高中數(shù)學(xué)第三章二元一次不等式（組）與簡單的線性3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題（第2課時）學(xué)案.docx

3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題(第2課時)學(xué)習目標1.掌握線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡單的實際問題.2.經(jīng)歷從實際情境中抽象出簡單的線性規(guī)劃問題的過程,提高數(shù)學(xué)建模能力.合作學(xué)習一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境練習1:已知實數(shù)x,y滿足求:(1)z1=x+y的最大值和最小值;(2)z2=3x+y的最小值;(3)z3=x+4y的最小值.問題1:上面的問題中,可行域是不變的,但是三個目標函數(shù)取得最大值時,最優(yōu)解所對應(yīng)的位置不同,這是什么原因?qū)е碌哪?練習2:若已知目標函數(shù)z=ax+y在可行域中的點B處取得最小值,求實數(shù)a的取值范圍.練習3:若在練習1中的不等式組中增加條件“x,yN”,再求目標函數(shù)z1=x+y的最小值,該如何探求最優(yōu)解呢?二、信息交流,揭示規(guī)律問題2:上述兩種探究方法有沒有共同之處?你覺得哪種方法更簡潔?三、運用規(guī)律,解決問題【例題】要將兩種大小不同的鋼板截成A,B,C三種規(guī)格,每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示:規(guī)格類型鋼板類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板222第二種鋼板123今需A,B,C三種規(guī)格的成品分別為15,18,27塊,用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示上述要求,并作出其平面區(qū)域.各截這兩種鋼板多少張可得所需A,B,C三種規(guī)格的成品,且使所用鋼板張數(shù)最少?問題3:用線性規(guī)劃解答實際問題要經(jīng)歷怎樣的步驟?四、變式訓(xùn)練,深化提高變式訓(xùn)練1:營養(yǎng)學(xué)家指出,成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白質(zhì),0.06kg的脂肪.每1kg的食物A、食物B中,碳水化合物、蛋白質(zhì)、脂肪的含量如下表所示:食物(kg)碳水化合物(kg)蛋白質(zhì)(kg)脂肪(kg)A0.1050.070.14B0.1050.140.07每1kg的食物A、食物B的花費分別為28元、21元. 為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求,同時花費最低,需要同時食用食物A和食物B多少kg?變式訓(xùn)練2:已知實數(shù)x,y滿足則的最小值是,的最小值是.問題4:你如何認識條件?也就是說將條件中的數(shù)量關(guān)系用什么表示?體現(xiàn)了什么思想?那么條件和圖形結(jié)合起來了后,要解決這個問題,結(jié)論需要怎么“看待”?也就是要找到結(jié)論的幾何意義,大家聯(lián)想前面所學(xué)的知識,思考分別有什么幾何意義呢?五、反思小結(jié),觀點提煉問題5:通過這節(jié)課的學(xué)習,你認為“二元”不等式問題解決的一般策略是什么?既然是數(shù)形結(jié)合,那么在解題中就不能將“數(shù)”與“形”脫離開來,你能舉例說明這一點嗎?參考答案一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境練習1:(1)作出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖陰影部分),即可行域.將z1=x+y變形為y=-x+z1,這是斜率為-1、隨z1變化的一簇平行直線. z1是直線在y軸上的截距.當然直線要與可行域相交,即在滿足約束條件時目標函數(shù)z1=x+y取得最值.