北大附中高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)直線和圓.docx

學(xué)科：數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容：直線和圓【考點梳理】一、考試內(nèi)容1有向線段。兩點間的距離。線段的定比分點。2直線的方程。直線的斜率。直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式方程。直線方程的一般式。3兩條直線平行與垂直的條件。兩條直線所成的角。兩直線交點。點到直線的距離。4圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。二、考試要求1理解有向線段的概念。掌握有向線段定比分點坐標(biāo)公式，熟練運用兩點間的距離公式和線段的中點坐標(biāo)公式。2理解直線斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式。熟練掌握直線方程的點斜式，掌握直線方程的斜截式、兩點式、截距式以及直線方程的一般式。能夠根據(jù)條件求出直線的方程。3掌握兩條直線平行與垂直的條件，能夠根據(jù)直線的方程判定兩條直線的位置關(guān)系。會求兩條相交直線的夾角和交點。掌握點到直線的距離公式。4熟練掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。能夠根據(jù)條件求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程。掌握直線和圓的位置關(guān)系的判定方法。三、考點簡析1有向線段。有向線段是解析幾何的基本概念，可用有向線段的數(shù)量來刻劃它，而在數(shù)軸上有向線段ab的數(shù)量ab=xb-xa。2兩點間的距離公式。不論a(x1，y1)，b(x2，y2)在坐標(biāo)平面上什么位置，都有d=|ab|=，特別地，與坐標(biāo)軸平行的線段的長|ab|=|x2-x1|或|ab|=|y2-y1|。3定比分點公式。定比分點公式是解決共線三點a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x，y)之間數(shù)量關(guān)系的一個公式，其中的值是起點到分點，分點到終點的有向線段的數(shù)量之比。這里起點、分點、終點的位置是可以任意選擇的，一旦選定后的值也就隨之確定了。若以a為起點，b為終點，p為分點，則定比分點公式是。當(dāng)p點為ab的中點時，=1，此時中點公式是。4直線的傾斜角和斜率的關(guān)系（1）每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率。（2）斜率存在的直線，其斜率k與傾斜角之間的關(guān)系是k=tan。5確定直線方程需要有兩個互相獨立的條件。確定直線方程的形式很多，但必須注意各種形式的直線方程的適用范圍。名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)=kx+bk斜率b縱截距傾斜角為90的直線不能用此式點斜式y(tǒng)-y0=k(x-x0)(x0，y0)直線上已知點，k斜率傾斜角為90的直線不能用此式兩點式=(x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩個已知點與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式截距式+=1a直線的橫截距b直線的縱截距過（0，0）及與兩坐標(biāo)軸平行的直線不能用此式一般式ax+by+c=0，分別為斜率、橫截距和縱截距a、b不能同時為零6平面上直線與二元一次方程是一一對應(yīng)的。7兩條直線的夾角。當(dāng)兩直線的斜率k1，k2都存在且k1k2 -1時，tan=，當(dāng)直線的斜率不存在時，可結(jié)合圖形判斷。另外還應(yīng)注意到：“到角”公式與“夾角”公式的區(qū)別。8怎么判斷兩直線是否平行或垂直？判斷兩直線是否平行或垂直時，若兩直線的斜率都存在，可以用斜率的關(guān)系來判斷；若直線的斜率不存在，則必須用一般式的平行垂直條件來判斷。（1）斜率存在且不重合的兩條直線l1y=k1x+b1， l2y=k2x+b2，有以下結(jié)論：l1l2k1=k2l1l2k1k2= -1（2）對于直線l1a1x+b1y+c1=0， l2a2x+b2y+c2=0，當(dāng)a1，a2，b1，b2都不為零時，有以下結(jié)論：l1l2=l1l2a1a2+b1b2 = 0l1與l2相交l1與l2重合=9點到直線的距離公式。（1）已知一點p（x0，y0）及一條直線l：ax+by+c=0，則點p到直線l的距離d=；（2）兩平行直線l1:ax+by+c1=0， l2:ax+by+c2=0之間的距離d=。10確定圓方程需要有三個互相獨立的條件。圓的方程有兩種形式，要注意各種形式的圓方程的適用范圍。