人大版微積分第二章無窮大量與無窮小量.ppt

莫興德 廣西大學(xué) 數(shù)信學(xué)院,Email:,微 積 分,鏈接目錄,第二章 極限與連續(xù),數(shù)列極限 函數(shù)極限 變量極限 無窮大與無窮小 極限的運(yùn)算法則 兩個(gè)重要的極限 函數(shù)的連續(xù)性,2.4 無窮大量與無窮小量,一. 無窮小量,定義1：以0為極限的變量,稱為無窮小量（無窮?。?。 定義2：0,某個(gè)時(shí)刻，在此時(shí)刻以后， |y| ,恒成立. 則稱y在此變化過程為無窮小量（無窮?。?。,無窮小量,注意,（1）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;,（2）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).,對(duì)于xx0： 0,0，使得當(dāng)00,M0，使得當(dāng)|x|M時(shí), |f(x)|,恒成立.,無窮小量,例如：,2、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:,證,必要性,充分性,意義,（1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);,3、無窮小的運(yùn)算性質(zhì):,定理2 在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.,證,注意 無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.,定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,證,推論1 在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.,推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.,推論3 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.,都是無窮小,二. 無窮大量,二. 無窮大量,定義1：絕對(duì)值無限增大的變量稱為無窮大量. 定義2：E0,某個(gè)時(shí)刻，在此時(shí)刻以后， |y|E,恒成立. 則稱y在此變化過程為無窮大量（無窮大）。 記為：limy= 同理可定義： 正無窮大 limy=+ 負(fù)無窮大 limy=-,無窮大量,對(duì)于xx0： E0,0，使得當(dāng)0E,恒成立. 對(duì)于x： E0,M0，使得當(dāng)|x|M時(shí), |f(x)|E,恒成立.,特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大,注意,（1）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;,（3）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.,不是無窮大,無界，,證,三、無窮小與無窮大的關(guān)系,定理 在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.,證,意義 關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.,四. 無窮小量的階,四. 無窮小量的階,例如,觀察各極限,不可比.,極限不同, 反映了趨向于零的“快慢”程度不同.,定義：,是相同一過程的兩個(gè)無窮小量.如果 :,例1,解,例2,解,常用等價(jià)無窮小:,注,上述10個(gè)等價(jià)無窮?。òǚ础?duì)、冪、指、三）必須熟練掌握,用等價(jià)無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:,一般地有,即與等價(jià),與互為主要部分,例如,等價(jià)無窮小替換,定理(等價(jià)無窮小替換定理),證,意義,求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，可將其中的分子或分母或乘積因子中的無窮小用與其等價(jià)的較簡(jiǎn)單的無窮小代替，以簡(jiǎn)化計(jì)算。具體代換時(shí)，可只代換分子，也可只代換分母，或者分子分母同時(shí)代換。,例3,解,注意,不能濫用等價(jià)無窮小代換.,對(duì)于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.,等價(jià)關(guān)系具有：自反性，對(duì)稱性，傳遞性,例4,解,錯(cuò),解,例5,解,例6 求,解一,解二,解三,例7 求,解,關(guān)于1型極限的求法,五. 小結(jié),1、主要內(nèi)容:,兩個(gè)定義;四個(gè)定理;三個(gè)推論.,2、幾點(diǎn)注意:,無窮小與無窮大是相對(duì)于過程而言的.,（1） 無窮?。?大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；,（2）無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小；,（3） 無界變量未必是無窮大.,思考題,思考題解答,不能保證.,例,有,一、填空題:,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,1.無窮小的比較:,反映了同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度快慢, 但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.,高(低)階無窮小; 等價(jià)無窮小; 無窮小的階.,2.等價(jià)無窮小的替