高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修1-2第三章 推理與證明第2節(jié)《數(shù)學(xué)證明》PPT課件.ppt

推理與證明,第三章,2 數(shù) 學(xué) 證 明,第三章,結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理 通過具體實(shí)例，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異,1.演繹推理 從_出發(fā)，推出_情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理，簡言之，演繹推理是由_的推理,演繹推理,一般性的原理,某個特殊,一般到特殊,2演繹推理的特點(diǎn) (1)演繹的前提是一般性原理，演繹所得的結(jié)論是蘊(yùn)涵于前提之中的個別、特殊事實(shí)，結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中 (2)在演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論也必定是正確的因而演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具 (3)演繹推理是一種收斂性的思維方法，它缺少創(chuàng)造性，但卻具有條理清晰、令人信服的論證作用，有助于科學(xué)的理論化和系統(tǒng)化,1.三段論概念 “三段論”是演繹推理的一般模式，包括： (1)大前提已知的_； (2)小前提所研究的_； (3)結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的_ 2三段論的一般格式： 大前提：M是P，小前提：S是M，結(jié)論：_；也可以用；若ab，bc，則ac.,三段論推理,一般原理,特殊情況,判斷,S是P,3三段論法的論斷基礎(chǔ)是這樣一個公理：“凡肯定(或否定)了某一類對象的全部，也就肯定(或否定)了這一類對象的各部分或個體”，簡言之，“全體概括個體”M、P、S三個概念之間的包含關(guān)系表現(xiàn)為：如果概念P包含了概念M，則必包含了M中的任一概念S，如圖，如果概念P排斥概念M，則必排斥M中的任一概念S.,4在演繹推理中，前提與結(jié)論之間存在必然的聯(lián)系，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么_必定是正確的因而演繹推理是數(shù)學(xué)中嚴(yán)格證明的工具，而合情推理的結(jié)論_正確 為了方便，在運(yùn)用三段論推理時(shí)，常常采用省略大前提或小前提的表述方式對于復(fù)雜的論證，總是采用一連串的三段論，把前一個三段論的_作為下一個三段論的前提,結(jié)論,不一定,結(jié)論,1.合情推理與演繹推理的區(qū)別 (1)推理一般包括合情推理與演繹推理合情推理包括歸納推理和類比推理歸納是由特殊到一般的推理，類比是由特殊到特殊的推理，而演繹推理是由一般到特殊的推理,(2)合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)，實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程，歸納和類比是合情推理常用的方法在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等)按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程，培養(yǎng)和提高演繹推理或邏輯證明的能力是高中課程的重要目標(biāo) (3)從推理的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待證明；演繹推理在前提和推理形式正確的前提下得到的結(jié)論一定正確,2合情推理與演繹推理的聯(lián)系 (1)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程是一個探索創(chuàng)造的過程，是一個不斷地提出猜想、驗(yàn)證、猜想的過程，合情推理和演繹推理相輔相成，相互作用，共同推動著發(fā)現(xiàn)活動的進(jìn)程數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理而演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程 (2)合情推理是富于創(chuàng)造性的推理，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動中，它為演繹推理確定了目標(biāo)和方向，具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、提供思路的作用演繹推理是形式化程度較高的必然推理，為合情推理提供了前提，為探索活動提供了依據(jù),1.