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文檔簡介

一、定義,n階常系數(shù)線性微分方程的標準形式,二階常系數(shù)齊次線性方程的標準形式,二階常系數(shù)非齊次線性方程的標準形式,二階常系數(shù)齊次線性微分方程,二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法,-特征方程法,將其代入上方程, 得,故有,特征方程,特征根,特點,未知函數(shù)與其各階導數(shù)的線性組合等于0,即函數(shù)和其各階導數(shù)只相差常數(shù)因子,猜想,有特解, 有兩個不相等的實根,特征根為,兩個線性無關的特解,得齊次方程的通解為, 有兩個相等的實根,特征根為,一特解為,得齊次方程的通解為, 有一對共軛復根,特征根為,重新組合,得齊次方程的通解為,由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.,方法步驟,寫出特征方程,求出特征根,按特征根的三種不同情況依下表寫出齊通解,例1,求通解,解,特征方程為,特征根為,齊通解為,例2,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例3,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例4,設圓柱形浮筒，直徑為0.5 米，鉛直放在水中，當稍向下壓后突然放開，浮筒在水中振動的周期為2 秒，求浮筒的質量,解,設浮筒的質量為 m,平衡時,圓柱浸入水中深度為 l,浮力,重力,設 t 時刻浮筒上升了 x 米,此時,浮力,重力,由Newton第二定律,記,三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法,特征方程為,注意,n次代數(shù)方程有n個根, 而特征方程的每一個根都對應著通解中的一項, 且每一項各含一個任意常數(shù).,實重根,復單根,復重根,實單根,幾種情況,每個根對應通解中的一項,其寫法與二階方程的情形完全類似,具體分為,例5,解,特征方程為,解得,故所求通解為,例6,解,特征方程為,特征根為,故所求通解為,四、小結,二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:,（1）寫出相應的特征方程; （2）求出特征根; （3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應的通解.,思考題,

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