高中數(shù)學(xué)第一章解三角形章末復(fù)習(xí)課練習(xí)含解析新人教A版必修.docx

第一章 章末復(fù)習(xí)課 整合網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建警示易錯(cuò)提醒1三角形解的個(gè)數(shù)的確定(易錯(cuò)點(diǎn))已知兩邊和其中一邊的對(duì)角不能唯一確定三角形，解這類三角形問(wèn)題可能出現(xiàn)一解、兩解、無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角”，此時(shí)一般用正弦定理，但也可用余弦定理(1)利用正弦定理討論：若已知a、b、A，由正弦定理，得sin B.若sin B1，無(wú)解；若sin B1，一解；若sin B1，兩解(2)利用余弦定理討論： 已知a、b、A.由余弦定理a2c2b22cbcos A，即c2(2bcos A)cb2a20，這是關(guān)于c的一元二次方程若方程無(wú)解或無(wú)正數(shù)解，則三角形無(wú)解；若方程有唯一正數(shù)解，則三角形一解；若方程有兩不同正數(shù)解，則三角形有兩解2三角形形狀的判定方法判定三角形形狀通常有兩種途徑：一是通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角(如：a2Rsin A，a2b2c22abcos C等)，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷此時(shí)注意一些常見的三角恒等式所體現(xiàn)的角之間的關(guān)系如：sin Asin BAB；sin (AB)0AB；sin 2Asin 2BAB或AB等；二是利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如：sin A(R為ABC外接圓半徑)，cos A等，通過(guò)代數(shù)恒等變換求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷 3.解三角形應(yīng)用題的基本思路解三角形應(yīng)用題的關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題來(lái)解決其基本解題思路是：首先分析此題屬于哪種類型的問(wèn)題(如測(cè)量距離、高度、角度等)，然后依題意畫出示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系)，最后確定用哪個(gè)定理轉(zhuǎn)化，哪個(gè)定理求解，并進(jìn)行作答解題時(shí)還要注意近似計(jì)算的要求專題一利用正、余弦定理解三角形(自主研析)例1ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c.已知c2，C.(1)若ABC的面積等于，求a，b；(2)若sin B2sin A，求ABC的面積自主解答(1)由余弦定理得a2b2ab4.又因?yàn)锳BC的面積等于，所以absin C，得ab4.聯(lián)立方程組解得a2，b2.(2)由正弦定理已知條件可化為b2a，聯(lián)立方程組解得a，b，所以ABC的面積Sabsin C.歸納升華正、余弦定理應(yīng)用需注意的三個(gè)方面(1)正弦定理和余弦定理提示了三角形邊角之間的關(guān)系，解題時(shí)要根據(jù)題目條件恰當(dāng)?shù)貙?shí)現(xiàn)邊角的統(tǒng)一(2)統(tǒng)一為“角”后，要注意正確利用三角恒等變換及誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形；統(tǒng)一為“邊”后，要注意正確利用配方、因式分解等代數(shù)變換方法進(jìn)行變形(3)求值時(shí)注意方程思想的運(yùn)用變式訓(xùn)練ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求角B的大??；(2)若A75，b2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，因此B45.(2)sin Asin(3045)sin 30cos45cos 30sin 45.故ab1.由已知得，C180457560，cb2.專題二判斷三角形的形狀問(wèn)題例2已知ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，c2，且acos Bbcos A，試判斷ABC的形狀解：由c2，得a3b3c3c2(ab)c3，所以a2b2abc2，所以cos C0，又因?yàn)镃(0，180)，所以C60.