高考數(shù)學(xué)第7章立體幾何第6節(jié)立體幾何中的向量方法教學(xué)案（含解析）理.docx

第六節(jié)立體幾何中的向量方法考綱傳真能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用1異面直線所成的角設(shè)a，b分別是兩異面直線l1，l2的方向向量，則a與b的夾角a，bl1與l2所成的角范圍0a，b0關(guān)系cosa，bcos |cosa，b|2.直線與平面所成的角設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，則sin |cosa，n|.3二面角(1)如圖，AB，CD是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小，(2)如圖，n1，n2分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)點(diǎn)到平面的距離如圖所示，已知AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則B到平面的距離為|.基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角( )(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角( )(3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角( )(4)兩異面直線夾角的范圍是，直線與平面所成角的范圍是，二面角的范圍是0，( )答案(1)(2)(3)(4)2已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為( )A. B.C.或 D.或Cm(0,1,0)，n(0,1,1)，mn1，|m|1，|n|，cosm，n，m，n.兩平面所成的二面角為或，故選C.3.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點(diǎn)，則B1M與D1N所成角的余弦值為( )A. B.C. D.A以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖，設(shè)AB2，則N(1,0,0)，D1(0,0,2)，M(1,1,0)，B1(2,2,2)，(1，1，2)，(1,0，2)，143，|，|，cos，0，B1M與D1N所成角的余弦值為.故選A.4已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，則l與所成的角為_設(shè)l與所成的角為，則sin |cosm，n|，又，.5過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA平面ABCD，若ABPA，則平面ABP與平面CDP所成的二面角為_45如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ABPA1，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由題意，AD平面PAB，設(shè)E為PD的中點(diǎn)，連接AE，則AEPD，又CD平面PAD，CDAE，從而AE平面PCD.(0,1,0)，分別是平面PAB，平面PCD的法向量，且，45.故平面PAB與平面PCD所成的二面角為45.求異面直線所成的角1已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( )A. B.C. D.C 在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)B作AB的垂線，以B為原點(diǎn)，以該垂線，BA，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Bxyz，則A(0,2,0)，B1(0,0,1)，C，C1，(0，2,1)，cos，故選C.2.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求證：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB與AC所成角的余弦值解(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD.因?yàn)镻A平面ABCD，所以PABD.又因?yàn)锳CPAA，所以BD平面PAC.(2)設(shè)ACBDO.因?yàn)锽AD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)所以(1，2)，(0,2，0)設(shè)PB與AC所成角為，則cos .即PB與AC所成角的余弦值為.規(guī)律方法用向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；(2)確定異面直線上兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值.求直線與平面所成的角【例1】(2018合肥一模)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，BFDE，M為棱AE的中點(diǎn)(1)求證：平面BDM平面EFC；(2)若DE2AB，求直線AE與平面BDM所成角的正弦值解(1)連接AC，交BD于點(diǎn)N，連接MN，則N為AC的中點(diǎn)，又M為AE的中點(diǎn)，MNEC.MN平面EFC，EC平面EFC，MN平面EFC.BF，DE都垂直底面 ABCD，BFDE.BFDE，四邊形BDEF為平行四邊形，BDEF.BD平面EFC，EF平面EFC，BD平面EFC.又MNBDN，平面BDM平面EFC.(2)DE平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，DA，DC，DE兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.設(shè)AB2，則DE4，從而D(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，A( 2,0,0)，E(0,0,4)，(2,2,0)，(1,0,2)，設(shè)平面BDM的法向量為n(x，y，z)，則得令x2，則y2，z1，從而n(2，2，1)為平面BDM的一個法向量(2,0,4)，設(shè)直線AE與平面BDM所成的角為，則sin |cosn，|，直線AE與平面BDM所成角的正弦值為.規(guī)律方法利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角，取其余角就是斜線和平面所成的角. 