晶格振動對晶體的許多性質有影響.ppt

晶格振動對晶體的許多性質有影響，例如，固體的比熱、熱膨脹、熱導等直接與晶格的振動有關。 設：原胞中只含有一個原子， 整個原子平面作同位相運動。 可以有三種振動波，一個縱向振動波，兩個橫向振動波.,1.3 晶格振動,1.3.1 一維原子鏈的的振動 1.3.2 晶體振動的量子化 1.3.3 確定晶格振動譜的實驗,K或q,一、一維單原子晶格的線性振動,1.3.1 一維原子鏈的振動,條件： 每個原子都具有相同的質量m； 晶格常數（平衡時原子間距）為a； 熱運動使原子離開平衡位置x。,設：原子間的作用力是和位移成正比，但方向相反的彈性力； 兩個最近鄰原子間才有作用力-短程彈性力。,xn表示第n個原子離開平衡位置的位移，第n個原子相對第n+1個原子間的位移是： a+ xn xn+1- a= xn xn+1 同理：第n個原子相對第n-1個原子間的位移是： xn xn-1,第n個原子受第n+1個原子的作用力 ： Fn，n+1= -ks(xn- xn+1) 第n個原子受第n-1個原子的作用力： Fn，,n-1= -ks(xn- xn-1) 則第n個原子所受原子的總力為： F= Fn，n+1 +Fn，,n-1 得：F=ks(xn+1+xn-1-2xn),1. 原子間的作用力服從虎克定律,第n個原子運動方程： md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn),2. 原子間的作用力服從牛頓定律,晶格中所有原子作簡諧振動（或具有前進波的形式）： xn=Aexpi(t-naq)、xn=Ae i(t-naq) 、xn=Acos(t-naq) A：振幅； ：角頻率； n：1，2，3，4N； aq：相鄰原子的位相差； naq：第n個原子振動的位相差。 此式說明所有原子以相同的頻率和相同的振幅振動。,0 1 2 3 4,3. 原子振動方程,如果第n個和n第個原子的位相之差： (qna-qna)=2s(s整數)， 即 qn-qn=2s/a時， 原子因振動而產生的位移相等，因此晶格中各個原子間的振動相互間存在著固定的位相關系 。 結果：在晶格中存在著角頻率為的平面波-格波。,格波,格波：晶格中的所有原子以相同頻率振動而形成的波，或某一個原子在平衡位置附近的振動是以波的形式在晶體中傳播形成的波。 格波的特點： 晶格中原子的振動； 相鄰原子間存在固定的位相。,n,2/q=,4. 色散關系（晶格的振動譜）,色散關系：頻率和波矢的關系。,（1）色散關系的數學表達式,將間諧振動方程：xn=Ae i(t-naq)代入 牛頓方程： md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn) 得 ： 2=1-cos(qa)2ks/m 或 =2(ks/m)1/2|sin(qa/2)| 上式為一維簡單晶格中格波的色散關系（ -q的關系)，也為頻譜關系。 -q的關系為周期函數。,根據函數的周期性，|qa/2|/2 即 |q| /a 在此范圍以外的一切q值，只是重復此范圍的q值所得頻率。該范圍的長度正好是倒格矢的長度(|-/a |+|/a|= 2/a) 。 q的正負號說明： 正的q對應在某方向前進的波，負的q對應于相反方向進行的波。,色散關系為周期函數； 當q=0時，=0 當sin(qa/2)=1時，有最大值， 且max=2(ks/m)1/2,-2/a -/a 0 /a 2/a,max max,一維不喇菲格子振動的頻譜,（2）頻譜圖,有： (q)= (q+2 /a) 說明波矢空間具有平移對稱性,其周期為第一布里淵區(qū)邊長. 由布里淵區(qū)邊界 q= /a=2 / 得： / 2 = a 滿足形成駐波的條件 q= /a正好是布里淵區(qū)邊界，滿足布拉格反射條件，反射波與入射波疊加形成駐波。,入射波,反射波,一維單原子簡諧振動的波函數：xn=Aeit-qna 將波矢 ： q=2s/a+q（為任意整數）代入 得 xn=Aeit- (2s/a+q )na = Aei 2sn ei(t- q na) ei 2sn=1 xn=Aeit-qna= xn,(3) 分析討論,結論 如果q -q =2s/a （為任意整數）這兩種波矢對同一種原子所引起的振動完全相同。 對應某一確定振動狀態(tài)，可以有無限多個波矢q，它們之間都相差2/a的整數倍。 為了保證xn的單值性，把q值限制在(-/a, /a), 其中a是該格子的晶胞常數，該范圍正好在第一布里淵區(qū)。,例如：波矢q =/2a原子的振動同樣可以當作波矢q =5/2a的原子的振動（ q -q =2/a）。