由acos Bbcos A，得2Rsin Acos B2Rsin Bcos A(R為ABC外接圓的半徑)，所以sin(AB)0，又因?yàn)锳B(180，180)，所以AB0，所以ABC60，所以ABC為等邊三角形歸納升華利用正、余弦定理判斷三角形形狀的方法主要有兩種方法：方法一，通過(guò)邊之間的關(guān)系判斷形狀；方法二，通過(guò)角之間的關(guān)系判斷形狀利用正、余弦定理可以將已知條件中的邊、角互化，把條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系變式訓(xùn)練在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，請(qǐng)判斷三角形的形狀解：因?yàn)?a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，所以(a2b2)(sin Acos Bcos Asin B)(a2b2)(sin Acos Bcos Asin B)，所以2b2sin Acos B2a2cos Asin B0，所以，又由正弦定理可得，所以，所以，所以sin 2Asin 2B.又因?yàn)锳(0，)，B(0，)，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC為等腰三角形或直角三角形專題三正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用例3航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔10 000 m，速度為180 km/h，飛機(jī)先看到山頂?shù)母┙菫?5，經(jīng)過(guò)420 s后又看到山頂?shù)母┙菫?5，求山頂?shù)暮０胃叨?取1.4，1.7)解：如圖所示，根據(jù)題意可得A15，DBC45，所以ACB30，AB18021(km)21 000(m)所以在ABC中，所以BCsin 1510 500()(m)因?yàn)镃DAD，所以CDBCsinCBD10 500()10 500(1)10 500(1.71)7 350(m)，所以，山頂?shù)暮０胃叨?0 0007 3502 650(m)歸納升華正、余弦定理與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用(1)以三角形為載體，以正、余弦定理為工具，以三角恒等變換為手段來(lái)考查三角形問(wèn)題是近年高考的一類熱點(diǎn)題型在具體解題時(shí)，除了熟練使用正、余弦定理外，也要根據(jù)條件合理選用三角函數(shù)公式，達(dá)到化簡(jiǎn)問(wèn)題的目的(2)解三角形問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題在高考中，出題者有時(shí)會(huì)利用平面向量等知識(shí)給出問(wèn)題的某些條件，這些知識(shí)一般只起到“點(diǎn)綴”作用，難度較小變式訓(xùn)練(1)如圖所示，某住宅小區(qū)的平面圖呈扇形AOC.小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)A及點(diǎn)C處，小區(qū)里有兩條筆直的小路AD，DC，且拐彎處的轉(zhuǎn)角為120.已知某人從C沿CD走到D用了10分鐘，從D沿DA走到A用了6分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，求該扇形的半徑OA的長(zhǎng)(精確到1米)(2)在ACB中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且ac，已知2，cos B，b3，求：a和c的值；cos(BC)的值(1)解：法一：設(shè)該扇形的半徑為r米，由題意，得CD500 米，DA300 米，CDO60.在CDO中，CD2OD22CDODcos 60OC2，即5002(r300)22500(r300)r2，解得r445 (米)法二：連接AC，作OHAC，交AC于點(diǎn)H，由題意，得CD500米，AD300米，CDA120.在ACD中，AC2CD2AD22CDADcos 1205002300225003007002，所以AC700(米)cosCAD.在RtHAO中，AH350(米)，cosHAO，所以O(shè)A445(米)(2)解：由2，得cacos B2，又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c2322613.解得或因?yàn)閍c，所以a3，c2.在ABC中，sin B ，由正弦定理，得sin Csin B.因abc，所以C為銳角，因此cos C.于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.專題四三角函數(shù)的綜合應(yīng)用例4在ABC中，已知ABC，且A2C，b4，ac8，求a，c的長(zhǎng)解：由正弦定理得，因?yàn)锳2C，所以，所以a2ccos C.又因?yàn)閍c8，所以cos C，由余弦定理及ac8，得cos C.由知，整理得5c236c640.所以c或c4(舍去)所以a8c.故a，c.歸納升華與函數(shù)思想相聯(lián)系的就是方程思想所謂方程思想，就是在解決問(wèn)題時(shí)，用事先設(shè)定的未知數(shù)溝通問(wèn)題所涉及的各量間的制約關(guān)系，列出方程(組)，從而求出未知數(shù)及各量的值，使問(wèn)題獲得解決方程可以看做未知量與已知量相互制約的條件，它架設(shè)了由已知探索未知的橋梁本章在利用正弦、余弦定理求