如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA12，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)(1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；(2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值解如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，連接OB，OO1，則OBOC，OO1OC，OO1OB，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)锳BAA12，所以A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)(1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn)，所以P，從而，(0,2,2)，故|cos，|.因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為.(2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn)，所以Q，因此，(0,2,2)，(0,0,2)設(shè)n(x，y，z)為平面AQC1的法向量，則即不妨取n(，1,1)設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為，則sin |cos，n|，所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為.求二面角【例2】(2018湖北二模)如圖1，等腰直角三角形ABC的底邊AB2，點(diǎn)D在線段AC上，DEAB于點(diǎn)E，現(xiàn)將ADE沿DE折起到PDE的位置(如圖2)圖1 圖2(1)求證：PBDE；(2)若PEBE，直線PD與平面PBC所成的角為30，求平面PDE與平面PBC所成的銳二面角的正弦值解(1)證明：DEPE，DEBE，PEBEE，DE平面PBE，又PB平面PBE，PBDE.(2)由題知DEPE，DEEB，且PEEB，DE，BE，PE兩兩互相垂直分別以，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Exyz.設(shè)|PE|a(0a1)，則B(0,2a,0)，D(a,0,0)，C(1,1a,0)，P(0,0，a)，(0,2a，a)，(1，1,0)設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y，z)，則平面PBC的一個法向量為n(a，a,2a)，直線PD與平面PBC所成的角為30，且(a,0，a)，sin 30，a2(舍)或a.平面PBC的一個法向量為n.易知平面PDE的一個法向量為m(0,1,0)，設(shè)所求的銳二面角為，則cos ，所以sin ，即平面PDE與平面PBC所成的銳二面角的正弦值為.規(guī)律方法利用向量計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳(鈍)二面角.(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小. (2019南昌重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖，四邊形ABCD是矩形，沿對角線AC將ACD折起，使得點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在邊AB上(1)求證：平面ACD平面BCD；(2)當(dāng)2時，求二面角DACB的余弦值解(1)證明：如圖，設(shè)點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)E，連接DE，則DE平面ABC，所以DEBC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以ABBC，所以BC平面ABD，所以BCAD.又ADCD，所以AD平面BCD，而AD平面ACD，所以平面ACD平面BCD.(2)以點(diǎn)B為原點(diǎn)，線段BC所在的直線為x軸，線段AB所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)ADa，則AB2a，所以A(0，2a,0)，C(a,0,0)由(1)知ADBD，又2，所以DBA30，DAB60，所以AEADcosDABa，BEABAEa，DEADsinDABa，所以D，所以，(a,2a,0)設(shè)平面ACD的法向量為m(x，y，z)，則即取y1，則x2，z，所以m.因?yàn)槠矫鍭BC的一個法向量為n(0,0,1)，所以cosm，n.所以二面角DACB的余弦值為.1(2017全國卷)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線AB與a成60角時，AB與b成30角；當(dāng)直線AB與a成60角時，AB與b成60角；直線AB與a所成角的最小值為45；直線AB與a所成角的最大值為60.其中正確的是_(填寫所有正確結(jié)論的編號)依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)等腰直角三角形ABC的直角邊長為1.由題意知點(diǎn)B在平面xOy中形成的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓設(shè)直線a的方向向量為a(0,1,0)，直線b的方向向量為b(1,0,0)，以O(shè)x軸為始邊沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角為，0,2)，則B(cos ，sin ，0)，(cos ，sin ，1)，|.設(shè)直線AB與a所成夾角為，則cos |sin |，4590，正確，錯誤設(shè)直線AB與b所成夾角為，則cos |cos |.當(dāng)直線AB與a的夾角為60，即60時，則|sin |cos cos 60，|cos |.cos |cos |.090，60，即直線AB與b的夾角為60.正確，錯誤2(2016全國卷)如圖所示，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，AB5，AC6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到DEF的位置，OD.(1)證明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的正弦值解(1)證明：由已知得ACBD，ADCD.又由AECF得，故ACEF.因此EFHD，從而EFDH.由AB5，AC6得DOBO4.由EFAC得.所以O(shè)H1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH