概率論4.1數(shù)學期望.ppt

4.1 數(shù)學期望,一、離散型隨機變量的數(shù)學期望,設離散型隨機變量X的分布律為 PX=xi=pi，i=1,2, 若級數(shù)xipi絕對收斂，則稱其為隨機變量X的數(shù)學期望（期望或均值），記為E(X)，即 E(X)= xipi 例1 設X b(1,p)，求E(X)。 例2 設X ()，求E(X)。,一、離散型隨機變量的數(shù)學期望,例3 甲乙兩工人每天生產(chǎn)出相同數(shù)量同種類型的產(chǎn)品，用X1，X2分別表示甲乙兩人某天生產(chǎn)的次品數(shù)，經(jīng)統(tǒng)計得到以下數(shù)據(jù)，試比較他們的技術(shù)水平的高低。,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為f(x)，在數(shù)軸上取很密的分點x0x1x2，則X落在小區(qū)間xi, xi+1)上的概率,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,此時，概率分布 可視為X的離散近似，服從上述分布的離散型隨機變量的數(shù)學期望為,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，若 絕對收斂，則稱該積分的值為隨機變量X的數(shù)學期望，記為E(X)，即 并非所有的隨機變量都有數(shù)學期望。如柯西分布。,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,例4 設隨機變量X在區(qū)間(a, b)內(nèi)服從均勻分布，求E(X)。 例5 設X服從參數(shù)為（0）的指數(shù)分布，求E(X) 。 例6 設X服從Cauchy分布，求E(X) 。,三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,定理 設X是一個隨機變量，Y=g(X)，且E(Y)存在，則 （1）若X為離散型隨機變量，其概率分布為PX=xi=pi （i=1,2,），則Y的數(shù)學期望為 （2）若X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(X) ，則Y的數(shù)學期望為,三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,意義：求Eg(X)時，不必知道g(X)的分布，只需知道X的分布即可。這給求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望帶來很大的方便。 例8 設隨機變量X的分布律如下，求隨機變量函數(shù)Y=X2的數(shù)學期望。,三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,例9 設隨機變量X在區(qū)間(0，)內(nèi)服從均勻分布，求隨機變量函數(shù)Y=sinX的數(shù)學期望。 例10 設XN(0,1)，求E(X)，E(X2)。,四、數(shù)學期望的性質(zhì),1.設C是常數(shù)，則E(C)=C。 2.設