa+e -iqa)B-2ksA -M2B=ks(e iqa+e -iqa)A-2ksA 上式可改寫(xiě)為：(2ks-m2)A-(2kscosqa)B=0 -(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0,若A、B有異于零的解，則其行列式必須等于零，,2ks-m2 -2kscosqa -2kscosqa 2ks-M2,即,得： 2=(m+M)m2+M2+2mMcos(2qa)1/2ks/mM 說(shuō)明：頻率與波矢之間存在著兩種不同的色散關(guān)系，即對(duì)一維復(fù)式格子，可以存在兩種獨(dú)立的格波（對(duì)于一維簡(jiǎn)單晶格，只能存在一種 格波）。兩種不同的格波各有自己的色散關(guān)系： 12=(m+M)-m2+M2+2mMcos(2qa)1/2ks/mM 22=(m+M)+m2+M2+2mMcos(2qa)1/2ks/mM,由于q值限制在(-/2a, /2a) ，2qa介于 (-, ) 當(dāng) 2qa= (或-)時(shí) 由 12=(m+M)-m2+M2+2mMcos(2qa)1/2ks/mM 得 (1 )最大 =(2ks/M)1/2 由 22=(m+M)+m2+M2+2mMcos(2qa)1/2ks/mM 得 (2)最小 =(2ks/m)1/2 因?yàn)?Mm， 有 (2)最小 (1 )最大 。,（2）頻率的取值,當(dāng)2qa=0時(shí) 由 12=(m+M)-m2+M2+2mMcos(2qa)1/2ks/mM 得 (1 )最小 =0 由 22=(m+M)+m2+M2+2mMcos(2qa)1/2ks/mM 得 (2)最大= 2ks(m+m)/mM 1/2 設(shè) =mM/(m+M) （兩種原子的折合質(zhì)量） 則 (2)最大=(2ks/ )1/2,(2ks/M)1/2,(2ks/m)1/2,(2ks/ )1/2,光頻支2,聲頻支1,一維雙原子復(fù)式格子的振動(dòng)頻譜, 復(fù)式格子兩種格波的振動(dòng)頻率， 1支格波的頻率總比2支的低。 2支格波：光學(xué)支格波（光學(xué)波）可以用紅外光光來(lái)激發(fā)； 1支格波：聲頻支格波（聲學(xué)波），可以用超聲波來(lái)激發(fā)。,結(jié) 論,由 (2ks-m2)A-(2kscosqa)B=0 得 ( A/B)1=(2kscosqa)/ (2ks-m12) 因?yàn)?12 2ks/ M, cos(qa)0 得 ( A/B)1 0,三、 聲學(xué)波和光學(xué)波,1. 聲學(xué)波,說(shuō)明： 相鄰兩種不同原子的振幅都有相同的正號(hào)或負(fù)號(hào)，即對(duì)于聲學(xué)波，相鄰原子都是沿著同一方向振動(dòng)，當(dāng)波長(zhǎng)很長(zhǎng)時(shí)，聲學(xué)波實(shí)際上代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)。,聲學(xué)波示意圖,由 -(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0 得 ( A/B)2= (2ks-M2)/ 2kscos(qa) 因 22 2ks/ m, cos(qa)0 得 ( A/B)2 0,2. 光學(xué)波,說(shuō)明：對(duì)于光學(xué)波，相鄰兩種不同原子的振動(dòng)方向是相反的。,當(dāng)q很小時(shí)，即波長(zhǎng)很長(zhǎng)的光學(xué)波（長(zhǎng)光學(xué)波）， cos(qa)1， 又 22=2ks/ ， 由 -(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0 得 ( A/B)2 =-M/m mA+MB=0,說(shuō)明：原胞的質(zhì)心保持不動(dòng)，由此也可以定性的看出，光學(xué)波代表原胞中兩個(gè)原子的相對(duì)振動(dòng)。,聲學(xué)波與光學(xué)波的比較,說(shuō)明：帶異性電荷的離子間的相對(duì)振動(dòng)產(chǎn)生一定的電偶極矩，可以和電磁波相互作用。且只和波矢相同的格波相互作用，如果有與格波相同頻率的電磁波作用，發(fā)生共振。,-/2a 0 /2a q,光波=coq,共振點(diǎn),四、 周期性邊界條件（波恩卡門(mén)邊界條件）,由振動(dòng) 波函數(shù)單值的要求，對(duì)波矢的取值范圍進(jìn)行了限定:一維不喇菲格子，q介于(-/a, /a)之間;一維雙原子的復(fù)式格子，q介于(-/2a, /2a)之間.,波恩和卡門(mén)把邊界對(duì)內(nèi)部原子的振動(dòng)狀態(tài)的影響考慮成如下面所述的周期性邊界條件模型（包含N個(gè)原胞的環(huán)狀鏈作為有限鏈的模型）： 包含有限數(shù)目的原子，保持所有原胞完全等價(jià)。 如果原胞數(shù)N很大使環(huán)半徑很大，沿環(huán)的運(yùn)動(dòng)仍可以看作是直線的運(yùn)動(dòng)。 和以前的區(qū)別：需考慮鏈的循環(huán)性。