2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何初步第4節(jié)垂直關(guān)系教學(xué)案文含解析北師大版.docx

第四節(jié)垂直關(guān)系考綱傳真1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題1直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直(2)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直l性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行ab 2.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角這條直線叫作二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫作二面角的面(2)二面角的度量二面角的平面角：以二面角的棱上任一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角平面角是直角的二面角叫作直二面角3平面與平面垂直(1)定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直(2)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直l1若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面2一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直3兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面4過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直5過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l()(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行()(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行()(4)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面()答案(1)(2)(3)(4)2“直線a與平面M內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面M垂直”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件B根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面M內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”不能推出“直線a與平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分條件故選B3(教材改編)設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l，m()A若l，則B若，則lmC若l，則D若，則lmAl，l，(面面垂直的判定定理)，故A正確4如圖所示，已知PA平面ABC，BCAC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_4PA平面ABC，PAAB，PAAC，PABC，則PAB，PAC為直角三角形由BCAC，且ACPAA，BC平面PAC，從而BCPC因此ABC，PBC也是直角三角形5邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則折疊后AC的長為_a如圖所示，取BD的中點(diǎn)O，連接AO，CO，則AOC是二面角ABDC的平面角即AOC90，又AOCOa，ACa，即折疊后AC的長(AC)為a.直線與平面垂直的判定與性質(zhì)考法1直線與平面垂直的判定【例1】(2018全國卷)如圖，在三棱錐PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O為AC的中點(diǎn)(1)證明：PO平面ABC；(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離解(1)證明：因?yàn)锳PCPAC4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)PAC，且OP2.連接OB因?yàn)锳BBCAC，所以ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知，OPOB由OPOB，OPAC，OB平面ABC，AC平面ABC，OBACO，知PO平面ABC(2)作CHOM，垂足為H.又由(1)可得OPCH，OP平面POM，OM平面POM，OPOMO，所以CH平面POM.故CH的長為點(diǎn)C到平面POM的距離由題設(shè)可知OCAC2，CMBC，ACB45.所以O(shè)M，CH.所以點(diǎn)C到平面POM的距離為.考法2直線與平面垂直的性質(zhì)【例2】(2017江蘇高考)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD求證：(1)EF平面ABC；(2)ADAC證明(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳BAD，EFAD，所以EFAB又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC(2)因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD因?yàn)锳D平面ABD，所以BCAD又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC又因?yàn)锳C平面ABC，所以ADAC規(guī)律方法1.證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”(3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理2證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊圖形中的垂直關(guān)系(2)利用等腰三角形底邊中線的性質(zhì)(3)利用勾股定理的逆定理(4)利用直線與平面垂直的性質(zhì) 如圖所示，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)證明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.證明(1)在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD又ACCD，且PAACA，CD平面PAC而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPAE是PC的中點(diǎn)，AEPC由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD又PD平面PCD，AEPDPA底面ABCD，PAAB又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD又ABAEA，PD平面ABE.面面垂直的判定與性質(zhì)【例3】(2018全國卷)如圖，在平行四邊形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC為折痕將ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且ABDA(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BPDQDA，求三棱錐QABP的體積解(1)證明：由已知可得，BAC90，BAAC又BAAD，且AC平面ACD，AD平面ACD，ACADA，所以AB平面ACD又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.