（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，其中（a，b）是圓心坐標(biāo)，r是圓的半徑；（2）圓的一般方程：x2+y2+dx+ey+f=0（d2+e2-4f0），圓心坐標(biāo)為（-，-），半徑為r=。11直線與圓的位置關(guān)系的判定方法。（1）法一：直線：ax+by+c=0；圓：x2+y2+dx+ey+f=0。一元二次方程（2）法二：直線:ax+by+c=0；圓：(x-a)2+(y-b)2=r2，圓心（a，b）到直線的距離為d=12兩圓的位置關(guān)系的判定方法。設(shè)兩圓圓心分別為o1、o2，半徑分別為r1，r2，|o1o2|為圓心距，則兩圓位置關(guān)系如下：|o1o2|r1+r2兩圓外離；|o1o2|=r1+r2兩圓外切；| r1-r2|o1o2| r1+r2兩圓相交；| o1o2 |=| r1-r2|兩圓內(nèi)切；0| o1o2|0，x20由解得 k23。由雙曲線左準(zhǔn)線方程 x=-1且e=2，有|am1|bm1|=e|x1+1|e|x2+1|=4x1x2+(x1+x2)+1=4(+1)=100+k2-30，|am1|bm1|100又當(dāng)直線傾斜角等于時，a(4，y1)，b(4，y2)，|am1|=|bm1|=e(4+1)=10|am1|bm1|=100故 |am1|bm1|100。例2 如圖9-1，已知圓c：（x+4）2+y2=4。圓d的圓心d在y軸上且與圓c外切。圓 d與y軸交于a、b兩點，點p為(-3，0)。（1）若點d坐標(biāo)為（0，3），求apb的正切值；（2）當(dāng)點d在y軸上運動時，求apb的最大值；（3）在x軸上是否存在定點q，當(dāng)圓d在y軸上運動時，aqb是定值？如果存在，求出點q坐標(biāo)；如果不存在，說明理由。解 （1）|cd|=5，（o為原點）且圓d與圓c外切，圓d半徑r=5-2=3，此時，a、b坐標(biāo)分別為（0，0）、（0，6），pa在x軸上，且bp的斜率k=2，tanapb=2。（2）如圖9-2，設(shè)d的坐標(biāo)為(0，a)，圓d的半徑為r，則(r+2)2=16+a2。設(shè)pa、pb的斜率為k1、k2，又a、b的坐標(biāo)分別為(0，a-r)、(0，a+r)。則k1=，k2=，tanapb=由解出a2代入，得tanapb=+，而8r-6為單調(diào)增函數(shù)，r2，+。tanapb(，apb的最大值為arttan。（3）假設(shè)存在q點，設(shè)q(b，0)，qa、qb的斜率分別為k1，k2，則k1=，k2=，tanaqb=|=|=|將a2=(r+2)2 16代入上式，得tanaqb=|=|欲使aqb大小與r無關(guān)，則應(yīng)有b2=12，即b=2，此時tanaqb=，aqb=60。存在q點，當(dāng)圓d變動時，aqb為定值60，這q點坐標(biāo)為（2，0）。例3 設(shè)正方形abcd（a、b、c、d順時針排列）的外接圓方程為x2+y2-6x+a=0（a9），c、d點所在直線l的斜率為。（1）求外接圓圓心m點的坐標(biāo)及正方形對角線ac、bd的斜率；（2）如果在x軸上方的a、b兩點在一條以原點為頂點，以x軸為對稱軸的拋物線上，求此拋物線的方程及直線l的方程；（3）如果abcd的外接圓半徑為2，在x軸上方的a、b兩點在一條以x軸為對稱軸的拋物線上，求此拋物線的方程及直線l的方程。解 （1）由(x-3)2+y2=9-a(a0)，由于a，b兩點在拋物線上， 解出：r=，p=。得拋物線方程為y2=x。由此可知a點坐標(biāo)為（1，1），且a點關(guān)于m(3，0)的對稱點c的坐標(biāo)是(5，-1)，直線l的方程為y -（-1）=(x-5)，即x-3y-8=0。（3）將圓方程(x-3)2+y2=(2)2分別與ac、bd的直線方程：y= -(x-3)，y=2(x-3)聯(lián)立，可解得a(-1，2)，b(5，4)。設(shè)拋物線方程為y2=a(x-m) (*)將a(-1，2)、b(5，4)的坐標(biāo)代入(*)，得解得：a=2，m= -3，拋物線的方程為y2=2(x+3)。a(-1，2)點關(guān)于m(3，0)的對稱點為c(7，-2)，故直線l的方程為y-(-2)=(x-7)，即x-3y-13=0。例4 如圖9-3，已知：射線oa為y=kx(k0，x0)，射線ob為y= -kx(x0)，動點p(x，y)在aox的內(nèi)部，pmoa于m，pnob于n，四邊形onpm的面積恰為k.（1）當(dāng)k為定值時，動點p的縱坐標(biāo)y是橫坐標(biāo)x的函數(shù)，求這個函數(shù)y=f(x)的解析式；（2）根據(jù)k的取值范圍，確定y=f(x)的定義域。解 （1）設(shè)m(a，ka)，n(b，-kb)，(a0，b0)。則|om|=a，|on|=b。由動點p在aox的內(nèi)部，得0y0，y=（2）由0ykx，得0kx (*)當(dāng)k=1時，不等式為0。當(dāng)0k1時，由不等式得x2，x，(*)x1時，由不等式得x2，且但垂足n必須在射線ob上，否則o、n、p、m四點不能組成四邊形，所以還必須滿足條件yx，將它代入函數(shù)解析式，得x解得x1)，或xk（0；當(dāng)0k1時，定義域為x|x1時，定義域為x|x。