即原胞的標(biāo)數(shù)增加N，振動(dòng)情況必須復(fù)原。,一維鏈的波恩卡曼邊界條件,xn=Aeit-qna xn+N= Aeit-q(n+N)a= Aeit-qna ei-qNa 由于 xn= xn+N 有 ei-qNa=1 即 Nqa=2h, （h為整數(shù)），或q= 2h/Na q介于(-/a, /a)之間，或 -/a q /a 得 - N/2 h N/2,說(shuō)明: h只能取由-N/2到N/2，一共有N個(gè)不同的數(shù)值。 -N/2 h N/2 ,q是均勻取值。,由N個(gè)原胞組成的鏈，q可以取N個(gè)不同的值，每個(gè)q對(duì)應(yīng)著一個(gè)格波，共有N個(gè)不同的格波，N是一維單原子鏈的自由度數(shù)，即得到鏈的全部振動(dòng)模（或振動(dòng)狀態(tài)數(shù)）。 同理：可得兩種復(fù)式格子的q取值個(gè)數(shù)為N.,結(jié)論,晶格振動(dòng)是晶體中諸原子（離子）集體在作振動(dòng)，其結(jié)果表現(xiàn)為晶格中的格波。 一般而言，格波不一定是簡(jiǎn)諧波，但可以展成為簡(jiǎn)諧平面波的線性疊加。,一、聲子概念的由來(lái),1.3.2 晶格振動(dòng)的量子化 -聲子,當(dāng)振動(dòng)微弱時(shí)，即相當(dāng)于簡(jiǎn)諧近似的情況，格波為簡(jiǎn)諧波。此時(shí)，格波之間的相互作用可以忽略，可以認(rèn)為它們的存在是相互獨(dú)立振動(dòng)的模式。 每一獨(dú)立模式對(duì)應(yīng)一個(gè)振動(dòng)態(tài)(q) 。 晶格的周期性給予格波以一定的邊界條件，使獨(dú)立的模式也即獨(dú)立的振動(dòng)態(tài)是分立的。 可以用獨(dú)立簡(jiǎn)諧振子的振動(dòng)來(lái)表述格波的獨(dú)立模式。 聲子-晶格振動(dòng)中的獨(dú)立簡(jiǎn)諧振子的能量量子。,二 、格波能量量子化,1. 三維晶格振動(dòng)能量,原胞（ N個(gè)）內(nèi)含1個(gè)原子系統(tǒng)的三維晶格振動(dòng)具有3N個(gè)獨(dú)立諧振子 ； 晶體中的格波是所有原子都參與的振動(dòng)，含N個(gè)原胞的晶體振動(dòng)能量為3N個(gè)格波能量之和； 在簡(jiǎn)諧近似下，每個(gè)格波是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，晶體總振動(dòng)能量等于3N個(gè)簡(jiǎn)諧振子的能量之和。,諧振子的能量用量子力學(xué)處理時(shí)，每一個(gè)諧振子的能量l為 ： l =(n1+1/2)I, nl=0,1,2, 則晶格總能量E為： E= (n1+1/2)I,2. 格波能量量子化,說(shuō)明：晶格振動(dòng)的能量是量子化的，晶格振動(dòng)的能量量子I稱為聲子。,、聲子的性質(zhì),1. 聲子的粒子性,光子-電磁波的能量量子。電磁波可以認(rèn)為是光子流，光子攜帶電磁波的能量和動(dòng)量。 聲子-聲子攜帶聲波的能量和動(dòng)量。若格波頻率為，波矢q為，則聲子的能量為 ，動(dòng)量為q。 聲子和物質(zhì)相互作用服從能量和動(dòng)量守恒定律，如同具有能量和動(dòng)量 q的粒子一樣。,可以將格波與物質(zhì)的互作用過(guò)程，理解為聲子和物質(zhì)的碰撞過(guò)程，使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化，得出的結(jié)論也正確。如，電子、光子、聲子等。,準(zhǔn)粒子性的具體表現(xiàn)：聲子的動(dòng)量不確定，波矢改變一個(gè)周期（倒格矢量）或倍數(shù)，代表同一振動(dòng)狀態(tài)，所以不是真正的動(dòng)量； 系統(tǒng)中聲子的數(shù)目一般用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行計(jì)算，具有能量為Ei的狀態(tài)用出現(xiàn)的幾率來(lái)表示。,2. 聲子的準(zhǔn)粒子性,3. 聲子概念的意義,1.3.3 確定晶格振動(dòng)譜(q)的實(shí)驗(yàn)方法,晶格的振動(dòng)譜-格波的色散關(guān)系。 確定晶格振動(dòng)譜的意義-晶體的許多性質(zhì)和函數(shù)(q)有關(guān)。 測(cè)定的依據(jù)-利用波和格波的相互作用。 最重要的實(shí)驗(yàn)方法-中子的非彈性散射，即利用中子的德布洛依波與格波的相互作用。 其他實(shí)驗(yàn)方法-X射線衍射、光的散射等。 本節(jié)介紹-中子的非彈性散射（中子與原子核的作用）,一束 中子流：動(dòng)量p、能量E=p2/2Mn。 樣品（與原子核之間有較強(qiáng)的相互作用，容易 穿過(guò)晶體） 一束 中子流：動(dòng)量p、能量E=p2/2Mn。,入射,射出,格波振動(dòng)因起中子的非彈性散射（吸收或發(fā)射聲子的過(guò)程），該過(guò)程滿足能量守恒和動(dòng)量守恒。,一、實(shí)驗(yàn)原理,p2/2Mn p2/2Mn