自動(dòng)控制原理第二章.ppt

1,第二章 自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,2-1 控制系統(tǒng)微分方程的建立,2-2 非線性微分方程的線性化,2-3 傳遞函數(shù) (transfer function),2-4 動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖,2-5 系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù),2-6 典型反饋系統(tǒng)傳遞函數(shù),2,自動(dòng)控制原理課程的任務(wù)與體系結(jié)構(gòu),3,時(shí)域模型微分方程 復(fù)域模型傳遞函數(shù) 頻域模型頻率特性（第五章）,自動(dòng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,4,分析和設(shè)計(jì)任何一個(gè)控制系統(tǒng)，首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 數(shù)學(xué)模型 描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 建立數(shù)學(xué)模型的目的 建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的首要工作（或基礎(chǔ)工作）。 自控系統(tǒng)的組成可以是電氣的、機(jī)械的、液壓或氣動(dòng)的等等，然而描述這些系統(tǒng)的模型卻可以是相同的。因此，通過數(shù)學(xué)模型來研究自動(dòng)控制系統(tǒng)，可以擺脫各種不同類型系統(tǒng)的外部特征，研究其內(nèi)在的共性運(yùn)動(dòng)規(guī)律。,概述（1）,5,3. 建模方法: 建立數(shù)學(xué)模型的方法分為解析法和實(shí)驗(yàn)法 (1) 解析法本課研究,概述（2）,解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。,實(shí)驗(yàn)法：對(duì)系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號(hào)（階躍信號(hào)、單位脈沖信號(hào)、正弦信號(hào)等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識(shí)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,(2)實(shí)驗(yàn)法 系統(tǒng)辯識(shí)課研究,6,總結(jié)： 解析方法適用于簡單、典型、常見的系統(tǒng)，而實(shí)驗(yàn)方法適用于復(fù)雜、非常見的系統(tǒng)。實(shí)際上常常是把這兩種方法結(jié)合起來建立數(shù)學(xué)模型更為有效。,4. 數(shù)學(xué)模型的主要形式: 圖 模 型： 結(jié)構(gòu)圖 數(shù)學(xué)模型： 微分方程（或差分方程）、傳遞函數(shù) 、 頻率特性、狀態(tài)空間表達(dá)式,概述（3）,7,5 . “三域”模型及其相互關(guān)系,概述（4）,8,2-1控制系統(tǒng)微分方程的建立,3.消去中間變量，得到輸出量與輸入量關(guān)系的微分方程。 標(biāo)準(zhǔn)化微分方程，慣例把與輸入量有關(guān)各項(xiàng)寫在方程右邊,把輸出量有關(guān)各項(xiàng)寫在方程左邊,方程兩邊各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。,返回子目錄,基本步驟：,分析各元件的工作原理，確定元件的輸入量和輸出量(必要時(shí)還需考慮擾動(dòng)輸入量和引入中間變量),2. 從輸入端開始，根據(jù)各元件在工作過程中所遵循的物理或化學(xué)定律列出微分方程。,9,列寫微分方程的一般方法,例1. 列寫如圖所示RC網(wǎng)絡(luò)的微分方程。,10,i為流經(jīng)電阻R和電容C的電流,消去中間變量i,可得:,令 （時(shí)間常數(shù)），則微分方程為：,解:(1)確定輸入: ur 輸出: uc,(2) 列原始方程 由基爾霍夫定律得:,(3)消去中間變量 并標(biāo)準(zhǔn)化,它是一個(gè)一階線性定常微分方程。,11,例2 求RLC電路的微分方程,解:(1)確定輸入: ui(t) 輸出: u0(t),(2) 列原始方程 設(shè) i(t)為流過電阻R和電容C上的電流。根據(jù)基爾霍夫定律：,(3)消去中間變量 并標(biāo)準(zhǔn)化,T稱為時(shí)間常數(shù), 為阻尼比。是二階線性定常微分方程。,例3. 設(shè)有一彈簧-質(zhì)量- 阻尼動(dòng)力系統(tǒng)如圖所示，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移y(t)之間的動(dòng)態(tài)方程。