反函數(shù)在生活中的應(yīng)用本科畢業(yè)論文.doc

寧夏師范學(xué)院2012屆本科生畢業(yè)論文（設(shè)計）寧夏師范學(xué)院2012屆畢業(yè)生畢業(yè)論文題 目：反函數(shù)在生活中的應(yīng)用 院 系： 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 指導(dǎo)教師： 陳志恩 班 級： 08級數(shù)應(yīng)(2)班 姓 名： 楊吉朝 完成時間： 2012-4-5 反函數(shù)在生活中的應(yīng)用摘要： 數(shù)學(xué)是一種應(yīng)用非常廣泛的學(xué)科。數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生活之迷、日月之繁，無處不用數(shù)學(xué)。”這可以說是對數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系的完美闡述。新課程標準出現(xiàn)的一類新穎試題,近年來與實際生活相結(jié)合的題目屢見不鮮,不僅要求數(shù)學(xué)教學(xué)必須從學(xué)生熟悉的生活情景和感興趣的事物出發(fā)，使學(xué)生有更多的機會從周圍熟悉的事物中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)，體會到數(shù)學(xué)就在身邊，感受到數(shù)學(xué)的趣味，而且還要激發(fā)學(xué)生運用數(shù)學(xué)解決實際問題的興趣，做到學(xué)以致用，進一步體會數(shù)學(xué)的作用和價值，感受到數(shù)學(xué)的魅力。本文應(yīng)用分析、比較等數(shù)學(xué)思維研究方法對數(shù)學(xué)中的反函數(shù)進行探討來以求解決日常中遇到的實際問題。關(guān)鍵詞：反函數(shù) 定義域 值域 圖像abstract: mathematics is a very extensive subject. mathematician hua luogeng once said: the universe of the big, the micro particles of speed, chemical industry, the rockets of chocolate, and change, the life of the earth, the sun and the moon is the fan is numerous, without mathematics. this can be said to mathematics and the relationship between the perfect life of this paper. the new curriculum standard an emerging class of new questions, in recent years and practical life with the combination of common topic, not only request mathematics teaching must be familiar life scenes from students and interested in things start to make students have more opportunities from familiar things around in learning mathematics and understand math, and realize the math is right there and feel the mathematics interest, but also to stimulate the students mathematical problem solving interest, do application, and further experience of mathematics function and value, feel the charm of mathematics. this paper analysis and comparison of the application of mathematical thinking methods of mathematical fanhanshu are discussed in order to solve the day-to-day to practical problems met in. 目錄：1.反函數(shù)的概念51.1原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系51.2反函數(shù)的定義52.反函數(shù)的性質(zhì)62.1反函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的總結(jié)和分析62.1.1.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；函數(shù)及其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對稱62.1.2.函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射；嚴格增（減）的函數(shù)一定有嚴格增（減）的反函數(shù)72.1.3.一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致72.1.4.大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)82.1.5.點p（a，b）關(guān)于直線 y=x 對稱的點是p1（b，a）82.1.6.嚴格增（減）的函數(shù)一定有嚴格增（減）的反函數(shù)82.1.7.反函數(shù)是相互的且具有唯一性82.1.8.定義域、值域相反對應(yīng)法則互逆92.1.9. 原函數(shù)一旦確定，反函數(shù)即確定93.