ch03命題邏輯的推理理論.ppt

09:35:38,1,主要內(nèi)容 推理的形式結構 自然推理系統(tǒng)P推理的正確與錯誤 判斷推理正確的方法 推理定律 形式系統(tǒng)的定義與分類 自然推理系統(tǒng)P 在P中構造證明:直接證明法、附加前提證明法、歸謬法,第三章 命題邏輯的推理理論,09:35:38,2,3.1 推理的形式結構,定義3.1 設A1, A2, , Ak, B為命題公式. 若對于每組賦值，A1A2 Ak 為假，或當A1A2Ak為真時，B也為真，則稱由前提A1, A2, , Ak推出結論B的推理是有效的或正確的, 并稱B是有效結論.,定理3.1 由命題公式A1, A2, , Ak 推B的推理正確當 且僅當A1A2AkB為重言式,09:35:38,3,3.1 推理的形式結構,注意: 推理正確不能保證結論一定正確 必須把推理的有效性和結論的真實性區(qū)別開。有效的推理不一定產(chǎn)生真實的結論，產(chǎn)生真實結論的推理過程未必一定是有效的。再說，有效的推理中可能包含假的前提；而無效的推理卻可能包含真的前提。,09:35:38,4,3.1 推理的形式結構,可見，推理的有效性是一回事，前提與結論的真實與否是另一回事。所謂推理有效，指它的結論是它的前提的合乎邏輯的結果，也即，如果它的前提都為真，那么所得結論也必然為真，而并不是要求前提或結論一定為真或為假。如果推理是有效的話，那么不可能它的前提都為真時而它的結論為假。,09:35:38,5,推理的形式結構,2. A1A2AkB 若推理正確, 記為A1 A2 Ak B 3. 前提： A1, A2, , Ak 結論： B 判斷推理是否正確的方法: 真值表法 等值演算法 主析取范式法,推理的形式結構 1. A1, A2, , Ak B 若推理正確, 記為A1,A2,An B,09:35:38,6,推理實例,例1 判斷下面推理是否正確 (1) 若今天是1號，則明天是5號. 今天是1號. 所以, 明天是5號. (2) 若今天是1號，則明天是5號. 明天是5號. 所以, 今天是1號.,解 設 p：今天是1號，q：明天是5號. (1) 推理的形式結構:,(pq)pq,用等值演算法 (pq)pq (pq)p)q pqq 1 由定理3.1可知推理正確,09:35:38,7,推理實例,(2) 推理的形式結構:,(pq)qp,用主析取范式法 (pq)qp (pq)qp (pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 結果不含m1, 故01是成假賦值，所以推理不正確,09:35:38,8,推理實例,例2 判斷下面推理是否正確 如果小張和小王去看電影，則小李也去看電影。小趙不去看電影或小張去看電影。小王也去看電影。所以，當小趙去看電影時，小李必定也去。 解：令 p: 小張去看電影； q: 小王去看電影； r: 小李去看電 影； s: 小趙去看電影。 推理的形式結構: 前提： (p q) r, sp, q 結論： s r ( (p q) r) ( sp) q (s r),推理的形式結構:,09:35:38,9,推理定律重言蘊涵式,1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化簡律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段論 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段論 7. (AB)(BC) (AC) 等價三段論 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 構造性二難 (AB)(AB) B 構造性二難(特殊形式) 9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破壞性二難 每個等值式可產(chǎn)生兩個推理定律 如, 由AA可產(chǎn)生 AA 和 AA,09:35:38,10,自然推理系統(tǒng)簡介,自然推理系統(tǒng)。與公理系統(tǒng)相對，是按照自然演繹思想構造的形式系統(tǒng)。其出發(fā)點是一些變形規(guī)則或推演規(guī)則，但沒有公理。應用變形規(guī)則可以推出一些定理。 自然推理系統(tǒng)更接近于一般的數(shù)學思維，所以許多成熟的邏輯演算公理系統(tǒng)都有與之等價的自然推理系統(tǒng)。自然推理系統(tǒng)是在世紀年代第一次分別由甘岑和杰司柯夫斯基獨立提出。