其中彈簧的彈性系數(shù)為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為f，質(zhì)量塊的質(zhì)量為m。,13,分析質(zhì)量塊m受力，有 外力F, 彈簧恢復(fù)力 -Ky（t） 阻尼力 -,解: (1) 確定輸入: F(t) ； 輸出: y(t),(2)列原始方程：,所以，牛頓第二定律，SF=ma,14,式中：ym的位移（m）； f阻尼器的阻尼系數(shù)（Ns/m); K 彈簧彈性系數(shù)（N/m)。,(3)標(biāo)準(zhǔn)化,， 則式 可寫成,令 ， 即,15,T稱為時(shí)間常數(shù)， 為阻尼比。顯然， 上式描述了mKf系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)關(guān)系，它是一個(gè)二階線性定常微分方程。,16,例4 電樞控制的他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī),建立輸入電壓ua和輸出轉(zhuǎn)角m微分方程.,解: (1) 確定輸入輸出量: 輸入量: 給定輸入-電樞電壓ua 輸出量: 電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)角m,(2) 列寫原始方程 引進(jìn)中間變量 、 、,17,(3)從式(2-8) (2-11)中消去中間變量 并標(biāo)準(zhǔn)化,可見,數(shù)學(xué)模型是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu),元件參數(shù)以及基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律所決定的。同一系統(tǒng)，從不同角度研究數(shù)學(xué)模型不一樣。,18,列寫微分方程要注意： 確切反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，忽略次要因素，簡化分析計(jì)算。 在一般情況下，描述線性定常系統(tǒng)的微分方程為 C(t)為輸出量，r(t)為輸入量，所有系數(shù)為實(shí)常數(shù)。對(duì)實(shí)際系統(tǒng)有nm。,返回,19,22 非線性微分方程的線性化,嚴(yán)格地說，實(shí)際控制系統(tǒng)的某些元件含有一定的非線性特性，而非線性微分方程的求解非常困難。對(duì)于不太嚴(yán)重的非線性系統(tǒng)，在一定的條件下或在一定范圍內(nèi)把非線性的微分方程化為線性模型的處理方法稱為非線性微分方程的線性化。,返回子目錄,在實(shí)際工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度的非線性，如下圖所示。,20,于是，建立的動(dòng)態(tài)方程就是非線性微分方程，對(duì)其求解有諸多困難，因此，對(duì)非線性問題做線性化處理確有必要。 一、對(duì)弱非線性的線性化 如上圖（a），當(dāng)輸入信號(hào)很小時(shí)，忽略非線性影響，近似為線性特性。對(duì)（b）和（c），當(dāng)死區(qū)或間隙很小時(shí)（相對(duì)于輸入信號(hào)）同樣忽略其影響，也近似為線性特性，如圖中虛線所示。 二、平衡位置附近的小偏差線性化 輸入和輸出關(guān)系具有如下圖所示的非線性特性。,21,假設(shè)：y=f(x)，且x，y在平衡點(diǎn)（x0，y0)附近變化，即 x=x0+x, y=y0+y 則在y0=f(x0)附近將y展開成泰勒級(jí)數(shù)：,考慮控制系統(tǒng)經(jīng)常工作在平衡點(diǎn)A（x0，y0）處 ，當(dāng)系統(tǒng)受到干擾， y只在平衡點(diǎn)A附近作小范圍的變化，可在平衡點(diǎn)A處將非線性函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)，忽略去二階以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可得只包含偏差的一次項(xiàng)的線性方程。這種線性化方法稱為小偏差法。,（1）單變量的非線性系統(tǒng),22,于是可用A處的切線方程代替曲線方程(非線性)y=f(x) ，即小偏差線性化。,為書寫方便，簡記為 y=kx。,23,經(jīng)過上述線性化后，就把非線性關(guān)系變成了線性關(guān)系，從而使問題大大簡化。但對(duì)于如圖（d）所示為強(qiáng)非線性，只能采用第七章的非線性理論來分析。凡是可以進(jìn)行線性化的系統(tǒng)，可采用疊加原理來分析系統(tǒng)。,（2）雙變量的非線性系統(tǒng) zf（x,y） 若非線性函數(shù)由兩個(gè)自變量，同樣可在平衡點(diǎn)處（x0,y0）展成泰勒級(jí)數(shù)展開為,略去二級(jí)以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，并令zz-f(x0,y0),簡記為,24,疊加原理,疊加原理含有兩重含義，即可疊加性和齊次性（或叫均勻性）。