反函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用93.1求反函數(shù)的步驟93.1.1、先求出反函數(shù)的定義域，因為原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的定義域93.1.2、反解x，也就是用y來表示x103.1.3、改寫，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x103.1.4、寫出原函數(shù)及其值域103.1.5.反函數(shù)求解三步驟103.2數(shù)學(xué)中反函數(shù)的相關(guān)例題分析103.2.1函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，反函數(shù)又是函數(shù)的重要組成部分，也是同學(xué)們學(xué)習(xí)函數(shù)的難點之一。反函數(shù)在歷年高考中也占有一定的比例。在生活中我們也遇到許多數(shù)學(xué)問題通過轉(zhuǎn)換成反函數(shù)解決更容易103.2.2通過比較互為反函數(shù)圖象間的關(guān)系來解決實際問題13引言：數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“數(shù)學(xué)教師的責(zé)任是盡其可能來發(fā)展學(xué)生解決問題的能力?！笨梢婓w會數(shù)學(xué)的意義和價值，聯(lián)系生活實際理解并掌握知識，不是我們的最終目標。學(xué)以致用，應(yīng)用所學(xué)的知識去發(fā)現(xiàn)、分析、直至解決生活中的問題，才是最終的目標。數(shù)學(xué)源于生活，更應(yīng)該應(yīng)用于生活以及在解決數(shù)學(xué)問題中轉(zhuǎn)換一個角度去考慮問題會更簡單易懂。無論我們從事何種學(xué)習(xí)，其唯一目的就是利用所學(xué)知識解決生活中我們遇到的問題，數(shù)學(xué)中有些函數(shù)看似非常復(fù)雜如果我們轉(zhuǎn)換成反函數(shù)，用反函數(shù)的思想去求其定義域及其相關(guān)問題會更簡單。在初高中的數(shù)學(xué)教材中都多多少少涉及到了反函數(shù)，雖然反函數(shù)在中高考中所占比例都不是很大，但這并不能忽視反函數(shù)在生活中以及數(shù)學(xué)中的重要地位。要想充分利用某一知識點解決實際問題，必須對知識做到理解、掌握，從而才可以做到將理論知識靈活應(yīng)用。本文將通過對反函數(shù)的概念、性質(zhì)等多方面的分析，從而引出反函數(shù)日常生活中及在解決數(shù)學(xué)問題方面的應(yīng)用。增強同學(xué)們換位思考的意識，從而達到解題目的。1.反函數(shù)的概念1.1原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系 關(guān)于反函數(shù)的概念，課本上和很多資料上都是采用由具體到抽象、由特殊到一般的思想方法，即舉二到三個具體的函數(shù)，如物理中的位移，速度（暫定為常量），時間的關(guān)系：，表示位移是時間 的函數(shù)，其中是自變量，是函數(shù)值；反過來，也可以用位移和速度來表示時間，即 sv，其中是自變量，是函數(shù)值. 再進一步分析這兩個函數(shù)，明確他們之間的關(guān)系，進而根據(jù)函數(shù)的概念概括出反函數(shù)的概念。由于函數(shù)是一種對應(yīng)關(guān)系，這個概念本身就不好理解，而反函數(shù)又是函數(shù)中的一種特殊現(xiàn)象，另外，反函數(shù)的概念比較抽象，文字敘述又比較長. 所以要弄清反函數(shù)的概念，正確理解反函數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系是必不可少的重要環(huán)節(jié). 因此，要弄清反函數(shù)的概念，又不得不弄清函數(shù)和反函數(shù)的“三反”關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的概念來理清反函數(shù)的概念 1.2反函數(shù)的定義一般地，我們設(shè)函數(shù)y=f(x)(xa)的值域是c，根據(jù)這個函數(shù)中x,y 的關(guān)系，用y把x表示出，得到x= g(y). 若對于y在c中的任何一個值，通過x= g(y)，x在a中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x= g(y)就表示y是自變量，x是因變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x= g(y)(yc)叫做函數(shù)y=f(x)(xa)的反函數(shù)，記作. 反函數(shù)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域.（定義域 ：指該函數(shù)的有效范圍，其關(guān)于原點對稱是指它有效值關(guān)于原點對稱 。）例題1：已知f(x)=(x3)， 求f-1(5)。 解：設(shè)f-1(5)=x0， 則 f(x0)=5，即 =5 (x03) x02+1=5x0-5， x02-5x0+6=0。解得x0=3或x0=2(舍)， f-1(5)=3。例題2：已知f(x)=的反函數(shù)為f-1(x)=，求a，b，c的值。解：求f-1(x)=的反函數(shù)，令f-1(x)=y有yx-3y=2x+5.(y-2)x=3y+5 x=(y2)，f-1(x)的反函數(shù)為 y=.即=， a=3， b=5， c=-2。2.反函數(shù)的性質(zhì) 2.1反函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的總結(jié)和分析。數(shù)學(xué)知識的性質(zhì)是指從數(shù)學(xué)概念直接推導(dǎo)得出的運算法則或者運算公式等延伸的知識，數(shù)學(xué)知識的概念和性質(zhì)具有緊密的銜接關(guān)系。