由圖可見,當直線z1=x+y經(jīng)過可行域上的點B時,截距z1最小.解方程組得B點的坐標為x=,y=.所以z1的最小值為.同理,當直線z1=x+y與可行域的邊界x+y=6重合時,z1最大為6.(2)同理將z2=3x+y化為y=-3x+z2,這是斜率為-3的一簇平行直線.如圖所示,當它過可行域上的點A(0,6)時,z2最小為6.(3)同理將z3=x+4y化為y=-x+,它是斜率為-的一簇直線.如圖所示,當直線經(jīng)過可行域上的點C時,最大,即z3最大.解方程組得點C的坐標為x=,y=.所以z3的最小值為.問題1:是目標函數(shù)對應(yīng)的直線的斜率與可行域中邊界對應(yīng)的直線的斜率的大小關(guān)系不同導(dǎo)致的.練習2:解:z=ax+y可化為y=-ax+z,因為z=ax+y在可行域中的點B處取得最小值,所以,直線z=ax+y與可行域只有一個公共點B或與邊界AB重合,或與邊界BC重合.因此-2-a-.所以實數(shù)a的取值范圍是.練習3:學(xué)生探究一:可以把可行域中的所有“整點”都求出來.求這些最優(yōu)解時,可根據(jù)可行域?qū)的限制條件,先令x去整數(shù),然后代入到可行域,求出y的范圍,并進一步求出y的整數(shù)值.學(xué)生探究二:由于x,yN,則必有x+yN.又因為當x=,y=時,z1的最小值為,且直線z1=x+y應(yīng)該向上方(或右方,或右上方)移動,所以相應(yīng)的z1的值大于.所以令z1=x+y=5,即y=-x+5,代入得即1x3,所以當或時,z1取得最小值5.問題2:結(jié)合等量關(guān)系,將“二元”問題轉(zhuǎn)化為“一元”問題求解.當可行域范圍較小,包含的整點個數(shù)很少時,方法一比較簡潔;反之,方法二較為簡潔.二、運用規(guī)律,解決問題【例題】解:設(shè)需截第一種鋼板x張,第二種鋼板y張,則用圖形表示以上限制條件,得到如圖所示的平面區(qū)域(陰影部分).由題意,得目標函數(shù)為z=x+y.可行域如圖所示.把z=x+y變形為y=-x+z,得到斜率為-1、在y軸上截距為z的一族平行直線.由圖可以看出,當直線z=x+y經(jīng)過可行域上的點M時,截距z最小.解方程組得點M.而此問題中的x,y必須是整數(shù),所以M不是最優(yōu)解.經(jīng)過可行域內(nèi)整點且使截距z最小的直線是y=-x+12,經(jīng)過的整點是B(3,9)和C(4,8),它們是最優(yōu)解.zmin=12.答:要解得所需三種規(guī)格的鋼板,且使所截兩種鋼板張數(shù)最小的方法有兩種,第一種截法是第一種鋼板3張,第二種鋼板9張;第二種截法是第一種鋼板4張,第二種鋼板8張.兩種截法都最少要兩種鋼板12張.問題3:規(guī)律:(1)找出實際問題中的數(shù)量關(guān)系,根據(jù)數(shù)量關(guān)系設(shè)出合理的兩個變量x,y;(2)用x,y表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系,得到線性約束條件和目標函數(shù);(3)用圖解法解答線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解,必要時要探求“整點”;(4)用最優(yōu)解作答實際問題.四、變式訓(xùn)練,深化提高變式訓(xùn)練1:解:設(shè)每天食用x kg食物A,y kg食物B,總成本為z,那么可化為目標函數(shù)為z=28x+21y.作出不等式組表示的平面區(qū)域,即可行域.平移直線z=28x+21y知,當直線經(jīng)過表示的點時,zmin=28+21=16.答:每天食用食物A約143g,食物B約571g,能夠滿足日常飲食要求,又使花費最低,最低成本為16元.問題4:條件中的不等式組對應(yīng)平面區(qū)域;圖形;數(shù)形結(jié)合;也和圖形結(jié)合起來;表示可行域內(nèi)的點(x,y)與原點(0,0)連線的斜率;表示可行域內(nèi)的點(x,y)與點(0,3)的距離.變式訓(xùn)練2:解析:如圖所示,可行域內(nèi)的點(x,y)與原點(0,0)連線是介于直線OC和y軸之間,根據(jù)斜率的變化規(guī)律,直線OC的斜率最小為,所以的最小值為表示可