作QEAC，垂足為E，則QEDC由已知及(1)可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱錐QABP的體積為VQABPQESABP132sin 451.規(guī)律方法證明面面垂直的2種方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決，注意：三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化 (2018江蘇高考)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求證：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC證明(1)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C(2)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形又因?yàn)锳A1AB，所以四邊形ABB1A1為菱形，因此AB1A1B又因?yàn)锳B1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC又因?yàn)锳1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC因?yàn)锳B1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC垂直關(guān)系中的存在性問題【例4】如圖，三棱錐PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱錐PABC的體積；(2)在線段PC上是否存在一點(diǎn)M，使得ACBM，若存在求的值，并說明理由解(1)由題設(shè)AB1，AC2，BAC60，可得SABCABACsin 60.由PA平面ABC，可知PA是三棱錐PABC的高，又PA1，所以三棱錐PABC的體積VSABCPA.(2)在線段PC上存在一點(diǎn)M，使得ACBM，此時(shí).證明如下：如圖，在平面PAC內(nèi)，過點(diǎn)M作MNPA交AC于N，連接BN，BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC由MNPA知.所以AN，在ABN中，BN2AB2AN22ABANcosBAC12221，所以AN2BN2AB2，即ACBN.由于BNMNN，故AC平面MBN.又BM平面MBN.所以ACBM.規(guī)律方法1.對命題條件探索性的主要途徑：(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性2平行(垂直)中點(diǎn)的位置探索性問題：一般是先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識建點(diǎn) 如圖，四邊形ABCD為梯形，ABCD，PD平面ABCD，BADADC90，DC2AB2，DA.(1)線段BC上是否存在一點(diǎn)E，使平面PBC平面PDE？若存在，請給出的值，并進(jìn)行證明；若不存在，請說明理由(2)若PD，線段PC上有一點(diǎn)F，且PC3PF，求三棱錐AFBD的體積解(1)存在線段BC的中點(diǎn)E，使平面PBC平面PDE，即1.證明如下：連接DE，PE，BADADC90，AB1，DA，BDDC2，E為BC的中點(diǎn)，BCDE，PD平面ABCD，BCPD，DEPDD，BC平面PDE，BC平面PBC，平面PBC平面PDE.(2)PD平面ABCD，且PC3PF，點(diǎn)F到平面ABCD的距離為PD，三棱錐AFBD的體積VAFBDVFABDSABD1.平面圖形的翻折問題【例5】如圖1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)將ABE沿BE折起到圖2中A1BE的位置，得到四棱錐A1BCDE.圖1圖2(1)證明：CD平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE平面BCDE時(shí)，四棱錐A1BCDE的體積為36，求a的值解(1)證明：在題圖1中，連接EC(圖略)，因?yàn)锳BBCADa，E是AD的中點(diǎn)，BAD，所以BEAC即在題圖2中，BEA1O，BEOC，從而BE平面A1OC又CDBE，所以CD平面A1OC(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)可得A1OBE，所以A1O平面BCDE.即A1O是四棱錐A1BCDE的高由題圖1知，A1OAOABa，平行四邊形BCDE的面積SBCABa2，從而四棱錐A1BCDE的體積為VSA1Oa2aa3.由a336，得a6.規(guī)律方法平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況一般地，翻折后還在同一平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化 (2018鄂州模擬)如圖，在RtABC中，ABBC3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AC上，且EFBC，將AEF沿EF折起到PEF的位置，使得二面角PEFB的大小為60.(1)求證：EFPB；(2)當(dāng)點(diǎn)E為線段AB的靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，求四棱錐PEBCF的側(cè)面積解(1)證明：在RtABC中，ABBC3，BCABEFBC，EFAB，翻折后垂直關(guān)系沒變，仍有EFPE，EFBE，EF平面PBE，EFPB(2)EFPE，EFBE，PEB是二面角PEFB的平面角，PEB60，又PE2，BE1，由余弦定理得PB，PB2BE2PE2，PBBE，PB，BC，BE兩兩垂直，又EFPE，EFBE，PBE，PBC，PEF均為直角三角形由AEFABC可得，EFBC2，SPBCBCPB，SPBEPBBE，SPEFEFPE2.在四邊形BCFE中，過點(diǎn)F作BC的垂線，垂足為H(圖略)，則FC2FH2HC2BE2(BCEF)22，F(xiàn)C.在PFC中，F(xiàn)C，PC2，PF2，由余弦定理可得cosPFC，則sinPFC，SPFCPFFCsinPFC.四棱錐PEBCF的側(cè)面積為SPBCSPBESPEFSPFC22.1(2018全國卷)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)(1)證明：平面AMD平面BMC；(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC平面PBD？說明理由解(1)證明：由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD因?yàn)锽CCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC(2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC平面PBD證明如下：如圖，連接AC交BD于O.因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)連接OP，因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所以MCOP.MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD2(2017全國卷)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90。(1)證明：平面PAB平面PAD；(2)若PAPDABDC，APD90