在不等邊三角形ABC中，a為最長邊，要想得到其對角A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足的條件是( ) Aa2b2c2 Da2b2c2 答案 C,答案 A 解析 大前提錯誤，因?yàn)閷?shù)函數(shù)ylogax(0a1)是減函數(shù)，故選A,3(2013天津紅橋區(qū)高二質(zhì)檢)“所有9的倍數(shù)都是3的倍數(shù)，某奇數(shù)是9的倍數(shù)，故某奇數(shù)是3的倍數(shù)”上述推理是( ) A完全正確 B推理形式不正確 C錯誤，因?yàn)榇笮∏疤岵灰恢?D錯誤，因?yàn)榇笄疤徨e誤 答案 A,4(2014鄭州一中期中，廈門六中高二期中)有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，若f(x0)0，則xx0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)因?yàn)閒(x)x3在x0處的導(dǎo)數(shù)值f(0)0，所以x0是f(x)x3的極值點(diǎn)以上推理中( ) A大前提錯誤 B小前提錯誤 C推理形式錯誤 D結(jié)論正確 答案 A 解析 f(x0)0是f(x)在xx0取得極值的必要條件，而不是充分條件，大前提是錯誤的,5補(bǔ)充下列推理，使其成為完整的三段論 (1)因?yàn)榛橄喾磾?shù)的兩個數(shù)的和為0. 又因?yàn)閍與b互為相反數(shù)且_，所以b8. (2)因?yàn)開，又因?yàn)閑2.71828是無限不循環(huán)小數(shù)，所以e是無理數(shù) 答案 (1)a8，(2)無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù),6判斷下列推理是否正確？為什么？ “因?yàn)檫^不共線的三點(diǎn)有且僅有一個平面(大前提)，而A、B、C為空間三點(diǎn)(小前提)，所以過A、B、C三點(diǎn)只能確定一個平面(結(jié)論)” 解析 不正確，因?yàn)榇笄疤嶂械摹叭c(diǎn)”不共線，而小前提中的“三點(diǎn)”沒有不共線的限制條件,用三段論的形式寫出下列演繹推理： (1)若兩角是對頂角，則此兩角相等，所以若兩角不相等，則此兩角不是對頂角,三段論基本形式的理解,分析 本題考查三段論的三部分結(jié)構(gòu)分清楚三段論中的大前提、小前提、結(jié)論是解題的關(guān)鍵，為此要抓住它們的含義，即大前提已知的一般原理，小前提所研究的特殊情況，結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況作出的判斷 解析 (1)大前提：兩個角是對頂角，則這兩個角相等 小前提：和不相等 結(jié)論：和不是對頂角,用三段論的形式寫出下列演繹推理 (1)菱形的對角線相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的對角線相互垂直 (2)若兩角是對頂角，則此兩角相等，所以若兩角不相等，則此兩角不是對頂角 分析 即寫出推理的大前提、小前提、結(jié)論大前提可能在題目中給出，也可能是已經(jīng)學(xué)過的知識,解析 (1)每個菱形的對角線都相互垂直大前提 正方形是菱形小前提 正方形的對角線相互垂直結(jié)論 (2)若兩個角是對頂角則兩角相等大前提 1和2不相等小前提 1和2不是對頂角結(jié)論,指出下面推理中的錯誤： (1)自然數(shù)是整數(shù)(大前提) 6是整數(shù)(小前提) 所以，6是自然數(shù)(結(jié)論) (2)中國的大學(xué)分布在中國各地(大前提) 北京大學(xué)是中國的大學(xué)(小前提) 所以，北京大學(xué)分布在中國各地(結(jié)論),演繹推理的判斷,(3)三角函數(shù)是周期函數(shù)(大前提) ysinx(0x)是三角函數(shù)(小前提) ysinx(0x)是周期函數(shù)(結(jié)論) 分析 判斷三段論推理是否正確必須嚴(yán)格按其推理規(guī)則進(jìn)行考察，其推理規(guī)則為： 所有M都是P，S是MS是P. 既要看大前提、小前提是否有誤，也要看推理形式是否合乎規(guī)范,解析 (1)推理形式錯誤，自然數(shù)是整數(shù)為大前提，小前提應(yīng)是判斷某數(shù)為自然數(shù)，而不是某數(shù)為整數(shù) (2)推理形式錯誤，大前提中M是“中國的大學(xué)”，它的含義是中國的每一所大學(xué)，而小前提中的“中國的大學(xué)”僅表示中國的一所大學(xué)，二者是兩個不同的概念，犯了偷換概念錯誤 (3)推理形式錯誤，大前提中的“三角函數(shù)”和小前提中的“三角函數(shù)”概念不同,方法規(guī)律總結(jié) 1.