自然推理系統(tǒng)主要是強調推理規(guī)則的重要性，通過對規(guī)則的應用可以從假設得出推斷。,09:35:38,11,3.2 自然推理系統(tǒng)P,定義3.2 一個形式系統(tǒng) I 由下面四個部分組成： (1) 非空的字母表，記作 A(I). (2) A(I) 中符號構造的合式公式集，記作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式組成的公理集，記作 AX(I). (4) 推理規(guī)則集，記作 R(I). 記I=, 其中是 I 的 形式語言系統(tǒng), 是 I 的形式演算系統(tǒng). 自然推理系統(tǒng): 無公理, 即AX(I)= 公理推理系統(tǒng) 推出的結論是系統(tǒng)中的重言式, 稱作定理,09:35:38,12,自然推理系統(tǒng)P,定義3.3 自然推理系統(tǒng) P 定義如下: 1. 字母表 (1) 命題變項符號：p, q, r, , pi, qi, ri, (2) 聯(lián)結詞符號：, , , , (3) 括號與逗號：(, ), ， 2. 合式公式（同定義1.6） 3. 推理規(guī)則 (1) 前提引入規(guī)則 (2) 結論引入規(guī)則 (3) 置換規(guī)則,09:35:38,13,推理規(guī)則,(4) 假言推理規(guī)則 (6) 化簡規(guī)則 (8) 假言三段論規(guī)則,(5) 附加規(guī)則 (7) 拒取式規(guī)則 (9) 析取三段論規(guī)則,09:35:38,14,推理規(guī)則,(10) 構造性二難推理規(guī)則 (11) 破壞性二難推理規(guī)則 (12) 合取引入規(guī)則,09:35:38,15,在自然推理系統(tǒng)P中構造證明,設前提A1, A2, Ak,結論B及公式序列C1, C2, Cl.如果每一個Ci(1il)是某個Aj, 或者可由序列中前面的公式應用推理規(guī)則得到, 并且Cl =B, 則稱這個公式序列是由A1, A2, Ak推出B的證明,09:35:38,16,在自然推理系統(tǒng)P中構造證明,例3 構造下面推理的證明： 若明天是星期一或星期三，我明天就有課. 若我明天有 課，今天必備課. 我今天沒備課. 所以，明天不是星期一、也不是星期三. 解 (1) 設命題并符號化 設 p：明天是星期一，q：明天是星期三， r：我明天有課，s：我今天備課,09:35:38,17,直接證明法,(2) 寫出證明的形式結構 前提：(pq)r, rs, s 結論：pq (3) 證明 rs 前提引入 s 前提引入 r 拒取式 (pq)r 前提引入 (pq) 拒取式 pq 置換,09:35:38,18,附加前提證明法,附加前提證明法: 適用于結論為蘊涵式 欲證 前提：A1, A2, , Ak 結論：CB 等價地證明 前提：A1, A2, , Ak, C 結論：B 理由：(A1A2Ak)(CB) ( A1A2Ak)(CB) ( A1A2AkC)B (A1A2AkC)B,09:35:38,19,附加前提證明法實例,例4 構造下面推理的證明 2是素數(shù)或合數(shù). 若2是素數(shù)，則 是無理數(shù). 若 是無理數(shù)，則4不是素數(shù). 所以，如果4是素數(shù)，則2是合數(shù). 解 用附加前提證明法構造證明 (1) 設 p：2是素數(shù)，q：2是合數(shù)， r： 是無理數(shù)，s：4是素數(shù) (2) 推理的形式結構 前提：pq, pr, rs 結論：sq,09:35:38,20,附加前提證明法實例,(3) 證明 s 附加前提引入 pr 前提引入 rs 前提引入 ps 假言三段論 p 拒取式 pq 前提引入 q 析取三段論,09:35:38,21,歸謬法（反證法）,歸謬法 (反證法) 欲證 前提：A1, A2, , Ak 結論：B 做法: 在前提中加入B，推出矛盾. 理由 A1A2AkB (A1A2Ak)B (A1A2AkB) (A1A2AkB)0 A1A2AkB0,09:35:38,22,歸謬法實例,例5 前提：(pq)r, rs, s, p 結論：q 證明 用歸繆法 q 結論否定引入 rs 前提引入 s 前提引入 r 拒取式 (pq)r 前提引入 (pq) 析取三段論 pq 置換 p 析取三段論 p 前提引入 pp 合取,09:35:38,23,第三章 習題課,主要內(nèi)容 推理的形式結構 判斷推理是否正確的方法 真值表法 等值演算法 主析取范式法 推理定律 自然推理系統(tǒng)P 構造推理證明的方法 直接證明法 附加前提證明法 歸謬法(反證法),09:35:38,24,基本要求,理解并記住推理形式結構的兩種形式： 1. (A1A2Ak)B 2. 前提：A1, A2, , Ak 結論：B 熟練掌握判斷推理是否正確的不同方法（如真值表法、等值演算法、主析取范式法等） 牢記 P 系統(tǒng)中各條推理規(guī)則 熟練掌握構造證明的直接證明法、附加前提證明法和歸謬 法 會解決實際中的簡單推理問題,09:35:38,25,練習1：判斷推理是否正確,1. 判斷下面推理是否正確: (1) 前提：pq, q 結論：p,解 推理的形式結構:,(pq)qp,方法一：等值演算法 (pq)qp (pq)q)p (pq)qp (pq)(qq)p pq,易知10是成假賦值，不是重言式，所以推理不正確.,09:35:38,26,練習1解答,方法二：主析取范式法， (pq)qp (pq)q)p pq M2 m0m1m3 未含m2, 不是重言式, 推理不正確.,09:35:38,27,練習1解答,方法三 真值表法 不是重言式, 推理不正確,方法四 直接觀察出10是成假賦值,09:35:38,28,練習1解答,用等值演算法 (qr)(pr)(qp) (qr)(pr)(qp) (qr)(pr)(qp) (qp)(qr)(rp)(qp) (qp)(qr)(rp)(qp) 1 推理正確,(2) 前提：qr, pr 結論：qp,解 推理的形式結構：,(qr)(pr)(qp),09:35:38,29,練習2：構造證明,2. 在系統(tǒng)P中構造下面推理的證明： 如果今天是周六，我們就到頤和園或圓明園玩. 如果頤和 園游人太多，就不去頤和園. 今天是周六，并且頤和園游 人太多. 所以, 我們?nèi)A明園或動物園玩.,證明： (1) 設 p：今天是周六，q：到頤和園玩， r：到圓明園玩，s：頤和園游人太多 t：到動物園玩 (2) 前提：p(qr), sq, p, s 結論：rt,09:35:38,30,練習2解答,(3) 證明： p(qr) 前提引入 p 前提引入 qr 假言推理 sq 前提引入 s 前提引入 q 假言推理 r 析取三段論 rt 附加,09:35:38,31,命題邏輯在計算機科學中的應用,邏輯難題 可以用邏輯推理解決的難題稱為邏輯難題。求解邏輯難題是實踐邏輯規(guī)則的一種好方法。同樣，涉及用于執(zhí)行邏輯推理的計算機程序通常也使用著名的邏輯難題來演示它們的能力。許多人對求解邏輯難題感興趣，有許多書和雜志也登載邏輯難題以供娛樂。,09:35:38,32,命題邏輯在計算機科學中的應用,這是著名物理學家愛因斯坦出過的一道題。 一個土耳其商人，想找一個十分聰明的助手協(xié)助他經(jīng)商，有兩個人前來應聘。這個商人為了試一試哪一個聰明些，就把兩個人帶進一間漆黑的屋子里，他打開電燈后說：“這張桌子上有五頂帽子，兩頂是紅色的，三頂是黑色的。現(xiàn)在，我把燈關掉，而且把帽子擺的位置弄亂，然后我們?nèi)齻€人每人摸一頂帽子戴在頭上，在我開燈后，請你們盡快地說出自己頭上戴的帽子是什么顏色的?！闭f完之后，商人將電燈關掉，然后三人都摸了一頂帽子戴在頭上，同時商人將余下的兩頂帽子藏了起來接著把電燈打開，這時那兩個應試者看到商人頭上戴的是一頂紅帽子，過了一會兒，其中一個人便喊到：“我戴的是黑帽子。” 請問這個人猜得對嗎？是怎么推導出來的？,09:35:38,33,命題邏輯在計算機科學中的應用,分析1：如果我戴的也是紅帽子，那么，B就馬上可以猜到自己是戴黑帽子(因為紅帽子只有兩頂)；而現(xiàn)在B并沒有立刻猜到，可見，我戴的不是紅帽子。 可見，B的反應太慢了。,09:35:38,34,命題邏輯在計算機科學中的應用,分析2：設P1表示“猜對的人戴紅帽子”；P2表示“猜對的人戴黑帽子”；Q1表示“另一個人戴紅帽子”；Q2表示“另一個人戴黑帽子”；R1表示“商人戴紅帽子”。 現(xiàn)在知道，商人頭上戴的是紅帽子，即R1為真，又知道另一個人沒有作出斷定，即既不能斷定Q1為真，也不能斷定Q2為真。,09:35:38,35,命題邏輯在計算機科學中的應用,根據(jù)題設條件，可得如下公式： R1P1Q2：如果商人和猜對的人戴的都是紅帽子，那么另一個戴的就是黑帽子，因為紅帽子只有兩頂。 R1Q1P2：如果商人和另一個戴的都是紅帽子，那么猜對的人戴的就是黑帽子。 P1P2：如果猜對的人戴的不是紅帽子，那么他戴的就是黑帽子。 Q1Q2：如果另一個人戴的不是紅帽子，那