反函數(shù)性質(zhì)就是指從反函數(shù)的概念直接推導(dǎo)出的反函數(shù)的運算形式 。2.1.1.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；函數(shù)及其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對稱例題：已知f(x)= (0x4)， 求f(x)的反函數(shù)。解： 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。0x4，0x216， 925-x225， 3y5， y=， y2=25-x2， x2=25-y2. 0x4，x= (3y5)將x， y互換， f(x)的反函數(shù)f-1(x)= (3x5)。2.1.2.函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射；嚴格增（減）的函數(shù)一定有嚴格增（減）的反函數(shù)。一般的偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)(但一種特殊的偶函數(shù)存在反函數(shù),例f（x）=a（x=0）它的反函數(shù)是f（x）=0（x=a）這是一種極特殊的函數(shù))，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。關(guān)于y軸對稱的函數(shù)一定沒有反函數(shù)。若一個奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。例題：已知函數(shù)。(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)求其單調(diào)增區(qū)間內(nèi)的反函數(shù)。解：復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性與y=f(t)，t=g(x)的單調(diào)性的關(guān)系：同增異減。(1)函數(shù)的定義域x|x2，又t=x2-2x=(x-1)2-1 x(-，0)，t是x的減函數(shù)而是減函數(shù)， 函數(shù)f(x)在(-，0)為增函數(shù)。(2)函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(-，0)， 令，則。 ，。 x0，2.1.3.一個函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致例如： 若函數(shù)f(x)在其定義域d上是單調(diào)增函數(shù),求證它的反函數(shù)f-1(x)也是增函數(shù)證明：在f-1(x)的定義域內(nèi)任取x1,x2且x1x2令 f-1(x1)=y1, f-1(x2)=y2于是有f(y1)=x1; f(y2)=x2 所以 f(y1)f(y2)因為f(x)在其定義域d上是增函數(shù)，所以y1y2所以 f-1(x1)f-1(x2)，所以f-1(x)也是增函數(shù)2.1.4.大部分偶函數(shù)不存在反函數(shù)（唯一有反函數(shù)的偶函數(shù)是f(x)=ax,x0，但是y=k（常數(shù)）無法通過水平線測試，所以沒有反函數(shù)。）。奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數(shù)。若一個奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。 2.1.5.點p（a，b）關(guān)于直線 y=x 對稱的點是p1（b，a）。例題：設(shè)點(4，1)既在f(x)=ax2+b (a0)的圖象上，又在它的反函數(shù)圖象上，求f(x)解析式。 解：解得.a=-， b=， f(x)=-x+.2.1.6.嚴格增（減）的函數(shù)一定有嚴格增（減）的反函數(shù)。 例題：設(shè)函數(shù)y=f(x),(xa)是增函數(shù)，證明：它的反函數(shù)是增函數(shù)。證明：設(shè)y1,y2f(x)| xa, y1y2，則存在x1,x2使y1=f(x1), y2=f(x2).f(x1)f(x2).f(x)是增函數(shù),x1x2 即f -1(y1)f -1(y2).x= f -1(y)是增函數(shù)，即y=f -1(x)是增函數(shù)2.1.7.反函數(shù)是相互的且具有唯一性例題：求函數(shù)y =3x-2的反函數(shù)。 解：y=3x-2的定義域為r，值域為r. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 將x,y互換,則所求y=3x-2的反函數(shù)是 y=1/3(x+2)（x屬于r）2.1.8.定義域、值域相反對應(yīng)法則互逆。2.1.9. 原函數(shù)一旦確定，反函數(shù)即確定。 通過上面反函數(shù)的九個性質(zhì)的總結(jié)，為更好的解決有關(guān)反函數(shù)的問題提供了解題思路和方法3.反函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用在我們的生活中，處處存在數(shù)學(xué)知識。只要留意，就能發(fā)現(xiàn).比如：增長率、企業(yè)成本與利潤的核算、市場調(diào)查與分析等等，都可以讓我們感受到數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，并明確數(shù)學(xué)可以幫助他們更好地認識自然和人類社會，更好的適應(yīng)生活，有效的進行表達和交流。3.1求反函數(shù)的步驟我們知道在學(xué)習(xí)過程中，直接求原函數(shù)的值域是很困難，但通過求其反函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域，這樣，通過反函數(shù)來求解很容易解決問題，一般求反函數(shù)的步驟是這樣的： 3.1.1、先求出反函數(shù)的定義域，因為原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的定義域； （我們知道函數(shù)的三要素是定義域、值域、對應(yīng)法則，所以先求反函數(shù)的定義域是求反函數(shù)的第一步） 3.1.2、反解x，也就是用y來表示x； 3.1.3、改寫，交換位置，也就是把x改成y，把y改成x； 3.1.4、寫出原函數(shù)及其值域。 