例5 已知函數(shù)f(x)=x2-1(x1)的圖像為c1，曲線c2與c1關(guān)于直線y=x對稱。（1）求曲線c2的方程y=g(x)；（2）設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域為m，x1，x2m，且x1x2，求證|g(x1)-g(x2)|x1-x2|;（3）設(shè)a、b為曲線c2上任意不同兩點，證明直線ab與直線y=x必相交。解 （1）曲線c1和c2關(guān)于直線y=x對稱，則g(x)為f(x)的反函數(shù)。y=x2-1，x2=y+1，又x1x=則曲線c2的方程為g(x)= (x0)。（2）設(shè)x1，x2m，且x1x2。則x1-x20。又x10， x20，|g(x1)-g(x2)|=| -|=|x1-x2|（3）設(shè)a(x1，y1)、b（x2，y2）為曲線c2上任意不同兩點。x1，x2m，且x1x2，由（2）知，|kab|=|=0)，圓心o在拋物線x2=2py上運動，mn為圓o截x軸所得的弦，令|am|=d1，|an|=d2，man=。（1）當(dāng)o點運動時，|mn|是否有變化？并證明你的結(jié)論；（2）求+的最大值，并求取得最大值的值。解 (1)設(shè)o(x0，y0)，則x02=2py0 (y00)，o的半徑|oa|=，o的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0代入得x2-2x0x+x02-p2=0，解得xm=x0 p，xn=x0+p，|mn|=| xn xm|=2p為定值。（2）m(x0-p，0) ，n(x0+p，0) d1=，d2=，則d12+d22=4p2+2x02，d1d2=，+=2=22=2當(dāng)且僅當(dāng)x02=2p2，即x=p，y0=p時等號成立，+的最大值為2。此時|ob|=|mb|=|nb|（b為mn中點），又om=on，omn為等腰直角三角形，mon=90，則=mon=45。例7 已知函數(shù)y=log2(nn)。（1）當(dāng)n=1，2，3時，把已知函數(shù)的圖像和直線y=1的交點的橫坐標(biāo)依次記為a1， a2， a3，求證a1+ a2+ a3+ an1；（2）對于每一個n的值，設(shè)a n、b n為已知函數(shù)的圖像上與x軸距離為1的兩點，求證n取任意一個正整數(shù)時，以a n b n為直徑的圓都與一條定直線相切，并求出這條定直線的方程和切點的坐標(biāo)。解 原函數(shù)可化為：y=logx。（1）y=1時，可求得x=()n，即an=()n=（）n-1，an是以為首項，為公比的等比數(shù)列。a1+ a2+ a3+ an=1-0)內(nèi)不為圓心的一點，則直線x0x+y0y=a2與該圓的位置關(guān)系是（ ）a相切b相交c相離d相切或相交5圓x2+2x+y2+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點共有（ ）a1個b2個c3個d4個6直線x+y-1=0沿y軸正方向平移1個單位再關(guān)于原點對稱后，所得直線的方程是（ ）ax+y+2=0bx-y-2=0cx+y-2=0dx-y+2=07已知兩點a(-2,0),b(0,2)，點c是圓x2+y2-2x=0上的任意一點，則abc的面積最小值是（ ）a3-b3+cd8已知三條直線l1：y=x-1, l2：y=1, l3：x+y+1=0。設(shè)l1與l2的夾角為，l1與l3的夾角為，則+等于（ ）a45b75c105d1359直線（t為參數(shù)）上到點a(-2,3)的距離等于的一個點的坐標(biāo)是（ ）a(-2,3)b(-4,5)c(-2-,3+)d(-3,4)10將直線x+y=1繞(1,0)點順時針旋轉(zhuǎn)90后，再向上平移1個單位與圓x2+(y-1)2=r2相切，則r的值是( )abcd111若曲線x2+y2+a2x+(1-a2)y-4=0關(guān)于直線y-x=0對稱的圖形仍是其本身，則實數(shù)a=( )abc或-d-或12若圓(x-1)2+(y+1)2=r2上有僅有兩個點到直線4x+3y=11的距離等于1，則半徑r的取值范圍是（ ）ar1br3c1r0，得m5。（2）設(shè)m(x1,y1),n(x2,y2)，由omon得x1x2+ y1y2=0。將直線方程x+2y-4=0與曲線c：x2+y2-2x-4y+m=0聯(lián)立并消去y得5x2-8x+4m-16=0，由韋達定理得x1+x2=,x1x2=，又由x+2y-4=0得y= (4-x), x1x2+y1y2=x1x2+(4-x1) (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0。將、代入得m=.20.解 作mcab交pq于點m，則mc是兩圓的公切線，|mc|=|mq|，|mc|=|mp|，即m為pq的中點。設(shè)m(x,y)，則點c，o1，o2的坐標(biāo)分別是(x,0),( ,0)（，0）。連o1m，o2m，由平幾知識得：o1mo2=90，有|o1m|2+|o2m|2=|o1o2|2，即：(x-)2+y2+(x-)2+y2=(-)2,化簡得x2+4y2=9。又點c(x,0)在線段ab上，且ac，bc是圓的直徑