解三角形ppt課件VIP

第八節(jié) 解三角形,1,總綱目錄,教材研讀,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型,考點(diǎn)突破,2.實(shí)際問題中的常用角,3.解關(guān)于解三角形的應(yīng)用題的一般步驟,考點(diǎn)二 測量高度問題,考點(diǎn)一 測量距離問題,考點(diǎn)三 測量角度問題,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型:測量距離、高度、角度 問題,計算面積問題等.,教材研讀,2.實(shí)際問題中的常用角 (1)仰角和俯角 與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在 水平線 上方 的角叫仰角,目標(biāo)視線在水平線 下方 的角叫俯 角(如圖).,(2)方向角:一般指相對于正北或正南方向的水平銳角,如南偏東30,北 偏西45等. (3)方位角 從 正北 方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角,如點(diǎn)B的 方位角為(如圖). (4)坡角:坡面與水平面所成的銳二面角. (附:坡度(坡比):坡面的鉛直高度與水平寬度之比),3.解關(guān)于解三角形的應(yīng)用題的一般步驟 (1)理解題意,弄清問題的實(shí)際背景,明確已知與未知,理清量與量之間的 關(guān)系; (2)根據(jù)題意畫出示意圖,將實(shí)際問題抽象成解三角形問題; (3)根據(jù)題意選用正弦定理或余弦定理進(jìn)行求解; (4)將所得結(jié)論還原到實(shí)際問題,注意實(shí)際問題中有關(guān)單位、近似計算 等的要求.,簡單的三角方程的通解 sin =sin =k+(-1)k(kZ); cos =cos =2k+或=2k-(kZ); tan =tan =k+(kZ).,1.在某次測量中,在A處測得同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是60,C點(diǎn)的 俯角為70,則BAC等于 ( ) A.10 B.50 C.120 D.130,答案 D,D,2.如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔 A在觀察站C的北偏東20的方向上,燈塔B在觀察站C的南偏東40的方 向上,則燈塔A與燈塔B的距離為 ( ) A.a km B. a km C. a km D.2a km,答案 B 在ABC中,ACB=180-(20+40)=120,AB2=AC2+BC2-2 ACBCcos 120=a2+a2-2a2 =3a2,AB= a(km),故選B.,B,3.在上題的條件下,燈塔A相對于燈塔B的方向?yàn)?( ) A.北偏西5 B.北偏西10 C.北偏西15 D.北偏西20,B,答案 B 易知B=A=30,C在B的北偏西40的方向上,又40-30=10,故燈塔A相對于燈塔B的方向?yàn)楸逼?0.,4.如圖所示,D,C,B三點(diǎn)在地面的同一直線上,DC=a,從C,D兩點(diǎn)測得A點(diǎn) 的仰角分別為60,30,則A點(diǎn)離地面的高度AB等于 ( ) A. B. C. a D.,B,答案 B 因?yàn)镈=30,ACB=60, 所以CAD=30, 故CA=CD=a, 所以AB=asin 60= .,5.設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測量者在A的同側(cè)選定一點(diǎn)C,測出AC的距 離為50 m,ACB=45,CAB=105,則可以計算出A,B兩點(diǎn)間的距離為 .,答案 50 m,解析 由題意,易得B=30. 由正弦定理,得 = , AB= = =50 (m).,6.一船自西向東勻速航行,上午10時到達(dá)燈塔P的南偏西75,距燈塔68海 里的M處,下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則此船航行的速度 為 海里/小時.,答案,解析 如圖,由題意知MPN=75+45=120,PNM=45. 在PMN中, = , MN=68 =34 海里.,又由M到N所用的時間為14-10=4小時, 此船的航行速度v= = 海里/小時.,考點(diǎn)一 測量距離問題,考點(diǎn)突破,16,典例1 如圖所示,A,B兩點(diǎn)順一條河的兩岸,測量者在A的同側(cè),且B點(diǎn)不 可到達(dá),要測出A,B的距離,其方法是在A所在的岸邊選定一點(diǎn)C,可以測 出A,C的距離m,再借助儀器,測出ACB=,CAB=,在ABC中,運(yùn)用 正弦定理就可以求出AB. 若測出AC=60 m,BAC=75,BCA=45,則A,B兩點(diǎn)間的距離為 m.,命題方向一 兩點(diǎn)間可視但有一點(diǎn)不可到達(dá)的距離,17,答案 20,解析 ABC=180-75-45=60, 所以由正弦定理得, = , AB= = =20 (m). 即A,B兩點(diǎn)間的距離為20 m.,18,典例2 如圖所示,要測量一水塘兩側(cè)A,B兩點(diǎn)間的距離,其方法是先選 定適當(dāng)?shù)奈恢肅,用經(jīng)緯儀測出角,再分別測出AC,BC的長b,a,則可求出 A,B兩點(diǎn)間的距離,即AB= . 若測得CA=400 m,CB=600 m,ACB=60,則A,B兩點(diǎn)的距離為 m.,命題方向二 兩點(diǎn)不相通的距離,19,答案 200,20,典例3 如圖,A,B兩點(diǎn)在河的同側(cè),且A,B兩點(diǎn)均不可到達(dá),要測出A,B的 距離,測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C,D,測得CD=a,同時在C,D兩點(diǎn)分 別測得BCA=,ACD=,CDB=,BDA=.在ADC和BDC中, 由正弦定理分別計算出AC和BC,再在ABC中,應(yīng)用余弦定理計算出 AB. 