實例：y=2x+1（值域：任意實數(shù)） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2（x取任意實數(shù)） 特別地，形如kx+ky=b的直線方程和任意一個反比例函數(shù)，它的反函數(shù)都是它本身。 3.1.5.反函數(shù)求解三步驟1) 換：x、y換位 2) 解：解出y 3) 標：標出定義域。以上即為求解反函數(shù)的步驟，掌握這個解題方法就可以很容易將反函數(shù)應(yīng)用到數(shù)學(xué)問題中了。3.2數(shù)學(xué)中反函數(shù)的相關(guān)例題分析3.2.1函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，反函數(shù)又是函數(shù)的重要組成部分，也是同學(xué)們學(xué)習(xí)函數(shù)的難點之一。反函數(shù)在歷年高考中也占有一定的比例。在生活中我們也遇到許多數(shù)學(xué)問題通過轉(zhuǎn)換成反函數(shù)解決更容易。例1. 函數(shù) 的反函數(shù)是（ ）。a b c. d. 解析：這是一個分段函數(shù)，對分段函數(shù)求反函數(shù)要注意分段求解。由函數(shù)解析式可知當(dāng)時，；時。由性質(zhì)1，可知原函數(shù)的反函數(shù)在時，則根式前面要有負號，故可排除a、b兩項，再比較c、d，易得答案為c。例2. 若函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù)，則的值域為_。解析：常規(guī)方法是先求出的反函數(shù)，再求得的值域為。如利用性質(zhì)1，的值域即的定義域，可得的值域為。例3. 函數(shù)的反函數(shù)的圖象與軸交于點p（0，2），如下圖所示，則方程在1，4上的根是（ ）a.4 b.3 c.2 d. 1解析：利用互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，的圖象與軸交于點p（0，2），可得原函數(shù)的圖象與軸交于點（2，0），即，所以的跟為x =2，應(yīng)選c。例4. 設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于點（1，2）對稱，且存在反函數(shù)，=0，則=_。解析：由=0，可知函數(shù)的圖象過點（4，0），而點（4，0）關(guān)于點（1，2）的對稱點為（，4）。由題意知點（，4）也在函數(shù)的圖象上，即有，根據(jù)性質(zhì)2，可得。例5 函數(shù)=在區(qū)間上存在反函數(shù)的充要條件是（ ）a. b. c. d. 解析：因為二次函數(shù)不是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，但在其定義域的子區(qū)間或上是單調(diào)函數(shù)，而已知函數(shù)在區(qū)間上存在反函數(shù)，所以或者，即或，應(yīng)選c。例6. 已知是定義在r上的單調(diào)遞增函數(shù)，且有，試證明。證明：（反證法）假設(shè)存在，使得。是定義在r上的單調(diào)遞增函數(shù)，由性質(zhì)3知，也是r上的單調(diào)遞增函數(shù)。若，則，即，矛盾。同理，當(dāng)時，也可推出矛盾，故假設(shè)不成立，則。例7. 設(shè)，函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，求的值。解析：函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱。與互為反函數(shù)。根據(jù)性質(zhì)4，的反函數(shù)為。，得。例8. 設(shè)定義域為r的函數(shù)、都有反函數(shù)，并且函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對稱，若，求的值。 解析：由已知條件可知與互為反函數(shù)，根據(jù)性質(zhì)4，的反函數(shù)為，可得。3.2.2通過比較互為反函數(shù)圖象間的關(guān)系來解決實際問題。例題1：函數(shù)y=f(x+1)與函數(shù)y=f-1(x+1)的圖象( )a.關(guān)于直線y=x對稱 b.關(guān)于直線y=x+1對稱c.關(guān)于直線y=x-1對稱 d.關(guān)于直線y=-x對稱解：y=f(x+1)與y=f-1(x+1)圖象是分別將y=f(x)， y=f-1(x)的圖象向左平移一個單位所得， y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，y=x向左平移一個單位而得y=x+1. 故選b.例題2：已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f1(x)，則函數(shù)y= f1(1-x)的圖象是( )解:由y=log2x得f1(x)2x，所以y=f1(1-x)21-x， 選擇c.例題3：:若是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，則的反函數(shù)的圖象大致是（ ）解：當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，值域為，此時，其反函數(shù)單調(diào)遞減且圖象在與之間，故選a總結(jié)： 通過三個月的努力，在老師與同學(xué)們的指導(dǎo)幫助下，反函數(shù)在生活中的應(yīng)用順利的完成了。好多同學(xué)都知道無論是在生活中還是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，轉(zhuǎn)換一個角