判斷演繹推理是否正確的方法 (1)看推理形式是否為由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演繹推理，這是最易出錯的地方； (2)看大前提是否正確，大前提往往是定義、定理、性質(zhì)等，注意其中有無前提條件； (3)看小前提是否正確，注意小前提必須在大前提范圍之內(nèi)； (4)看推理過程是否正確，即看由大前提，小前提得到的結(jié)論是否正確,2在應(yīng)用三段論推理中，最常見的錯誤是偷換概念的錯誤，即大前提與小前提中同一名稱的概念含義不同；其次是推理形式錯誤，大前提“所有M都是P”，則小前提應(yīng)是“S是M”，而非“S是P”,答案 (1)推理形式正確，但大前提錯誤 (2)推理形式正確，大前提是錯誤的,已知在梯形ABCD中(如圖)，DCDA，ADBC 求證：AC平分BCD(用三段論證明),三段論在證明幾何問題中的應(yīng)用,解析 等腰三角形兩底角相等，大前提 ADC是等腰三角形，1和2是兩個底角，小前提 12.結(jié)論 兩條平行線被第三條直線截得的內(nèi)錯角相等，大前提 1和3是平行線AD、BC被AC截得的內(nèi)錯角，小前提 13.結(jié)論 等于同一個角的兩個角相等，大前提 21，31，小前提 23，即AC平分BCD結(jié)論,方法規(guī)律總結(jié) 應(yīng)用演繹推理證明時(shí)，必須確切知道每一步推理的依據(jù)(大前提)，驗(yàn)證條件是否滿足(小前提)，然后得出結(jié)論,用三段論分析下題的證明過程 如圖，D、E、F分別是BC、CA、AB上的點(diǎn)，BFDA，DEBA，求證：EDAF. 證明過程如下： BFDA，F(xiàn)DAE， 又DEBA， 四邊形AFDE是平行四邊形， EDAF.,解析 上述推理過程應(yīng)用了三次三段論第一次省略大前提和小前提的部分內(nèi)容；第二次省略大前提并承前省了其中一組對邊平行的條件；第三次省略了大前提并承前省略了小前提，其完整演繹推理過程如下： 因?yàn)橥唤窍嗟?，兩條直線平行，大前提 BFD與A是同位角，且BFDA，小前提 所以FDAE.結(jié)論,因?yàn)閮山M對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提 DEBA，且FDAE，小前提 所以四邊形AFDE為平行四邊形結(jié)論 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶呄嗟?，大前?ED和AF為平行四邊形AFDE的對邊，小前提 所以EDAF.結(jié)論,(2013鄭州高二檢測)已知定義域?yàn)?,1的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下三個條件： 對任意的x0,1，總有f(x)0； f(1)1； 若“當(dāng)x10，x20且x1x21時(shí)，有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立”，則稱f(x)為“友誼函數(shù)”,(1)若已知f(x)為“友誼函數(shù)”，求f(0)的值 (2)函數(shù)g(x)2x1在區(qū)間0,1上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由 (3)已知f(x)為“友誼函數(shù)”，且0x1x21，求證：f(x1)f(x2),解題思路探究 第一步，審題 審條件，挖掘解題信息 定義域0,1，在研究函數(shù)過程中不能超出這個范圍； “友誼函數(shù)”新定義包含三個條件，尤其條件需嚴(yán)格證明后才能確定 審結(jié)論，明確解題目標(biāo) 第(1)問已知f(x)為友誼函數(shù)，求f(0)可用賦值法求解； 第(2)問給出f(x)解析式和定義區(qū)間，判斷f(x)是否為友誼函數(shù)，需緊扣定義驗(yàn)證f(x)是否滿足三個條件 第(3)問要證f(x1)f(x2)，需依據(jù)條件進(jìn)行變換，注意條件在變形中的應(yīng)用,第二步，建聯(lián)系，確定解題步驟 先用賦值法求第(1)問，再依次驗(yàn)證(2)中函數(shù)滿足友誼函數(shù)的三個條件，最后，利用恒等變換技巧借助條件推證第(3)問 第三步，規(guī)范解答,解析 (1)取x1x20，得f(0)f(0)f(0)， f(0)0， 又由f(0)0，得f(0)0. (2)顯然g(x)2x1在0,1上滿足g(x)0； g(1)1；,若x10，x20，且x1x21， 則有g(shù)(x1x2)g(x1)g(x2) 2x1x21(2x11)(2x21) (2x11)(2x21)0. 故g(x)2x1滿足條件， 所以g(x)2x1為“友誼函數(shù)” (3)因?yàn)?x1x21，則0x2x11， 所以f(x2)f(x2x1x1)f(x2x1)f(x1)f(x1),方法規(guī)律總結(jié) 1.應(yīng)用演繹推理證明時(shí)，必須確切知道每一步推理的依據(jù)(大前提)，驗(yàn)證條件是否滿足(小前提)，然后得出結(jié)論 2在幾何、代數(shù)證題過程中，如果每一次都按三段論寫出解答過程會很繁瑣，也不必要因此實(shí)際證題中，那些公認(rèn)的簡單事實(shí)，已知的公理、定理等大前提條件可以省