,紅線： q =5/2a, =4a/5 兩相鄰原子振動的位相差是2+ /2。,綠線： q =/2a，=4a 兩相鄰原子振動的位相差是/2。,格波與一般連續(xù)介質波的比較 相同： 振動方程形式類似 區(qū)別： 1 連續(xù)介質波中x表示空間任意一點，而格波只取呈周期性排列的格點的位置； 2 一個格波解表示所有原子同時做頻率為的振動，不同原子間有位相差，相鄰原子間位相差為aq. 3 二者的重要區(qū)別在于波矢的涵義（ 原子以q 與q振動一樣 ，同一振動狀態(tài)對應多個波矢，或多個波矢為同一振動狀態(tài)） 。,a,2a,2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2,m,M,運動方程： md2x2n+1/dt2=ks(x2n+2-2x2n+1+x2n) Md2x2n+2/dt2=ks(x2n+3+x2n+1-2x2n+2),1. 色散關系（晶格振動譜）,雙原子（ Mm）一維晶格,、一維雙原子晶格的線性振動,方程的解是以角頻率為的簡諧振動： x2n+1=Aeit-q(2n+1)a x2n=Beit-q2na x2n+2=Beit-q(2n+2)a x2n+3=Aeit-q(2n+2)a 由牛頓方程與簡諧振動方程得： -m2A=ks(e iqa+e -iqa)B-2ksA -M2B=ks(e iqa+e -iqa)A-2ksA 上式可改寫為：(2ks-m2)A-(2kscosqa)B=0 -(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0,若A、B有異于零的解，則其行列式必須等于零，,2ks-m2 -2kscosqa -2kscosqa 2ks-M2,即,得： 2=(m+M)m2+M2+2mMcos(2qa)1/2ks/mM 說明：頻率與波矢之間存在著兩種不同的色散關系，即對一維復式格子，可以存在兩種獨立的格波（對于一維簡單晶格，只能存在一種 格波）。兩種不同的格波各有自己的色散關系： 12=(m+M)-m2+M2+2mMcos(2qa)1/2ks/mM 22=(m+M)+m2+M2+2mMcos(2qa)1/2ks/mM,由于q值限制在(-/2a, /2a) ，2qa介于 (-, ) 當 2qa= (或-)時 由 12=(m+M)-m2+M2+2mMcos(2qa)1/2ks/mM 得 (1 )最大 =(2ks/M)1/2 由 22=(m+M)+m2+M2+2mMcos(2qa)1/2ks/mM 得 (2)最小 =(2ks/m)1/2 因為 Mm， 有 (2)最小 (1 )最大 。,（2）頻率的取值,當2qa=0時 由 12=(m+M)-m2+M2+2mMcos(2qa)1/2ks/mM 得 (1 )最小 =0 由 22=(m+M)+m2+M2+2mMcos(2qa)1/2ks/mM 得 (2)最大= 2ks(m+m)/mM 1/2 設 =mM/(m+M) （兩種原子的折合質量） 則 (2)最大=(2ks/ )1/2,(2ks/M)1/2,(2ks/m)1/2,(2ks/ )1/2,光頻支2,聲頻支1,一維雙原子復式格子的振動頻譜, 復式格子兩種格波的振動頻率， 1支格波的頻率總比2支的低。 2支格波：光學支格波（光學波）可以用紅外光光來激發(fā)； 1支格波：聲頻支格波（聲學波），可以用超聲波來激發(fā)。,結 論,由 (2ks-m2)A-(2kscosqa)B=0 得 ( A/B)1=(2kscosqa)/ (2ks-m12) 因為 12 2ks/ M, cos(qa)0 得 ( A/B)1 0,三、 聲學波和光學波,1. 聲學波,說明： 相鄰兩種不同原子的振幅都有相同的正號或負號，即對于聲學波，相鄰原子都是沿著同一方向振動，當波長很長時，聲學波實際上代表原胞質心的振動。,聲學波示意圖,由 -(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0 得 ( A/B)2= (2ks-M2)/ 2kscos(qa) 因 22 2ks/ m, cos(qa)0 得 ( A/B)2 0,2. 光學波,說明：對于光學波，相鄰兩種不同原子的振動方向是相反的。,當q很小時，即波長很長的光學波（長光學波）， cos(qa)1， 又 22=2ks/ ， 由 -(2kscosqa)A+(2ks-M2)B=0 得 ( A/B)2 =-M/m mA+MB=0,說明：原胞的質心保持不動，由此也可以定性的看出，光學波代表原胞中兩個原子的相對振動。,聲學波與光學波的比較,說明：帶異性電荷的離子間的相對振動產生一定的電偶極矩，可以和電磁波相互作用。且只和波矢相同的格波相互作用，如果有與格波相同頻率的電磁波作用，發(fā)生共振。,-/2a 0 /2a q,光波=coq,共振點,四、 周期性邊界條件（波恩卡門邊界條件）,由振動 波函數單值的要求，對波矢的取值范圍進行了限定:一維不喇菲格子，q介于(-/a, /a)之間;一維雙原子的復式格子，q介于(-/2a, /2a)之間.,波恩和卡門把邊界對內部原子的振動狀態(tài)的影響考慮成如下面所述的周期性邊界條件模型（包含N個原胞的環(huán)狀鏈作為有限鏈的模型）： 包含有限數目的原子，保持所有原胞完全等價。 如果原胞數N很大使環(huán)半徑很大，沿環(huán)的運動仍可以看作是直線的運動。 和以前的區(qū)別：需考慮鏈的循環(huán)性。即原胞的標數增加N，振動情況必須復原。,一維鏈的波恩卡曼邊界條件,xn=Aeit-qna xn+N= Aeit-q(n+N)a= Aeit-qna ei-qNa 由于 xn= xn+N 有 ei-qNa=1 即 Nqa=2h, （h為整數），或q= 2h/Na q介于(-/a, /a)之間，或 -/a q /a 得 - N/2 h N/2,說明: h只能取由-N/2到N/2，一共有N個不同的數值。 -N/2 h N/2 ,q是均勻取值。,由N個原胞組成的鏈，q可以取N個不同的值，每個q對應著一個格波，共有N個不同的格波，N是一維單原子鏈的自由度數，即得到鏈的全部振動模（或振動狀態(tài)數）。 同理：可得兩種復式格子的q取值個數為N.,結論,晶格振動是晶體中諸原子（離子）集體在作振動，其結果表現為晶格中的格波。 一般而言，格波不一定是簡諧波，但可以展成為簡諧平面波的線性疊加。,一、聲子概念的由來,1.3.2 晶格振動的量子化 -聲子,當振動微弱時，即相當于簡諧近似的情況，格波為簡諧波。此時，格波之間的相互作用可以忽略，可以認為它們的存在是相互獨立振動的模式。 每一獨立模式對應一個振動態(tài)(q) 。 晶格的周期性給予格波以一定的邊界條件，使獨立的模式也即獨立的振動態(tài)是分立的。 可以用獨立簡諧振子的振動來表述格波的獨立模式。 聲子-晶格振動中的獨立簡諧振子的能量量子。,二 、格波能量量子化,1. 三維晶格振動能量,原胞（ N個）內含1個原子系統(tǒng)的三維晶格振動具有3N個獨立諧振子 ； 晶體中的格波是所有原子都參與的振動，含N個原胞的晶體振動能量為3N個格波能量之和； 在簡諧近似下，每個格波是一個簡諧振動，晶體總振動能量等于3N個簡諧振子的能量之和。,諧振子的能量用量子力學處理時，每一個諧振子的能量l為 ： l =(n1+1/2)I, nl=0,1,2, 則晶格總能量E為： E= (n1+1/2)I,2. 格波能量量子化,說明：晶格振動的能量是量子化的，晶格振動的能量量子I稱為聲子。,、聲子的性質,1. 聲子的粒子性,光子-電磁波的能量量子。電磁波可以認為是光子流，光子攜帶電磁波的能量和動量。 聲子-聲子攜帶聲波的能量和動量。若格波頻率為，波矢q為，則聲子的能量為 ，動量為q。 聲子和物質相互作用服從能量和動量守恒定律，如同具有能量和動量 q的粒子一樣。,可以將格波與物質的互作用過程，理解為聲子和物質的碰撞過程，使問題大大簡化，得出的結論也正確。如，電子、光子、聲子等。,準粒子性的具體表現：聲子的動量不確定，波矢改變一個周期（倒格矢量）或倍數，代表同一振動狀態(tài)，所以不是真正的動量； 系統(tǒng)中聲子的數目一般用統(tǒng)計方法進行計算，具有能量為Ei的狀態(tài)用出現的幾率來表示。,2. 聲子的準粒子性,3. 聲子概念的意義,1.3.3 確定晶格振動譜(q)的實驗方法,晶格的振動譜-格波的色散關系。 確定晶格振動譜的意義-晶體的許多性質和函數(q)有關。 測定的依據-利用波和格波的相互作用。 最重要的實驗方法-中子的非彈性散射，即利用中子的德布洛依波與格波的相互作用。 其他實驗方法-X射線衍射、光的散射等。 本節(jié)介紹-中子的非彈性散射（中子與原子核的作用）,一束 中子流：動量p、能量E=p2/2Mn。 樣品（與原子核之間有較強的相互作用，容易 穿過晶體） 一束 中子流：動量p、能量E=p2/2Mn。,入射,射出,格波振動因起中子的非彈性散射（吸收或發(fā)射聲子的過程），該過程滿足能量守恒和動量守恒。,一、實驗原理,p2/2Mn p2/2Mn