高數(shù)7-1空間直角坐標(biāo)系,向量及其線性運算.ppt

第七章,空間解析幾何與向量代數(shù),通過建立空間直角坐標(biāo)系把空間幾何圖形和代數(shù)方程聯(lián)系起來.,空間解析幾何：,向量：,既有大小又有方向的量.,本章知識也為討論多元函數(shù)微積分立下幾何基礎(chǔ)。,第一節(jié),空間直角坐標(biāo)系、 向量及其線性運算,第七章,一、空間直角坐標(biāo)系及點的坐標(biāo),過空間一定點O，作三條相互垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標(biāo)系.,面,面,面,過空間中任一點M作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與坐標(biāo)軸的交點依次為P、Q、R，這三點在各自坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)依次為x, y, z.,空間兩點間的距離,特別的，,證:,結(jié)論成立.,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模為1的向量.,零向量：,模為0的向量.,向量的模：,向量的大小.,單位向量：,二、向量的概念,零向量的方向可以任意規(guī)定.,如位移、力、速度等.,幾何上以一條有方向的線段表示，,其長度表示向量的大小.,大小相等且方向相同的向量視為相等。,規(guī)定：,向量的平行：,兩向量方向相同或相反.,（起點可以不一樣）,三、向量的線性運算,1. 加法,或按照三角形法則:,根據(jù)力學(xué)中力與速度的合成，向量求和可按照平行四邊形法則規(guī)定:,向量的加法符合下列運算規(guī)律：,（1）交換律：,（2）結(jié)合律：,性質(zhì)：,2.向量與數(shù)的乘法,注意：,（向量的伸縮）,向量與數(shù)的乘積符合下列運算規(guī)律：,（1）結(jié)合律：,（2）分配律：,向量的減法：,負(fù)向量：,例2. 設(shè) M 為,解:,如果兩個向量平行，則它們之間必存在數(shù)乘關(guān)系.,證明：,必要性,向量經(jīng)過數(shù)乘運算后與原向量平行。,反之，,充分性顯然.,兩式相減，得,上式表明：一個非零向量除以它的模就得到與原向量同方向的單位向量.,由上述定理可知，,向量的夾角,類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角.,空間一點在軸上的投影,向量在軸上的投影,空間一向量在軸上的投影,關(guān)于向量投影的性質(zhì)(1)：,證:,關(guān)于向量投影的性質(zhì)(2)：,四、向量的坐標(biāo),正如在物理學(xué)中力和速度的分解一樣，向量也可以分解，由此引進(jìn)向量的坐標(biāo)概念。,向量沿坐標(biāo)軸方向的分解,向量的坐標(biāo)就是向量在三條坐標(biāo)軸上的投影值。,容易證明,向量與其坐標(biāo)一一對應(yīng).,特別的，如果向量的起點在原點o，則,與其終點M 的坐標(biāo)一致.,所以要求一個向量的坐標(biāo)，可將其起點移至坐標(biāo)原點，直接求終點的坐標(biāo)即可.,利用坐標(biāo)作向量的線性運算,根據(jù)向量加法的交換律、結(jié)合律，數(shù)乘的結(jié)合律、分配律，,所以對向量進(jìn)行加減和數(shù)乘運算，只需對向量的各個坐標(biāo)進(jìn)行相應(yīng)的運算.,（當(dāng)分母為零時分子也為零）,所以兩個向量平行的條件是其對應(yīng)的坐標(biāo)成比例.,解：,向量模的坐標(biāo)表示式,向量的方向,非零向量與三條坐標(biāo)軸正向的夾角稱為向量的方向角，,向量的方向角的余弦稱為其方向余弦.,所以由向量的方向余弦所構(gòu)成的向量就是與原向量同方向的單位向量。,解:,解：,要點:,第一節(jié),空間直角坐標(biāo)系、 向量及其線性運算,空間直角坐標(biāo)系及點的坐標(biāo):,空間兩點間的距離:,兩個向量平行的充要條件是它們之間存在數(shù)乘關(guān)系.,非零向量除以它的模就得到與原向量同方向的單位向量.,向量及其加法與數(shù)乘運算;,向量的坐標(biāo):,向量沿坐標(biāo)軸方向的分解：,向量