,例： 設(shè)線性微分方程式為,注意: (1 )小偏差法只適用于不太嚴(yán)重的非線性系統(tǒng)。 (2) 實(shí)際運(yùn)行情況是在某個(gè)平衡點(diǎn)附近，變量只能在小范 圍內(nèi)變化。 (3)線性化方程中的系數(shù)k與工作點(diǎn)有關(guān)。 (4)嚴(yán)重的非線性不能用小偏差法，用第7章的方法。,25,若 時(shí)，方程有解 ，而 時(shí)，方程有解 ，分別代入上式且將兩式相加，則顯然有，當(dāng) 時(shí)，必存在解為 ，即為可疊加性。,上述結(jié)果表明，兩個(gè)外作用同時(shí)加于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)等于各個(gè)外作用單獨(dú)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)之和，而且外作用增強(qiáng)若干倍，系統(tǒng)響應(yīng)也增強(qiáng)若干倍，這就是疊加原理。,若 時(shí)， 為實(shí)數(shù)，則方程解為 ，這就是齊次性。,若 時(shí)，方程有解 ，而 時(shí)，方程有解 ，分別代入上式且將兩式相加，則顯然有，當(dāng) 時(shí)，必存在解為 ，即為可疊加性。,26,線性定常微分方程求解,微分方程求解方法,初條件,27,用拉氏變換方法解微分方程,L變換,系統(tǒng)微分方程,L-1變換,28,復(fù)習(xí) 拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（1）,拉氏變換定義 2.常用函數(shù)的拉氏變換 L(t)=1 Ltn-1/(n-1)!=1/sn L1(t)=1/s Le-at=1/(s+a) Lt=1/s2 Lsint=/(s2+2) Lt2/2=1/s3 Lcost= s/(s2+2）,F(s) 像函數(shù) f(t)原函數(shù),29,復(fù)習(xí) 拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（2）,3. 拉氏變換基本定理 線性定理 位移定理 延遲定理 終值定理 初值定理 微分定理 積分定理,30,4 拉氏反變換,（1）定義式,（2）分解部分分式法,解.,復(fù)習(xí) 拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（3）,31,用留數(shù)法分解部分分式,其中：,一般有,設(shè),I. 當(dāng) 無重根時(shí),復(fù)習(xí) 拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（4）,32,解.,解.,復(fù)習(xí) 拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（5）,33,復(fù)習(xí) 拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（6）,34,II. 當(dāng) 有重根時(shí),(設(shè) 為m重根，其余為單根),復(fù)習(xí) 拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（7）,35,解.,復(fù)習(xí) 拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（8）,36,5. 用拉普拉斯變換求解微分方程,用拉氏變換求解微分方程的一般步驟是： 對(duì)線性微分方程的每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，使微分方程變成以s變量的代數(shù)方程； 求解代數(shù)方程，得到輸出變量象函數(shù)的表達(dá)式； 將象函數(shù)展開成部分分式； 對(duì)部分分式進(jìn)行拉氏反變換，得到微分方程的解。,復(fù)習(xí) 拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（9）,例 6. 已知系統(tǒng)的微分方程為,37,解： 對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換得,復(fù)習(xí) 拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（10）,38,控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,時(shí)域模型 微分方程 線性元件及線性系統(tǒng)微分方程的編寫 非線性微分方程的線性化 微分方程的求解 復(fù)習(xí) 拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容,課程小