若測得CD= km,ADB=CDB=30,ACD=60,ACB=45,則A,B 兩點(diǎn)間的距離為 km.,命題方向三 兩點(diǎn)都不可到達(dá)的距離,21,答案,解析 ADC=ADB+CDB=60, ACD=60,DAC=60, AC=DC= (km). 在BCD中,DBC=45, 由正弦定理,得BC= sinBDC= sin 30= .,22,在ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 45= + -2 = . AB= (km). A,B兩點(diǎn)間的距離為 km.,23,易錯警示 求距離問題的2個注意事項(xiàng) (1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形,首先確定所求量所在的三角形,若其他 量已知則直接求解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求 解. (2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計算的定 理.,24,1-1 隔河看兩目標(biāo)A與B,但不能到達(dá),在岸邊選取相距 千米的C、D 兩點(diǎn),測得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45(A、B、C、 D在同一平面內(nèi)),求兩目標(biāo)A、B之間的距離.,25,26,考點(diǎn)二 測量高度問題,典例4 (2017福州綜合測試)如圖,小明同學(xué)在山頂A處觀測到一輛汽車 在一條水平的公路上沿直線勻速行駛,小明在A處測得公路上B,C兩點(diǎn) 的俯角分別為30,45,且BAC=135.若山高AD=100 m,汽車從B點(diǎn)到C 點(diǎn)歷時14 s,則這輛汽車的速度約為 22.6 m/s(精確到0.1). 參考數(shù)據(jù): 1.414, 2.236.,27,答案 22.6,28,易錯警示 解決高度問題應(yīng)注意三點(diǎn) (1)在解決有關(guān)高度的問題時,要理解仰角、俯角的概念. (2)在實(shí)際問題中,可能會遇到同時研究空間與平面(地面)的問題,這時 最好畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,這樣處理起來既清楚又 不容易搞錯. (3)一般是把高度問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題,要注意三角形中的邊角關(guān) 系的應(yīng)用,若是空間的問題,則要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合.,29,2-1 如圖所示,為測一樹的高度,在地面上選取A,B兩點(diǎn),從A,B兩點(diǎn)分別 測得樹尖的仰角為30,45,且A,B兩點(diǎn)間的距離為60 m,則樹的高度為 m.,30,答案 30+30,解析 在PAB中,PAB=30, APB=15,AB=60 m, sin 15=sin(45-30)=sin 45cos 30-cos 45sin 30= - = . 由正弦定理得 = , PB= =30( + )m, 樹的高度為PBsin 45=30( + ) =(30+30 )(m).,31,2-2 江岸邊有一炮臺高30 m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水平 面上,在炮臺頂部測得兩條船的俯角分別為45和60,而且兩條船與炮 臺底部所連的線成30角,則兩條船相距 m.,32,答案 10,解析 由題意畫示意圖,如圖, OM=AOtan 45=30(m), ON=AOtan 30= 30=10 (m), 在MON中,由余弦定理得, MN= = =10 (m).,33,典例5 如圖,在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中,紅方一艘偵察艇(位于A處) 發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向,相距12 n mile的水面B處,有藍(lán)方一艘小艇正以每 小時10 n mile的速度沿南偏東75方向前進(jìn),若紅方偵察艇以每小時14 n mile的速度,沿北偏東45+方向攔截藍(lán)方的小艇.若要在最短的時間內(nèi) 攔截住,求紅方偵察艇所需的時間和角的正弦值.,考點(diǎn)三 測量角度問題,34,解析 如圖,設(shè)紅方偵察艇在C處攔截住藍(lán)方的小艇,且經(jīng)過的時間為x 小時, 則AC=14x(n mile),BC=10x(n mile),ABC=120.,35,根據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120, 解得x=2(負(fù)值舍去). 故AC=28 n mile,BC=20 n mile. 根據(jù)正弦定理得 = , 解得sin = = . 所以,要使紅方偵察艇在最短的時間內(nèi)攔截住藍(lán)方小艇,則所需要的時 間為2小時,角的正弦值為 .,36,易錯警示 解決測量角度問題的注意事項(xiàng) (1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義; (2)分析題意,分清已知與所求,再根據(jù)題意畫出正確的示意圖,這是最關(guān) 鍵、最重要的一步; (3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后,注意正弦、余弦定 理的“聯(lián)袂”使用.,37,3-1 如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向,相距40海里的 B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南 偏西30,相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線前往 B處救援,求cos 的值為 .,38