例題與探究（5.2.2復數的乘法與除法）

高手支招3綜合探究 進行復數的除法運算的步驟 利用復數的除法定義:把滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di0)的復數 x+yi叫做復數a+bi除以復數c+di的商,記作(a+bi)(c+di)或,從而利用復數相等求得x,y的值即可.(c+di)(x+yi)=(cx-dy)+(dx+cy)i,(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi,由此可得解這個方程組得于是有(a+bi)(c+di)=.在進行復數除法運算時,通常先把(a+bi)(c+di)寫成的形式,再把分子與分母都乘以分母的共軛復數c-di,化簡后,也可以得出上面的結果.高手支招4典例精析【例1】已知=1-ni,其中m、n是實數,i是虛數單位,則m+ni=（ ）A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i思路分析:可先將=1-ni去分母后展開化簡,再利用復數相等解之.本題也可將等式左邊分母實數化,再利用復數相等解之.將=1-ni兩邊同乘以1+i,得m=(1-ni)(1+i)=1+n+(1-n)i,由復數相等法則,得從而所以m+ni=2+i.答案:C【例2】復數=( )A.i B.-I C.2-I D.-2+i思路分析:此題可以直接進行分母“有理化”(即分子分母同乘以分母的共軛復數),化簡解得,或由觀察得出:將分子化簡后,分母乘以i則可以得到分子,從而解得.原式=.答案:A【例3】 若復數z=+i,則1+z+z2+z3+z2 006( )A.0 B.+i C.-i D.-i思路分析:由于z=+i正好是的一個值,故具有特性,即1+z+z2=0,利用此式,原式即可化簡.1+z+z2+z3+z2 006中連續(xù)三項的和均為零,由于1+z+z2+z3+z2 006的項數2 007項正好是3的倍數項,故所求的和式為零.答案:A【例4】 如果復數(m2+i)(1+mi)是實數,則實數m等于( )A.1 B.-1 C. D.-思路分析:要使一個復數為實數,那只需要一個條件:虛部為0.將原式(m2+i)(1+mi)展開,得m2+m3i+i+mi2=(m2-m)+(m3+1)i,令其虛部為零,即m3+1=0,即m=-1.答案:B【例5】若復數(1+bi)(2+i)是純虛數(i是虛數單位,b是實數),則b等于( )A.-2 B. C. D.2思路分析:(1+bi)(2+i)=（2-b)+(2b+1)i，依題意2-b=0b=2.答案:D【例6】設a是實數,且是實數,則a等于A. B.1 C. D.2思路分析:先化簡,因為是實數，故其虛部為零，即=0，從而得a=1.答案:B【例7】設復數z滿足=i,則z等于 ( )A.-2+i B.-2-I C.2-I D.2+i思路分析:由=i，得z=2-i.答案:C【例8】設x、y為實數,且,則x+y=_.思路分析:先將原式兩邊的分母實數化,然后再利用復數相等即可求得x+y的值.將原式分母實數化,得(1+i)+(1+2i)=(1+3i),即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0,利用復數相等的充要條件得x+y=4.答案：4【例9】 計算下列各式:(1)i2 006+(+i)8-()50;(2)(i)6.思路分析:(1)充分利用(1i)2=2i及i4n+k=ik將高次冥化為低次冥.(2)利用的性質解答.解:(1)i2 006+(+i)8-()50=i4501+2+2(1+i)24-25=i2+(4i)4-()25=-1+256-i25=255-i;(2)=+i,-i=-,(-i)6=(-)6=(3)2=1.【例10】 已知復數z=,若z2+az+b=1+i,試求實數a、b的值.思路分析:要求實數a、b的值,需先確定復數z的值,而要確定復數z,需對復數z進行化簡,主要通過復數乘方,加減運算,最后通過分母實數化,從而化得結果.解:z=1+i,z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=(a+b)+(2+a)i,由已知z2+az+b=1+i,實數a、b的值分別為-1,2.【例11】 已知f(z)=2z+-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.思路分析:需要先利用已知式求出z,再將-z代入f(z)=2z+-3i中計算.解:f(z)=2z+-3i,f(+i)=2(+i)+-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i,又知f(+i)=6-3i,2+z-2i=6-3i,即2+z=6-i,設z=a+bi,則=a-bi,于是有2(a-bi)+a+bi=6-i,所以,解得a=2,b=1,z=2+i,f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.【例12】 計算:(i)12+()8.思路分析: i=i(+i),1-i=(-2)(+i)，由此,原式可以化簡.“師”之概念，大體是從先秦時期的“師長、師傅、先生”而來。其中“師傅”更早則意指春秋時國君的老師。說文解字中有注曰：“師教人以道者之稱也”。“師”之含義，現在泛指從事教育工作或是傳授知識技術也或是某方面有特長值得學習者?！袄蠋煛钡脑獠⒎怯伞袄稀倍稳荨皫煛??！袄稀痹谂f語義中也是一種尊稱，隱喻年長且學識淵博者?！袄稀薄皫煛边B用最初見于史記，有“荀卿最為老師”之說法。慢慢“老師”之說也不再有年齡的限制，老少皆可適用。只是司馬遷筆下的“老師”當然不是今日意義上的“教師”，其只是“老”和“師”的復合構詞，所表達的含義多指對知識淵博者的一種尊稱，雖能從其身上學以“道”，但其不一定是知識的傳播者。今天看來，“教師”的必要條件不光是擁有知識，更重于傳播知識。解:原式=i12(+i)12+=11+=1+16(+i)=-7+8i.【例13】 已知復數z1=i(1-i)3.(1)求|z1|;(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.思路分析:(1)求模應求出復數的實部與虛部，再利用|a+bi|= 得出.(2)是考查復數幾何意義的應用.解:(1)z1=i(1-i)3i(-2i)(1-i)=2(1-i),|z1|.(2)|z|=1可看成半徑為1、圓心為(,)的圓,而點Z1可看成在坐標系中的點(2,-2),|z-z1|的最大值可以看成點(2,-2)到圓上點距離的最大值,由右圖可知|z-z1|max=2+1.【例14】 證明:在復數范圍內,方程|z|2+（1-i）-（1+i）z=(i為虛數單位)無解.思路分析:將已知條件化簡后再由復數相等來解.證明：原方程化簡為|z|2+（1-i）z-（1+i）z=1-3i.設z=x+yi(x、yR）,代入上述方程得x2+y2-2xi-2yi=1-3i.將(2)代入(1),整理得8x2-12x+5=0.=-160,方程f(x)無實數解,原方程在復數范圍內無解.“教書先生”恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼，從最初的門館、私塾到晚清的學堂，“教書先生”那一行當怎么說也算是讓國人景仰甚或敬畏的一種社會職業(yè)。只是更早的“先生”概念并非源于教書，最初出現的“先生”一詞也并非有傳授知識那般的含義。孟子中的“先生何為出此言也？”；論語中的“有酒食，先生饌”；國策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”為父兄或有學問、有德行的長輩。其實國策中本身就有“先生長者，有德之稱”的說法?？梢姟跋壬敝夥钦嬲摹敖處煛敝猓故桥c當今“先生”的稱呼更接近。看來，“先生”之本源含義在于禮貌和尊稱，并非具學問者的專稱。稱“老師”為“先生”的記載，首見于禮記?曲禮，有“從于先生，不越禮而與人言”，其中之“先生”意為“年長、資深之傳授知識者”，與教師、老師之意基本一致。高手支招5思考發(fā)現1.利用某些特殊復數的運算結果,如(1i)2=2i,(i)3=1,=-i,=i,=-i,i的冪的周期性,對于簡化復數的運算大有好處,在計算上經常用的結論最好能熟記,以便加快解題速度.2.在化簡運算中,要注意運用i、的性質,如當=+i時有:單靠“死”記還不行,還得“活”用,姑且稱之為“先死后活”吧。讓學生把一周看到或聽到的新鮮事記下來,摒棄那些假話套話空話,寫出自己的真情實感,篇幅可長可短,并要求運用積累的成語、名言警句等,定期檢查點評,選擇優(yōu)秀篇目在班里朗讀或展出。這樣,即鞏固了所學的材料,又鍛煉了學生的寫作能力,同時還培養(yǎng)了學生的觀察能力、思維能力等等,達到“一石多鳥”的效果。=2，3=1，=，n+n+1+n+2=0(nN*),in+in+1+in+2+in+3=0(nN*一般說來，“教師”概念之形成經歷了十分漫長的歷史。楊士勛（唐初學者，四門博士）春秋谷梁傳疏曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也”